浙江省新课程高考数学向量命题特点及备考.doc

浙江省新课程高考数学向量命题特点及备考唐先成浙江省青田县船寮高级中学 323911摘要：平面向量是高中数学的重点内容之一，是进一步学习数学知识的有力工具，在高考中占有重要地位，通过浙江省新课程四年高考题的命题发现，每年高考至少有一道客观题本文结合高考命题的特点，分六个方面对浙江省新课程高考试题进行分析，同时探究备考复习策略，给出三点复习建议，希望在平面向量复习时有所启示关键词：平面向量；命题特点；高考备考平面向量是每年高考必考内容，是数形结合的载体，它兼具代数的抽象严谨和几何的直观特点纵观浙江省四年高考数学新课程题试卷，其中平面向量部分每年必有一道客观题其中2012年道选择题及填空题各一道，试题稳定中凸显变化，变化中追求创新重点考查了向量的运算及其几何意义，以及向量的模，数量积及坐标的运算等试题强调几何背景，侧重向量数形兼备的特点进行命题，入口宽，可以进行几何推理或代数运算，属中等偏容易题一、以平行、垂直为载体，考查向量的基本概念及基本运算 例1（2012年高考理科卷第5题）设是两个非零向量A若，则B若，则|C若，则存在实数，使得D若存在实数，使得，则解析：利用排除法可得选项C是正确的，因为，则共线，即存在实数，使得使得如选项：成立时，可为异向的共线向量；选项：若，由正方形得不成立；选项：若存在实数，使得，可为同向的共线向量，此时显然不成立故选答案评注：此题背景来源于普通高中课程标准实验教科书数学必修4第82页“问题探究”试题以共线（平行）、垂直为主要载体对向量的基本概念及运算法则进行了考查，体现了课程标准对平面向量的教学要求，所以在教学中要真正落实“双基”，而不能“概念一提而过、练习一闪而走”，复习中直奔教辅资料大量的机械训练，学生只有夯实基础，才能有进一步提高的潜力二、以平行、垂直为载体，考查向量模的运算 例3.（2010年高考文科卷第13题）已知平面向量则的值是 解析：由题意可知，由，解得，所以2=，所以 = 评注：试题以垂直为主要载体对向量模求解，考查了平面向量数量积的意义及两个向量垂直的条件是数量积为零本题借助于模的运算，实质利用平行与垂直的条件，解决这类问题关键是熟练掌握向量的基本运算，把问题转化为平面向量模的求解（公式）.三、以平行、垂直为载体，考查向量的坐标运算 例3（2009年高考文科卷第5题）已知向量, .若向量满足，,则=（ ）(,) (-,-) (,) (-,-)解析：不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有评注：试题以平行、垂直为主要载体对向量坐标运算进行了考查，要求学生能利用平面向量平行、垂直坐标运算的条件，体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用四、以面积为载体，考查向量的夹角范围例4.（2011年高考理科卷第14题）若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 解析： 因为，由，可得 ，故评注：本题主要考查平面向量的几何意义，平行四边形的面积公式与解三角不等式以及向量夹角的范围，解答时要注意结合三角函数的不等式求角度的范围五、以三角形为载体，考查向量的数量积例5.（2012年高考理科卷第15题）在中，是的中点，则=_ 解析:（方法1）利用正、余弦定理求解由余弦定理得：，由，两式子相加为：， ， .（方法2）利用向量数量积的运算求解如图所示, ， =（方法3）此题最适合的方法是特殊图形法求解假设是以的等腰三角形，如图， 评注：此题与浙江省2009年高考文科18题相似，在三角形中已知向量的数量积，求解三角形的边长、面积三角形中求向量的数量积问题是最常见的题型本试题很好地体现了标准与考试说明中的要求，试题设计情景熟悉、入口宽、方法多、有层次，贴近学生的实际.试题既可以用解三角形的方法（余弦定理），也可以用向量的数量积，还可以用特殊值的方法求解在解选择题、填空题时，除了关注解这类问题的通法外，还要注意“小题小做”，不要“小题大做”，应充分对试题特征进行分析，合理利用特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等特殊化的思想来解题会产生意想不到的效果六、向量与其他知识的交汇1、向量与三角的交汇例6.（2010年高考理科卷第16题）已知平面向量满足，且与的夹角为120，则的取值范围是_ .解析：因为模，构成三角形的三边，设，由正弦定理得：，所以又，所以，即评注：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解本题主要考查了平面向量的四则运算及其减法几何意义，关键是利用正弦定理构造方程进行求解，还要考虑正弦函数相关知识该题立意新颖，构思巧妙，突出考查了对问题的转化能力和数形结合的能力2、向量与圆的交汇例7.（2009年高考理科卷第7题）设向量满足,，以，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为_解析：因为，则，构成直角三角形，对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，有4个交点的情况，但5个及以上的交点不可能评注：此是一道以向量模构成的三角形与圆的交点问题的综合题高中数学新课程标准与考试说明在向量应用中的要求：会用向量方法解决一些实际问题，本试题考查了数形结合的思想方法以及数学转化的能力，是一道较好的经典训练题3、向量与圆锥曲线的交汇例8（2009年高考理科卷第9题）过双曲线（）的右顶点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若,则双曲线的离心率是( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为，则有， 因为，所以，即评注：本题主要考查双曲线的的几何意义，即双曲线的渐近线、离心率、顶点等同时还考查了学生利用解方程求解两条直线的交点，以及向量的坐标表示等，是向量与圆锥曲线的综合题复习备考策略浙江省新课程四年浙江卷高考卷考查了向量的基本概念，向量的运算及其几何意义，以及向量的模，数量积及坐标的运算等特别注意的是考查向量“平行（共线）垂直”的有关内容四年高考中，有三年高考涉及此内容新课程数学高考逐渐从“平稳过渡”到“平稳发展”从题型上看，向量或向量与其他知识交汇的内容，每年都会有两道客观题（除2011年外只有一道题）而且文理科试题没有太大差异，只是试题的位置不同，基本相同或为姊妹题复习时还应注重以下三点1、注重双基，回归课本许多高考试题来源于课本，如本文中的例1.高考复习必须重视课本，这是大家的共识，通过回归课本来不断地清晰和把握数学知识结构，不断地形成和完善对数学思想方法的认识和理解，不断提升综合应用能力要研究透课本中的典型例题和习题，要善于用联系的观点研究课本的变式题，善于在往年的高考题中寻找课本原型，在课本中寻找高考的影子2、注重解法的灵活性，避免“小题大做”向量问题是数形结合思想最突出的问题，有的习惯用几何意义解题，有的有的习惯用代数运算解题，用几何意义进行分析计算量小、节省时间，用代数方法周密严谨，但耗时长、计算量大，不同的方法产生不同的效果，有的学生用一分钟完成这道题，有的学生用5分钟完成虽然都做完做对，但用时少可以节省时间做其它题否则就会隐形失分，因此，在解答客观题时，尽量做到“小题小做”， “避免小题大做”，特别是利用特殊值快速求解3、注重知识交汇点的复习对平面向量应用的考查主要是突出向量作为“工具”的作用，平面向量的应用主要体现在于解析几何、三