正文---孙圳(信息200802).doc

本 科 生 毕 业 论 文论 文 题 目： 商品销售中价格和数量的问题作 者： 孙圳 院 系： 数学与计算机科学学院 专 业： 信息与计算科学 班 级： 200802 指 导 教 师： 何方国 2012 年 5 月 4 日Huanggang Normal UniversityThesis GraduatesTopic： In the commodity sale price and quantity relationship Author： Sun Zhen College： College of Mathematics and Computer Sciences Specialty： Information and computer science Class： 200802 Tutor： HE FangGuo May 4th, 2012郑重声明本人所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师何方国的指导下独立研究并完成的.除了文中特别加以标注引用的内容外,没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为,本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担.特此郑重声明！ 论文作者（签名）： 2012年5月4日 摘要进入新世纪以来，我国商品经济飞速发展，在市场经济中，各大商家都在致力于产品竞争销售以获取最大利润，这就需要制定最优价格从而使利润最大化，本文从影响商品销售需求量和价格角度切入，根据不同情况建立不同的模型，进而利用数学知识原理，建立起反映价格和利润变动的方程，最终确定利润最大化时的最优价格。关键字：需求量变动；价格变动；最优价格；利润最大化；利润最大模型；AbstractSince the beginning of the new century ,the commodity economy of our China is developing rapidly. In the market economy, major businesses are applying themselves to sales of competitive products to maximize profits ,which need to develop the best price. From the impact of commodity demand volume and price ,based on different models according to different situations ,this article utilize the principle of mathematical knowledge and establish the equation to reflect the changes in prices and profits ,and ultimately determine the optimal price to maximize profits .Key words: Demand change ;Price change ;The optimal price ;Profit maximization ;Maximization profit model ;I目录第1章 引言1第2章 问题的提出1第3章 问题的分析33.1影响商品需求量变动因素分析33.2影响商品价格变动因素分析3第4章 模型的建立和求解44.1模型假设：44.2模型的建立：54.3 模型的求解8第5章 模型的讨论与评价推广115.1模型的讨论115.2模型的评价推广12第6章 结束语12参考文献13III黄冈师范学院本科学位论文第1章 引言随着商品经济的快速发展，市场竞争日益激烈，这就要求厂商生产的产品质量优异、价格低廉，只有这样才能在市场竞争中立于不败之地。当然 最使厂商满意的莫过于获取最大的利润，即制订出最优价格，得到最好的经济效益。因此，如何实现商品销售的利润最大化，便是商家们最为关注的问题了。本文根据市场经济的发展及商家们对利润要求的实际现实情况，首先对影响商品需求量和商品价格变动因素进行大概分析，大致了解商品销售价格数量变动情况，接着根据不同情况建立相关模型，进而利用数学中的函数和微积分知识确定产销平衡状态下商品的最优价格，从而为商家们制定合理的销售价格,使其利润最大化。 第2章 问题的提出我们都知道目前中国市场上，生猪价格和猪肉价格一直吸引着养猪专业户和消费者的眼球。生猪价格和猪肉价格的变动是因市场需求情况而变动的,一般来说市场上猪肉需求高价格比较高,需求低价格较低。于此同时，这也影响着利润的高低，这就说明对于不同成本的商品而言，商家需要制定既定的最优价格方能获取最大利润。下图1给出了自2011年底以来的湖北省的猪肉价格走势图（单位：元/公斤）； 图1图2给出了进入2012年以来前13周湖北省的生猪价格走势图（单位：元/公斤）； 图2 图3给出了湖北省某养猪专业户的生猪价格、猪粮（成本）比和利润回报的关系走势图（单位：元/公斤、元/头） 图3从以上的三个图可以看出：图1和图2中猪肉价格和生猪价格是有起伏波动的，因为市场猪肉需求具有不确定，当市场中猪肉供不应求时，价格就会上涨；相反，当供过于求时，价格就会下跌，当然可能还包含其它种种因素综合影响着价格的走势。从图3中可以看出养猪专业户的利润是随价格波动而起伏不定的，只有指定最优生猪价格才能最大化利润。第3章 问题的分析3.1影响商品需求量变动因素分析（1）关于某种商品的自身价格，是影响该种商品需求量的主要因素，一般情况下，价格越高，需求量就越低；反之，价格越低，需求量就越高。（2）关于消费者收入水平，当消费者的收入水平提高时，就会增加对商品的需求量。相反，当消费者的收入水平降低时，就会减少对商品的需求量。（3）关于相关商品的价格，当一种商品本身的价格保持不变，而与他相关的其它商品的价格发生变化时，这种商品本身的需求量也会发生变化。例如，在其它条件不变的情况下，当馒头的价格不变而花卷的价格上升时，人们往往就会增加对馒头的购买，从而使得馒头的需求量上升。（4）关于消费者的偏好，当消费者对某种商品的偏好增强时，该商品的需求量就会增加。相反，偏好程度减弱，需求量就会减少。（5）关于消费者对商品的价格预期，当消费者预期某种商品的价格在未来下一期会上升时，就会增加对其的现期需求量；当消费者预期某种商品的价格在将来下一期会下降时，就会减少对其的现期需求量。上述几种因素中该种商品的价格是影响该种商品需求量的关键因素。3.2影响商品价格变动因素分析（1）关于市场环境因素，在现如今市场快速发展的今天，企业要想在越来越激烈的竞争中求得生存和发展，就必须使其产品具有较强的市场竞争能力不断适应市场的变化。因而，市场对企业发展起着决定性的作用。产品有市场，企业才能获利，丢掉一块市场，企业就会丧失一部分效益。产品无销路企业也就难以生存下去。所以企业发展必须确立以市场为导向的方针，遵循供求规律，当市场上商品供大于求时，生产者为出售商品展开价格上的竞争，而使商品价格下跌，当供不应求时，购买者会为获得商品而提高价格，使价格上涨，如此循环往复，市场就像一只看不见的“大手”调控着商品的价格，使供需达到平衡，价格最终趋向于均衡价格。（2）替代性或竞争性产品多少，对商家出售的产品来说，其可替代性产品越多，那么其价格就越低；相反，其可替代性产品越少，其价格就越高。与之同时，某种产品的竞争性越强，其价格就越高；相反就越低。（3）关于生产的成本，企业在实际定价中，首先考虑的是产品成本，它是产品定价的基础。产品成本是企业经济核算盈亏的临界点，价格不能补偿成本，企业就难以生存和发展，企业一般会增加产量来降低商品成本，从而来降低商品价格。这里的成本又包含可变成本和不变成本，不变成本在短期内不会变化，而可变成本是变动的，要降低商品的价格，就必须降低可变成本的费用。（4）关于国家政策方面的因素，包括相关的政策和法律法规等因素，如税收法，货币政策，财政政策，利率政策，汇率政策等，比如：国家在某一阶段执行宽松的货币政策，增加货币的投放，导致通胀，引起商品价格上升；实行积极的财政政策，减少税收，间接增加货币投放，引起价格上升；国家实行低利率政策，鼓励消费，增加市场需求，从而导致商品价格上升等，反之，国家减少货币的投放，增加税收，实行高利率政策等都可以引起价格的下降。此外，汇率政策在一定程度上也能引起国内物价水平的升落。第4章 模型的建立和求解本文的总体思路是：首先对影响商品需求量和价格的相关因素进行分析，接着主要考虑价格因素，通过不同市场实际情况建立不同的利润模型，并由这些模型求解出在产销平衡下利润最大化时的最优价格。4.1模型假设： 最优价格，简单的说就是使商家或企业获得最大利润的产品的价格。对于最优价格的问题，应该是每个企业关注的。如果一个厂长有权根据产品成本和销售情况制定商品价格的话，他当然会寻求能使工厂利润最大的所谓最优价格。本文所讨论的最优价格模型。是指在产销平衡状态下的模型，这里的产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。为了模型的更加合理性，这里假设产品的销售量依赖于产品的价格产品的成本与产品的产量也是相关联的。4.2模型的建立： 模型建立、求解原理：按照经济学中最基本的定律，利润是销售收入与支出之差。设每件商品价格为p，成本为q，销售量为x（与产量相等）需求函数为x =f(p)，则销售收入I和生产成本J分别为：I= px，C =qx。根据利润=销售量*价格-生产成本，因此利润U(p)可以表示为：U(p)=I-C=px-qx=(p-q)x=(p-q)f(p) (1) 使利润最大化的价格在=0时有： （2）其中dIdp称为边际收入（价格变动一个单位时收入的改变量)，dCdp称为边际成本（价格变动一个单位时的支出的改变量)。上式表明最优经济效益是在边际收入与边际成本相等时达到。模型一 若需求函数是线性函数，且是需求函数的减函数，即 f(p)=a-bp,(a,b0) （3） 且每件商品的成本q与产量x无关，把总收入函数、总支出函数、需求函数和（3）式代入（1）式得：U(p)=(p-q)(a-bp)用微分法求得最优价格p*为 p*= （4）在（3）式中a 可以理解为这种商品免费供应时（p = 0）社会的需求量，称为“绝对需求量”b= 表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度。在实际工作中a，b 可以由价格p 和售量Q 的统计数据用最小二乘法来确定。（4）式表明最优价格是两部分之和，一部分是成本q 的一半，另一部分与“绝对需求量”成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比。模型二 若考虑到成本q随着产量x的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解。不妨设q(x)= -kx,k是产量增加一个单位时降低的成本。令U(p)=0，得最优价格 模型三 假如销售量x 不是价格p 的线性函数，成本q 与产量x 无关，则最优价格p* 由U(p)=f(p)+(p-q)f(p)=0 确定。模型四 设销售期为T，由于商品消耗，成本q 随时间增长，设，为相对增长率，又设单位时间的销售量为x=a-bp（p 为价格），现将销售期分为0t T /2 和T/2 t 0）。此时，最优价格p* =p(t)，时间定在0，T内，总利润为： (5)使p(t)，满足 （6） （5）式为的泛函，利用Lagrange 乘子法把上述条件极值转化为无条件极值。令 解得 （7）（7）式表明最优价格为常数，将（7）式代入（6）得经计算得, （8）将（8）式代入（7）式得 （9）由（9）式得，最优价格由两部分构成：一部分与绝对需求量成正比与市场对价格的敏感系数成反比；另一部分随销售时间T 的增加而提高，随总销售量G 的增加而降低。模型六 若销售时间为T，销售的商品数量为G 件，且需求函数仍是线性函数，f(p)=a-bp，（a,b0）。但是，在销售过程中由于受存贮费和变质损失费等诸因素的影响，每件商品的成本q是可变的。设它随时间的相对增长率为(0)，且初始成本为，即，商品销售最优价格p*=p(t)。在时间0,T内获取的总利润为 （10）并且要求p(t)满足 （11）由假定q(t)随t的相对增长率为知 （12）满足。（12）式为变量分离型一阶常微分方程，满足的解为： （13）将（13）式代入（10）得利用Lagrange 乘子法将上述泛函的条件极值转化为无条件极值。令解得： (14)将（14）式代入（11）得 (15)将（15）式代入（14）式得该式表明每件商品的成本随时间延续不断提高，最优价格也随时间延续不断提高。由于约等于，因此上式可近似表为：从上式看出，商品销售最优价格近似由3 部分构成：第一部分与绝对需求量成正比与市场对价格的敏感系数成反比；第二部分随销售时间T的增加而提高，随总销售量G 的增加而降低；第三部分与初始成本成正比并与成本q 随时间的增长率成正比，以及随时间t的增加而提高。模型七 (列表法) 在实际工作中确定价格与销量的函数关系往往比较困难， 而且当成本函数与收入函数为离散型函数时，也无法商接使用上述公式法，因此通常使用列表法。这种方法是将不同价格水平下的销售资料归集起来列成表恪，通过考察边际收入与边际成本的关系来确定商品的最优价格。当某种商品的边际收入等于边际成书时， 所对应的售价即为最优价格。如果某种商品无法找到边际收入等于边际成本的点， 那么边际利润为不小于零的最小值所对应的售价即为最优价格。4.3 模型的求解例1 设某商品的需求函数为。在整个过程中，该商品每件成本q=4，求该商品的最优销售价格?解：因为在整个过程中每件商品的成本q=4是常数，所以该商品销售的最优价格是不变的。这属于模型1。由模型1 得,a=6，b= 12得=2+6=8,所以当时利润最大，此时价格为最优价格。例2 一液化石油公司，生产煤气。每罐煤气在初始销售时的成本为43 元，由于产品损耗等原因，每罐煤气的成本随时间增长，其增长率为1.5。该公司为了确定合适的价格，作了如下调查: 某液化石油公司销售情况调查表价格（元/罐）444547485053销售量（罐/月）12401211114811201066970 可将一年的销售量分为上半年和下半年两个时期，每半年的价格固定分别为 ,。（1）试求 ,使一年内的总利润最大；（2）若一年内的总售量为7100 罐，求 ,的最优值。解：此例属于模型4.（1）将上表数据代入x=a-bp可以得出a=2560,b=30,所以x=2560-30p,再将a=2560,b=30, =43, =1.5代入， 得出元，元。（2）把=7100，代入 , 得出例3 某商品在60天售出180件，在整个供销过程中每件商品的成本q=4保持不变，市场需求函数为。试求该商品的最优销售价格。解：此例属于模型5，已知a=6，b=，T=60，G=180,得：故该商品的最优价格为6元。例4 某商品在销售过程中，设市场需求函数，该商品在60天内售完180件，由于销售过程中，存贮费、变质损失费等诸因素的影响，每件商品的成本q的相对增长率=0.01，并设最初t=0时成本为=4试制定出该商品的最优销售价格。解：此种情况属于模型6，由题意a=6，b=，T=60，=0.01，=4，G=180得：我们看出此种情况下的商品销售最优价格随时间的延续而提高。例5 表1：某商品的有关销售资料 单位：元价格（p） 销量（x）销售收入（TR）边际收入（）总成本（TC）边际成本（）边际利润（）总利润（P）1630480-300-1801535525453252520200144056035350251021013455852537525021012506001540025-102001155605542525-201801060600-545025-30150 （1） 表1是某个商场的某种柜台商品一个月的销售情况表，根据表格求出使利润最大化时的该种商品的最优价格是多少？ 表2：某商场的有关销售资料 单位：元 价格（p）销量（x）销售收入（TR）边际收入（）总成本（TC）边际成本（）边际利润（）总利润（P）52402080-1580-5005050250042018252451756754860288038020802551258004670322034023452657587544803520300262027525900429037802602905285-258754010040002203200295-758003811041801803505305-125675 （2）表2是也是表1中的商场关于另一种柜台商品一个月的销售情况表，根据表格求出使利润最大化时的该种商品的最优价格又是多少？解：（1）从表1可以看到，当该商品的边际收入与边际成本相等同为25元时。总利润最大为210元，此时所对应的售价13元即为商品的最优价格。但在本表中价格为l4元时，总利润也是2l0元，那么应该选择13元还是14元作为最忧价格呢? 由于两种价格带来的利润相同，选择低价似乎没有意义。但是低价格既然不减少总利润，而且还可以提高商品的竞争力，因此13元优于14元。 （2）在上表中没有边际收入与边际成本相等的点，但边际利润25元是不小于0的最小值，此时总利润是900元为最大，所以它所对应的价格44元即为最优价格。 第5章 模型的讨论与评价推广5.1模型的讨论（1）销售量一定时 如果一个企业欲在短期内将一定的产品销售完，则必须制定相对较低的价格，否则不能保证任务的完成。如清仓大甩卖，换季特价等。而如果企业要在一个相对较长的时期内完成一定销售量的话，则它可以制定较高的价格，通过时间的增加来实现销售量的增加。 （2）时间一定时 在时间一定的情况下，若销售量较大，则显然要采取低价策略，否则在规定时间内完成不了任务。相反，若销售量较大，则可以采取相对的高价策略。（3）时间、销售量均不定时在这种情况下,要取决于时间与销售量的关系。若时间短，销售量大，这就要采取低价措施。若时间长,销售量少,则可以采取高价措施。若时间短,销售量少时间长,销售量大,这就要观察他们之间的比例关系。如果单位商品销售时间(T/Q)较长，则要采取高价措施；反之，采取低价措施。上述三种情况归纳为下表1。 表1 销售量与时间的关系销售量 时间 较短一定较长较小单位商品销售时间较长，高价单位商品销售时间较短，低价高价高价一定低价一定高价较大低价低价单位商品销售时间较长，高价单位商品销售时间较短，低价 另外，模型7还给出了一种特殊情况即：当成本函数和收入函数为离散型时，可以采取列表法进行判断求出最优价格。5.2模型的评价推广本文上述模型不但给出了实例的结果，而且还建立了普遍适用的最优价格的数学模型，只需针对具体的问题对模型稍加修改就可以从中得到你想要的答案了，可以推广到其它商品中。除了上述最优价格模型，经济学中的弹性理论，金融工程中的期货期权理论，最优化等都是经济和数学的完美结合，数学模型为经济学的研究开辟了一条宽阔的道路，同时也使经济学从定性研究向定量研究转化，更加具有理性和发散思维，正是数学和经济学的结合为社会科学的发展增加了动力，也为社会创造了很大的物质财富，相信数学模型这个工具将