大数定律和中心极限定理.doc

实验 大数定律和中心极限定理2.1 实验目的 本实验的主要目的是通过观察和分析试验结果加深对大数定律及中心极限定理的理解。2.2 实验准备2.2.1 需要掌握的概率知识1. 大数定律 (1) 伯努利定理：设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 0，有或 (2) 辛钦定理：设随机变量X1，X2，Xn，相互独立，服从同一分布，且具有数学期望E(Xk) = ，(k = 1，2，)，则对于任意正数 0，有2. 中心极限定理 设X1，X2，为独立同分布的随机变量序列，且对i = 1，2，有：E(Xi) = ，D(Xi) = 2则 它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。2.2.2 数学软件命令与功能 (1) Meandist 功能：求dist分布的期望 (2) Variancedist 功能：求dist分布的方差 (3) StandardDeviationdist 功能：求dist分布的标准差 (4) ExpectedValuef, dist, x 功能：求dist分布函数的数学期望Ef(X) (5) CharacteristicFunctiondist，t 功能：求dist分布的特征函数 (6) Frequenciesdist 功能：求dist中数据出现的频数2.3 实验内容【实验2-1】伯努利定理的直观演示： (1) 产生n个服从两点分布B(1，p)的随机数，其中p = 0.5，n = 50，统计1出现的个数代表n次试验中事件A发生的频数nA，计算； (2) 将(1)重复m = 100组，对给定的 = 0.05，统计m组中成立的次数及出现的频率。【实验2-2】辛钦大数定理的直观演示： (1) 产生服从N(0,1)的n个随机数，取n = 100，计算n个随机数的平均值； (2) 将(1)重复m = 100组，对给定的 = 0.05，统计m组中成立的次数及出现的频率。【实验2-3】中心极限定理的直观演示原始分布是离散分布 (1) 产生服从二项分布B(10，9)的n个随机数，取p = 0.2，n = 50，计算n个随机数之和y以及; (2) 将(1)重复m = 1000组，用m组的数据作频率直方图。2.4 实验过程【实验2-1】伯努利定理的直观演示 (1) 产生n个服从两点分布B(1，p)的随机数，其中p = 0.5，n = 50，统计1出现的个数代表n次试验中事件A发生的频数nA，计算； (2) 将(1)重复m = 100组，对给定的 = 0.05，统计m组中成立的次数及出现的频率。 输入以下Mathematica语句： Statisticsp = 0.5; eps = 0.05; m = 100; out = ;Forn = 10, n = 2000, n *= 3, t = ; dist = ; h = 0; Fori = 1, i = eps; out = Appendout, n, times, Ntimes/mTableFormout, TableHeadings - None, n, times, frequence 试验结果如下： 从表中可以看出：随着n的增大，伯努利试验中事件A的频率与概率的偏差不小于的概率越来越接近于0，即是说，当n很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小，由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替概率。【实验2-2】辛钦大数定理的直观演示 (1) 产生服从N(0,1)的n个随机数，取n = 100，计算n个随机数的平均值； (2) 将(1)重复m = 100组，对给定的 = 0.05，统计m组中成立的次数及出现的频率。 输入以下Mathematica语句： Statisticseps = 0.05; m = 100; out = ;Forn = 100, n = 2000, n +=100, t = ; dist = ; h = 0; Fori = 1, i = m, i+, dist = RandomArrayNormalDistribution0, 1, n; na = Meandist;t = Appendt, na; times = Countt, x_/; x None, n, times, frequence试验结果如表。 从表中可以看出：服从同一分布的n个随机变量的平均值，随着n的增大，与原分布的数学期望有较大偏差的可能性很小，于是在实际应用中，可用服从同一分布的大量随机数的平均值来代替分布的数学期望。【实验2-3】中心极限定理的直观演示原始分布是离散分布 (1) 产生服从二项分布B(10，9)的n个随机数，取p = 0.2，n = 50，计算n个随机数之和y以及; (2) 将(1)重复m = 1000组，用m组的数据作频率直方图。 输入以下Mathematica语句，画出频率直方图。 StatisticsDiscreteDistributions GraphicsGraphicsm = 1000; n = 50; p = 0.2;t = ; dist = ;Fori = 1, i False; 观察图可以看出：当原始分布是二项分布，n比较大时，n个独立同分布的随机变量之和近似于正态分布。2.5 实验作业 1. 产生n个服从两点分布B(1，p)的随机数，给定N，取p = 0.5， = 0.3，观察n从N到N+50变化时，在p的邻域内变化的过程。 2. 改变n，重做试验2-2。 3. 改变n，p，重做试验2-2，并与正态分布N(0，1)的概率密度图形进行比较。 4. 改变原始分