高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.6 数学归纳法课件 理.ppt

第六节数学归纳法 知识梳理 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取 n0 n 时命题成立 第一个值n0 2 归纳递推 假设当n k k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对 都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 n k 1 从n0开始的所 有正整数n 特别提醒 1 数学归纳法证题时 误把第一个值n0认为是1 如证明多边形内角和定理 n 2 时 初始值n0 3 2 数学归纳法证题的关键是第二步 证题时应注意 1 必须利用归纳假设作基础 2 证明中可利用综合法 分析法 反证法等方法 3 解题时要搞清从n k到n k 1增加了哪些项或减少了哪些项 小题快练 链接教材练一练1 选修2 2p99习题b组t1改编 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n n 3 条时 第一步检验n等于 a 1b 2c 3d 4 解析 选c 三角形是边数最少的凸多边形 故第一步应检验n 3 2 选修2 2p96习题2 3a组t1 3 改编 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 1 2n 1 n n 的过程中 第二步n k时等式成立 则当n k 1时 应得到 a 1 2 22 2k 2 2k 1 2k 1 1b 1 2 22 2k 2k 1 2k 1 2k 1c 1 2 22 2k 1 2k 1 2k 1 1d 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 1 解析 选d 由条件知 左边从20 21到2n 1都是连续的 因此当n k 1时 左边应为1 2 22 2k 1 2k 而右边应为2k 1 1 感悟专题试一试3 2016 延安模拟 利用数学归纳法证明不等式 f n n 2 n n 的过程 由n k到n k 1时 左边增加了 a 1项b k项c 2k 1项d 2k项 解析 选d 共增加了2k项 4 2016 武汉模拟 用数学归纳法证明不等式 n n 且n 1 时 第一步 不等式的左边是 解析 用数学归纳法证明不等式 n n 且n 1 时 第一步 不等式的左边是答案 考向一利用数学归纳法证明等式 典例1 2016 宜春模拟 求证 n n 解题导引 根据数学归纳法证明等式的步骤进行证明 规范解答 1 当n 1时 左边 右边 左边 右边 2 假设n k时等式成立 即则当n k 1时 即当n k 1时 等式也成立 综合 1 2 可知 对一切n n 等式成立 规律方法 数学归纳法证明等式的思路和注意点 1 思路 用数学归纳法证明等式问题 要 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是多少 2 注意点 由n k时等式成立 推出n k 1时等式成立 一要找出等式两边的变化 差异 明确变形目标 二要充分利用归纳假设 进行合理变形 正确写出证明过程 易错提醒 数学归纳法强调步骤 程式化 要充分利用归纳假设 否则就不是数学归纳法 变式训练 设f n n n 求证 f 1 f 2 f n 1 n f n 1 n 2 n n 证明 1 当n 2时 左边 f 1 1 右边 左边 右边 等式成立 2 假设n k k 2 k n 时 结论成立 即f 1 f 2 f k 1 k f k 1 那么 当n k 1时 f 1 f 2 f k 1 f k k f k 1 f k k 1 f k k k 1 f k 1 k 1 k 1 f k 1 1 所以当n k 1时结论仍然成立 综合 1 2 可知 对一切n 2 n n 等式成立 加固训练 1 用数学归纳法证明 对任意的n n 证明 1 当n 1时 左边 右边 左边 右边 等式成立 2 假设当n k k n 且k 1 时等式成立 即有则当n k 1时 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对一切n n 等式都成立 2 用数学归纳法证明1 a a2 an 1 a 1 n n 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 2 假设当n k k n 时 等式成立 即1 a a2 ak 1 那么n k 1时 左边 1 a a2 ak 1 ak ak所以等式也成立 由 1 2 可知 对任意n n 等式均成立 考向二利用数学归纳法证明不等式 典例2 已知数列 an an 0 a1 0 an 12 an 1 1 an2 求证 当n n 时 an an 1 解题导引 按照数学归纳法的步骤进行证明 规范解答 1 当n 1时 因为a2是方程a22 a2 1 0的正根 所以a2 即a1 a2成立 2 假设当n k k n k 1 时 0 ak0 又ak 1 ak 0 所以ak 2 ak 1 1 0 所以ak 1 ak 2 即当n k 1时 an an 1也成立 综上 可知an an 1对任何n n 都成立 母题变式 1 在本例中把题设条件中的 an 0 改为 当n 2时 ana2成立 2 假设当n k k n k 1 时 ak 10 又ak 2 ak 1 1 1 1 1 1 所以ak 2 ak 1 0 所以ak 2 ak 1 即当n k 1时 命题成立 由 1 2 可知 对任意n n 时 an 1 an 2 本例条件改为已知数列 an 中 a1 a a 2 对一切n n an 0 an 1 试证明an 2 证明 当n 1时 a1 a 2 故命题an 2成立 假设n k k 1且k n 时命题成立 即ak 2 那么 所以ak 1 2 即n k 1时命题也成立 综上所述 命题an 2对一切正整数都成立 规律方法 应用数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 1 适用范围 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 关键 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明 变式训练 2014 安徽高考改编 设整数p 1 证明 当x 1且x 0时 1 x p 1 px 证明 当p 2时 1 x 2 1 2x x2 1 2x 原不等式成立 假设当p k k 2 k n 时 不等式 1 x k 1 kx成立 则当p k 1时 1 x k 1 1 x 1 x k 1 x 1 kx 1 k 1 x kx2 1 k 1 x 所以当p k 1时 原不等式也成立 综合 可得 当x 1且x 0时 对一切整数p 1 不等式 1 x p 1 px均成立 加固训练 1 等比数列 an 的前n项和为sn 已知对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 2 当b 2时 记bn 2 log2an 1 n n 证明 对任意的n n 不等式成立 解析 1 由题意 sn bn r 当n 2时 sn 1 bn 1 r 所以an sn sn 1 bn 1 b 1 由于b 0且b 1 所以n 2时 an 是以b为公比的等比数列 又a1 b r a2 b b 1 故 b 即解得r 1 2 由 1 知an 2n 1 因此bn 2n n n 所证不等式为 当n 1时 左边 右边 左边 右边 所以结论成立 假设n k k 1 k n 时结论成立 即则当n k 1时 要证当n k 1时结论成立 只需证即证 由均值不等式成立 故成立 所以 当n k 1时 结论成立 由 可知n n 时 不等式成立 2 设n n n 1 求证 证明 用数学归纳法证明 1 当n 2时 不等式左边 右边 2 假设n k k 1 k n 时 不等式成立 即那么当n k 1时 有所以当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 可知对任何n n n 1 均成立 3 若不等式对一切正整数n都成立 求正整数a的最大值 并证明结论 解析 当n 1时 即所以a 26 而a是正整数 所以取a 25 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 已证得不等式成立 2 假设当n k k n 时 不等式成立 即则当n k 1时 有 因为所以当n k 1时不等式也成立 由 1 2 知 对一切正整数n 都有所以a的最大值等于25 4 已知f n g n n n 1 当n 1 2 3时 试比较f n 与g n 的大小 2 猜想f n 与g n 的大小关系 并给出证明 解析 1 当n 1时 f 1 1 g 1 1 所以f 1 g 1 当n 2时 f 2 g 2 所以f 2 g 2 当n 3时 f 3 g 3 所以f 3 g 3 2 由 1 猜想f n g n 下面用数学归纳法给出证明 当n 1 2 3时 不等式显然成立 假设当n k k 3 时不等式成立 即那么 当n k 1时 f k 1 f k 因为所以f k 1 g k 1 由 可知 对一切n n 都有f n g n 成立 考向三归纳 猜想 证明 考情快递 考题例析 命题方向1 与函数有关的证明题 典例3 2015 景德镇模拟 已知函数f x x3 x 数列 an 满足条件 a1 1 an 1 f an 1 试比较与1的大小 并说明理由 解题导引 首先求导 利用函数的单调性猜想an的取值范围 然后用归纳法进行证明 进而求得的取值范围 最后问题得以解决 规范解答 因为f x x2 1 且an 1 f an 1 所以an 1 an 1 2 1 因为函数g x x 1 2 1在 1 上单调递增 于是由a1 1 得a2 a1 1 2 1 22 1 进而a3 a2 1 2 1 24 1 23 1 由此猜想 an 2n 1 下面用数学归纳法证明这个猜想 当n 1时 a1 21 1 1 结论成立 假设n k k 1且k n 时结论成立 即ak 2k 1 当n k 1时 由g x x 1 2 1在区间 1 上单调递增知ak 1 ak 1 2 1 22k 1 2k 1 1 即n k 1时 结论也成立 由 知 对任意n n 都有an 2n 1 即1 an 2n 所以所以 命题方向2 与数列有关的证明题 典例4 2014 广东高考 设数列 an 的前n项和为sn 满足sn 2nan 1 3n2 4n n n 且s3 15 1 求a1 a2 a3的值 2 求数列 an 的通项公式 解题导引 1 取n 1 n 2 结合s3 15列方程组求a1 a2 a3 2 利用an sn sn 1 n 2 先猜出an 再用数学归纳法给出证明 规范解答 1 由已知得解得a1 3 a2 5 a3 7 2 猜测an 2n 1 由sn 2nan 1 3n2 4n得sn 1 2 n 1 an 3 n 1 2 4 n 1 n 2 当n 2时 an sn sn 1 所以两式相减 整理得an 2nan 1 2 n 1 an 6n 1 又a2 5 a1 3 满足式子 建立了an与an 1的递推关系 n n 因为当n 1时 a1 3 假设ak 2k 1成立 那么n k 1时 综上对于n n 有an 2n 1 所以数列 an 的通项公式为an 2n 1 技法感悟 1 归纳 猜想 证明 的一般步骤 1 计算 根据条件 计算若干项 2 归纳猜想 通过观察 分析 综合 联想 猜想出一般结论 3 证明 用数学归纳法证明 2 与 归纳 猜想 证明 相关的常用题型的处理策略 1 与函数有关的证明题 由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想 充分利用函数的有关性质及数学归纳法证明 2 与数列有关的证明题 利用已知条件 当直接证明遇阻时 可考虑应用数学归纳法并结合数列的概念 判定及性质进行证明 题组通关 1 2016 上饶模拟 已知等差数列 an 的公差d大于0 且a2 a5是方程x2 12x 27 0的两根 数列 bn 的前n项和为tn且tn 1 bn 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设数列 an 的前n项和为sn 试比较与sn 1的大小 并说明理由 解析 1 由已知得又因为 an 的公差大于0 所以a5 a2 所以a2 3 a5 9 所以d 2 a1 1 因为tn 1 bn b1 当n 2时 tn 1 1 bn 1 因为bn tn tn 1 化简 得bn bn 1 所以 bn 是首项为 公比为的等比数列 即所以an 2n 1 bn 2 因为所以sn 1 n 1 2 以下比较与sn 1的大小 当n 1时 s2 4 所以s5 猜想 n 4时 sn 1 下面用数学归纳法证明 当n 4时 已证 假设当n k k n k 4 时 sk 1 即 k 1 2 那么 n k 1时 3k2 6k 3 k2 4k 4 2k2 2k 1 k 1 1 2 s k 1 1 综合 当n 4时 sn 1 2 2014 重庆高考 设a1 1 an 1 b n n 1 若b 1 求a2 a3及数列 an 的通项公式 2 若b 1 问 是否存在实数c使得a2n c a2n 1对所有n n 成立 证明你的结论 解析 1 方法一 a2 2 a3 1 再由题设条件知 an 1 1 2 an 1 2 1 从而 an 1 2 是首项为0 公差为1的等差数列 故 an 1 2 n 1 即an 1 n n 方法二 a2 2 a3 1 可写为因此猜想下面用数学归纳法证明上式 当n 1时结论显然成立 假设n k时结论成