景区灭火模型(部分).doc

景区灭火的数学模型摘要在第一问中，我们利用最小点对法来得到完整的地形图。它是基于距离最小或方向差异最小约束的局部连接方法。我们通过搜索图像中的所有断点，再对每一个断点，找出与其距离最近的或方向差异最小的另一个断点，然后直接用线段连接这两个断点。第二问首先利用画图板将等高线进行分离，然后使用MATLAB软件中的imread函数将分离后的等高线图中的全部数据存储在矩阵中，依靠MATLAB强大的矩阵处理功能，读取等高线图中的物象点的矩阵坐标，通过坐标变换，得到高度不同的等高线所对应的地理坐标。在提取并分离得到数据后，通过MATLAB软件的nearest函数进行插值，拟合山区的三维地形图。再进行提取矩阵坐标，变换得到地理坐标，最后参照积分的原理，求得景区的地表面积。关键词： 最小点对法 等高线 积分 一 问题重述随着国家公园等自然风景区受到众多游客青睐，防火等一系列安全问题日益受到景区管理者等人注意。如果失火必然对游客生命财产安全造成巨大威胁，为尽早灭火，减少损失，必须合理安排消防站位置及消防路线，使消防队员能以最快速度到达现场。应此问题关键是确立消防站位置及消防路线。 二 问题分析问题一中，关键是确定需要连接的等高线位置。通过对图形分析可知待连接的等高线附近有一段相同或相近趋势的线段。本文采用最小点对法，通过寻找与之方向差异最小的点，使连接处的线段与原来线段误差相对较小。问题二中，要绘制三维图形必须有三维坐标，但题中只可直接得到二维坐标，应此必须先对图形进行分离。先提取出等高线，在对其补上相应高度。对于景区表面积，由于相邻等高线间信息没有给出，因此我们只能忽略，以拟合方式得到光滑表面并进行计算。 三 模型假设 1 假设景区任意路线都可行走，即不考虑建筑，自然景观等对路线的影响。 2 景区地貌无太大起伏，相对光滑，即可用平面进行拟合。 3 将消防站看成一个质点，不考虑其大小对选址影响。 4 假设地图长宽均为1米。 四 模型建立及求解问题一我们采用最小点对法来连接断点部分。最小点对法通过搜索图像中的断点，找出与其距离最近的或方向差异最小的另一个断点，然后直接用线段连接这两个断点。1.删除奇点 奇点主要是由于地形图上地貌符号与等高线相交、图像质量、线条不光滑等原因产生的，这些问题都会对等高线的连接带来不少困难和麻烦。这里我们采用手动式的剔除方法，剔除奇点。2. 建立点矩阵 对于图上线段所表示高度不同，等高线不能相交问题，可以先将等高线分离出来，再建立矩阵利用imread函数将同一条等高线上点提取出来。通过坐标变换得到每个线上点坐标，通过人工辨别找出断点坐标。3 断点连接 通过对图形进行分析可以发现不管等高线如何断裂，在它附近的点与它变化趋势相似。根据最小点对法，利用计算机筛选出与断点变化趋势相同或相近的点，再选取一些能反映变化趋势的点，通过运用拟合将断点连接起来。 经上述处理，可得到补全后的等高线图： 问题二 1 三维图 1 预处理 该等高线图经第一问已经补全，现对其进行修改与等高线分离。由于图上仍然标有高程，先利用画图板将高程擦去，再将等高线分离。可利用橡皮擦将不在同一等高线上点擦去，将等高线分离后的八个图分别存到八张512*512像素图中，得到的高程图分别为1.jpg,2.jpg,3.jpg,.8.jpg,将其保存在MATLAB中work目录内的 photo目录下。 2 数据读取与处理 地图是512*512像素，读入之后会产生512*512的矩阵。其中行为宽度，列为长度，且数据为逻辑值。0表示图上点，即等高线上点。通过算法将为0的点提取出来构成一个新的矩阵，这样得到等高线上的点。 由于得到的点是地图上的坐标，需经过坐标变换转换成实际坐标。原图比例尺是1厘米：10米，前面假设中假设图为1米*1米，那麽每个点的实际坐标通过变换可得。 这样便得到绘制实际图的两个坐标x,y，因为图像我们已经进行了分层，这样便可直接对数组加上所缺的坐标z. 3 图形绘制 通过前面准备，我们已经得到画图所需的点。但这些点是散点，先利用散点插值函数griddata，在已有数据基础上插值得到绘图所需点的矩阵。 通过插值，三维矩阵已经得到，利用mesh函数可得所需三维地形图。如下图所示： 2 表面积 1 模型建立 由于立体图只给出一些等高线并不能算出表面积，因此需忽略等高线间地表起伏变化，假设变化连续光滑。先算出各个区域面积，再相加可得最终面积。 为估算地形图中的图形面积，我们由最高点引很多射线，射线与等高线相交将区域D分成m*n个曲边四边形。我们把图形分割较细，可用任意四边形代替曲边四边形，并把任意四边形看成由两个三角形组成的。所以我们可以求出平面四边形的面积，由此求出相应的斜面四边形（即曲面四边形）的面积，将所有斜面四边形的面积相加得到区域D的表面积，如下图所示： 当h趋近0时，用P表示三角形近似法所得到的图形面积。我们以最高点o 为中心建一极坐标系（如下图）。令高度为z的等高线的方程为： =（z，） （02）假定a(z, )/a与a(z, )/az在（0,2）上是连续的，因此当h趋近0时，用四边形法所求面积： 显见： 注意到（h, ）及h*l的极限，有：由于h趋向0，可得斜面四边形积分：所以图形的地表面积 2 编程求解 在上一问基础上，可进一步将等高线分离，即将每一条闭合等高线分开，也就是每一个图再次分为一或二或四个图，程序见附录。 编写程序将每条线上点读入，将其存入目录下。 从任意边界点开始，按逆时针方向读点，除去异常点后存在矩阵中。 利用函数从起始点开始沿逆时针方向调用各个点，分别求出各个部分面积，积分可的最终面积。 具体程序见附录：代入数据，运行可得: P=5.6*e+005 m2 五 模型的评价及推广一 问题一的评价推广 该方法为理想状态下的等高线连接，对于距离较短的线段可以比较好的拟合，但距离较长时误差较大。对于此，可用基于一种改进型的等高线连接方法。通过普染，空间网格索引寻找断点，断点连接，可以较好的连接距离较长的断点。 二 问题二的评价推广 由于采用的是画图板，并非专业工具因此图形处理有一定误差。且在等高线分离时采用了人工方法，对于等高线密集的图形并不适用。可用上一题中提到的方法，通过染色，寻找相同颜色将图形分离。在图形表面积求解过程中运用了三角形类似法，适用于地