高考数学一轮复习 第十章 推理与证明、复数 10.1 直接证明与间接证明课件.ppt

10 1直接证明与间接证明 第十章推理与证明 复数 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 直接证明 1 综合法 定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 其中p表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 q表示所要证明的结论 思维过程 由因导果 推理论证 知识梳理 1 答案 2 分析法 定义 从出发 逐步寻求使它成立的 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明方法叫做分析法 其中q表示要证明的结论 思维过程 执果索因 要证明的结论 充分条件 答案 2 间接证明反证法 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明的证明方法 不成立 矛盾 原命题成立 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 综合法是直接证明 分析法是间接证明 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 3 用反证法证明结论 a b 时 应假设 a b 4 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 5 在解决问题时 常常用分析法寻找解题的思路与方法 再用综合法展现解决问题的过程 思考辨析 答案 解析a2 ab a a b a0 a2 ab 又ab b2 b a b 0 ab b2 由 得a2 ab b2 b 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 2014 山东 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x3 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是 a 方程x3 ax b 0没有实根b 方程x3 ax b 0至多有一个实数c 方程x3 ax b 0至多有两个实根d 方程x3 ax b 0恰好有两个实根解析方程x3 ax b 0至少有一个实根的反面是方程x3 ax b 0没有实根 故应选a a 解析答案 1 2 3 4 5 3 要证a2 b2 1 a2b2 0只要证明 解析a2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 d 解析答案 1 2 3 4 5 a 0 b 0且a b 解析答案 1 2 3 4 5 5 在 abc中 三个内角a b c的对边分别为a b c 且a b c成等差数列 a b c成等比数列 则 abc的形状为三角形 解析由题意2b a c 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosb a2 c2 ac a2 c2 2ac 0 即 a c 2 0 a c abc为等边三角形 等边 解析答案 返回 1 2 3 4 5 题型分类深度剖析 综合法的应用 题型一 解析答案 故tn b1 b2 bn 解析答案 思维升华 1 综合法是 由因导果 的证明方法 它是一种从已知到未知 从题设到结论 的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 命题 出发 经过一系列中间推理 最后导出所要求证结论的真实性 2 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 思维升华 设a b c均为正数 且a b c 1 证明 证明由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac得a2 b2 c2 ab bc ca 由题设知 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 跟踪训练1 解析答案 解析答案 分析法的应用 题型二 解析答案 所以cosx1cosx2 0 sin x1 x2 0 1 cos x1 x2 0 故只需证明1 cos x1 x2 2cosx1cosx2 即证1 cosx1cosx2 sinx1sinx2 2cosx1cosx2 即证cos x1 x2 1 引申探究 由于x1 x2 r时 0 0 解析答案 思维升华 1 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 2 证明较复杂的问题时 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出某个与结论等价 或充分 的中间结论 然后通过综合法证明这个中间结论 从而使原命题得证 思维升华 跟踪训练2 解析答案 命题点1证明否定性命题例3已知数列 an 的前n项和为sn 且满足an sn 2 1 求数列 an 的通项公式 解当n 1时 a1 s1 2a1 2 则a1 1 又an sn 2 所以an 1 sn 1 2 反证法的应用 题型三 解析答案 2 求证 数列 an 中不存在三项按原来顺序成等差数列 证明反证法 假设存在三项按原来顺序成等差数列 记为ap 1 aq 1 ar 1 p q r 且p q r n 又因为p q r 且p q r n 所以r q r p n 所以 式左边是偶数 右边是奇数 等式不成立 所以假设不成立 原命题得证 解析答案 命题点2证明存在性问题例4若f x 的定义域为 a b 值域为 a b a b 则称函数f x 是 a b 上的 四维光军 函数 其图象的对称轴为x 1 区间 1 b 在对称轴的右边 所以函数在区间 1 b 上单调递增 由 四维光军 函数的定义可知 解得b 1或b 3 因为b 1 所以b 3 解析答案 2 是否存在常数a b a 2 使函数h x 是区间 a b 上的 四维光军 函数 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 解得a b 这与已知矛盾 故不存在 解析答案 命题点3证明唯一性命题例5已知m是由满足下述条件的函数构成的集合 对任意f x m 方程f x x 0有实数根 函数f x 的导数f x 满足0 f x 1 解当x 0时 f 0 0 所以方程f x x 0有实数根为0 解析答案 2 集合m中的元素f x 具有下面的性质 若f x 的定义域为d 则对于任意 m n d 都存在x0 m n 使得等式f n f m n m f x0 成立 试用这一性质证明 方程f x x 0有且只有一个实数根 证明假设方程f x x 0存在两个实数根 则f 0 f 0 不妨设 根据题意存在c 满足f f f c 因为f f 且 所以f c 1 与已知0 f x 1矛盾 又f x x 0有实数根 所以方程f x x 0有且只有一个实数根 解析答案 思维升华 应用反证法证明数学命题 一般有以下几个步骤 第一步 分清命题 p q 的条件和结论 第二步 作出与命题结论q相反的假设綈q 第三步 由p和綈q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题p q为真 所说的矛盾结果 通常是指推出的结果与已知公理 已知定义 已知定理或已知矛盾 与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果 思维升华 1 求数列 an 的通项an与前n项和sn 跟踪训练3 解析答案 2 设bn n n 求证 数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 p r 与p r矛盾 假设不成立 即数列 bn 中任意不同的三项都不可能成等比数列 解析答案 返回 思想与方法系列 典例 15分 直线y kx m m 0 与椭圆w y2 1相交于a c两点 o是坐标原点 1 当点b的坐标为 0 1 且四边形oabc为菱形时 求ac的长 2 当点b在w上且不是w的顶点时 证明 四边形oabc不可能为菱形 思维点拨 1 根据菱形对角线互相垂直平分及点b的坐标设出点a的坐标 代入椭圆方程求得点a的坐标 后求ac的长 2 将直线方程代入椭圆方程求出ac的中点坐标 即ob的中点坐标 判断直线ac与ob是否垂直 思想与方法系列 23 反证法在证明题中的应用 解析答案 答题模板 思维点拨 返回 1 解因为四边形oabc为菱形 则ac与ob相互垂直平分 由于o 0 0 b 0 1 规范解答 解析答案 答题模板 2 证明假设四边形oabc为菱形 因为点b不是w的顶点 且ac ob 所以k 0 消y并整理得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 8分 设a x1 y1 c x2 y2 解析答案 答题模板 因为m为ac和ob的交点 且m 0 k 0 所以oabc不是菱形 与假设矛盾 所以当点b不是w的顶点时 四边形oabc不可能是菱形 15分 答题模板 1 掌握反证法的证明思路及证题步骤 正确作出假设是反证法的基础 应用假设是反证法的基本手段 得到矛盾是反证法的目的 2 当证明的结论和条件联系不明显 直接证明不清晰或正面证明分类较多 而反面情况只有一种或较少时 常采用反证法 3 利用反证法证明时 一定要回到结论上去 答题模板 返回 思想方法感悟提高 1 分析法的特点 从未知看需知 逐步靠拢已知 2 综合法的特点 从已知看可知 逐步推出未知 3 分析法和综合法各有优缺点 分析法思考起来比较自然 容易寻找到解题的思路和方法 缺点是思路逆行 叙述较繁 综合法从条件推出结论 较简捷地解决问题 但不便于思考 实际证题时常常两法兼用 先用分析法探索证明途径 然后再用综合法叙述出来 方法与技巧 1 用分析法证明时 要注意书写格式的规范性 常常用 要证 欲证 即证 只需证 等 逐步分析 直至一个明显成立的结论 2 利用反证法证明数学问题时 要假设结论错误 并用假设的命题进行推理 如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果 其推理过程是错误的 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 若a b r 则下面四个式子中恒成立的是 a lg 1 a2 0b a2 b2 2 a b 1 解析在b中 a2 b2 2 a b 1 a2 2a 1 b2 2b 1 a 1 2 b 1 2 0 a2 b2 2 a b 1 恒成立 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 已知p3 q3 2 求证p q 2 用反证法证明时 可假设p q 2 已知a b r a b 1 求证方程x2 ax b 0的两根的绝对值都小于1 用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1 即假设 x1 1 以下正确的是 a 与 的假设都错误b 与 的假设都正确c 的假设正确 的假设错误d 的假设错误 的假设正确 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析反证法的实质是否定结论 对于 其结论的反面是p q 2 所以 不正确 对于 其假设正确 答案d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 分析法又称执果索因法 若用分析法证明 设a b c 且a b c 0 求证 索的因应是 a a b 0b a c 0c a b a c 0d a b a c 0 a c 2 ac0 a c 2a c 0 a c a b 0 c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a p qb p qc p qd 由a的取值确定 p2 q2 p q c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 设a b是两个实数 给出下列条件 a b 1 a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab 1 其中能推出 a b中至少有一个大于1 的条件是 a b c d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若a b 1 则a b 2 故 推不出 若a 2 b 3 则a2 b2 2 故 推不出 但a 1 b 1 故 推不出 若a 2 b 3 则ab 1 故 推不出 对于 即a b 2 则a b中至少有一个大于1 反证法 假设a 1且b 1 则a b 2与a b 2矛盾 因此假设不成立 a b中至少有一个大于1 答案c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 用反证法证明命题 a b r ab可以被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 那么假设的内容是 解析 至少有n个 的否定是 最多有n 1个 故应假设a b中没有一个能被5整除 a b中没有一个能被5整除 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 下列条件 ab 0 ab0 b 0 a 0 b 0 其中能使 2成立的条件的序号是 即a b不为0且同号即可 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 若二次函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1 在区间 1 1 内至少存在一点c 使f c 0 则实数p的取值范围是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 已知a b 0 求证 2a3 b3 2ab2 a2b 证明要证明2a3 b3 2ab2 a2b成立 只需证 2a3 b3 2ab2 a2b 0 即2a a2 b2 b a2 b2 0 即 a b a b 2a b 0 a b 0 a b 0 a b 0 2a b 0 从而 a b a b 2a b 0成立 2a3 b3 2ab2 a2b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 已知四棱锥s abcd中 底面是边长为1的正方形 又sb sd sa 1 1 求证 sa 平面abcd 证明由已知得sa2 ad2 sd2 sa ad 同理sa ab 又ab ad a sa 平面abcd 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 在棱sc上是否存在异于s c的点f 使得bf 平面sad 若存在 确定f点的位置 若不存在 请说明理由 解假设在棱sc上存在异于s c的点f 使得bf 平面sad bc ad bc 平面sad bc 平面sad 而bc bf b 平面fbc 平面sad 这与平面sbc和平面sad有公共点s矛盾 假设不成立 不存在这样的点f 使得bf 平面sad 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a a b cb a c bc b c ad c b a a 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 如果 a1b1c1的三个内角的余弦值分别等于 a2b2c2的三个内角的正弦值 则 a a1b1c1和 a2b2c2都是锐角三角形b a1b1c1和 a2b2c2都是钝角三角形c a1b1c1是钝角三角形 a2b2c2是锐角三角形d a1b1c1是锐角三角形 a2b2c2是钝角三角形 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由条件知 a1b1c1的三个内角的余弦值均大于0 则 a1b1c1是锐角三角形 假设 a2b2c2是锐角三角形 这与三角形内角和为180 相矛盾 所以假设不成立 又显然 a2b2c2不是直角三角形 所以 a2b2c2是钝角三角形 答案d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 已知点an n an 为函数y 图象上的点 bn n bn 为函数y x图象上的点 其中n n 设cn an bn 则cn与cn 1的