一元二次方程的起源和应用.doc

一元二次方程的起源与应用一年七班 唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。二、 起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的婆罗摩修正体系中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔花拉子米的代数学中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。我国九章算术勾股章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。三、一元二次方程的广泛应用例1：下列关于的方程，哪些是一元二次方程？ （1）；（2）；（3）；（4）； （5） ；（6） ；（7）；（8）注意点：二次项系数不为“0”； 未知数指数为“2”； 是整式方程；只含有一个未知数 例1:当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例2：方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。例3：若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。例4：若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A. m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1（一）、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边是一个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项。例1：方程的一次项系数是 ，常数项是 。例2：（2012洪山区模拟）若将一元二次方程化成一般形式后，一次项和常数项分别是 ；例3：一元二次方程化为一般式后为，试求的值的算术平方根？（二）、方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。（简而言之：将该方程的解，代入原方程可以得到一个等式）例1：（2013牡丹江）若关于x的一元二次方程为（a0）的解是，则的值是 。例2：（2012鄂尔多斯）若是方程的一个解，则的值为（）A3 B-3 C9 D-9 例3：关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。例4：已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。（三）解一元二次方程的解法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法直接开方法：对于，等形式均适用直接开方法例1、解方程： =0; 例2、若，则x的值为 。下列方程无解的是（ ）A. B. C. D.配方法：在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。例1：试用配方法说明的值恒大于0。例2：已知x、y为实数，求代数式的最小值。例3：已知为实数，求的值。例4：若，则t的最大值为 ，最小值为 。公式法：条件：,例1：（1）； （2）； （3）因式分解法：十字相乘法：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，如， ，例1：的根为（ ）A B C D 例2：方程的解为（ ）A. B. C. D.例3：解方程： 例4：已知,且,则的值为 例5:选择适当方法解下列方程： 四、专项训练：（一）整体思想：整体思想方法是指用“全局”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.例1：若，则4x+y= 。例2： 。例3：若，则x+y= 例4：若，则x+y= 。例5：已知的值为2，则= 例6：（苏州市）若，求的值？（二）降次的思想：通过变形，把高次项逐步转化为一次式或常数,从而达到降次的目的例1：解方程例2：如果，那么代数式的值。例3：已知是一元二次方程的一根，求的值。例4：解方程组（三）当一元二次方程的解为“1”或“-1”时对于一元二次方程的一般形式（），如果有一个根为1，则；如果有一个根为-1，则；反之也成立；巧求方程的解： 例1：已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。例2：方程的一个根为（ ）A B 1 C D （四）判别式“”的应用判别式：根据一元二次方程的系数，判断该方程是否有实数根例1：（2013珠海）一元二次方程：，下列说法正确的是（）A都有实数解 B无实数解，有实数解C有实数解，无实数解 D都无实数解例2：若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。例3：（2013潍坊）已知关于x的方程，下列说法正确的是（）A当=0时，方程无解B当=1时，方程有一个实数解C当=-1时，方程有两个相等的实数解D当0时，方程总有两个不相等的实数解例4：（2013六盘水）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 。例5：关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )A. B. C. D.例6：已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例7：为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解（五）韦达定理：法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。对于而言，当满足、时，才能用韦达定理。注意：切记盲目用韦达定理，而忽视了例1：（2013雅安）已知是一元二次方程的两根，则的值是（ ）A0 B2 C-2 D4例2：（2013天门）已知，是一元二次方程的两根，那么2+2的值为（ ）A-1 B9 C23 D27例3：已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，那么这个直角三角形的斜边长是（ ）A. B.3 C.6 D.例4：（2013泸州）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（）A5 B-5 C1 D-1例5：已知，求 例6：若，则的值为 。例7：已知是方程的两个根，那么 .（六）应用题类型一：单循环赛制（注意区别双循环赛）例1：（2013东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数有多少？例2：（2011黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定45条直线则n的值为 例3：（襄樊市改编）如图，锐角的内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同的射线，可得6个锐角；画3条不同的射线，可得10个锐角；照此规律，画多少条射线可以得到66个角？类型二：几何中的一元二次方程例1：（2009庆阳）如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为 例2：（2011台湾）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？（）A11 B12 C13 D14例3：（2013衢州）如图在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2） 当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长类型三：薄利多销的商家例1：（2013泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？例2：（2012山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？类型四：增长率的问题例1：（2012钦州）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由例2：（2013襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？例3：（2013巴中）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元求3月份到5月份营业额的月平均增长率？巩固练习（二）1.（2012洪山区模拟）若将一元二次方程化成一般形式后，一次项和常数项分别是 ；2.一元二次方程化为一般式后为，试求的值的算术平方根？3.（2013牡丹江）若关于x的一元二次方程为（a0）的解是，则的值是 。4.（2012鄂尔多斯）若是方程的一个解，则的值为（）A3 B-3 C9 D-9 5. （苏州市）若，求的值？6.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。7. 已知，求的值？8. （2012潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出33个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20