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文档简介
27立体几何中的计算问题1(2014大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为_答案解析如图,设球心为o,半径为r,则rtaof中,(4r)2()2r2,解得r,所以,该球的表面积为4r24()2.2(2014福建改编)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为_答案2解析以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r1,高h1,所以侧面积s2rh2.3(2013辽宁改编)已知直三棱柱abca1b1c1的6个顶点都在球o的球面上若ab3,ac4,abac,aa112,则球o的半径为_答案解析因为abac,且aa1底面abc,将直三棱柱补成内接于球的长方体,则长方体的对角线l 2r,r.4在三棱柱abca1b1c1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点d是侧面bb1c1c的中心,则ad与平面bb1c1c所成角的大小是_答案60解析取bc中点e,连结ae,则ae平面bcc1b1,故ade为直线ad与平面bb1c1c所成的角设各棱长为a,则aea,dea.tanade.ade60.5.如图,四棱锥pabcd的底面是一直角梯形,abcd,baad,cd2ab,pa底面abcd,e为pc的中点,则be与平面pad的位置关系为_答案平行解析取pd的中点f,连结ef,在pcd中,ef綊cd.又abcd且cd2ab,ef綊ab,四边形abef是平行四边形,ebaf.又eb平面pad,af平面pad,be平面pad.6已知两球o1和o2在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的内部,且互相外切,若球o1与过点a的正方体的三个面相切,球o2与过点c1的正方体的三个面相切,则球o1和球o2的表面积之和的最小值为_答案(63)解析设球o1,o2的半径分别为r1,r2,由题意知o1ao1o2o2c1,而o1ar1,o1o2r1r2,o2c1r2,r1r1r2r2.r1r2,从而s1s24r4r4(rr)4(63).7.如图,正方体abcda1b1c1d1中,ab2,点e为ad的中点,点f在cd上若ef平面ab1c,则线段ef的长度为_答案解析在正方体abcda1b1c1d1中,ab2,ac2.又e为ad的中点,ef平面ab1c,ef平面adc,平面adc平面ab1cac,efac,f为dc的中点,efac.8(2014江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为s1,s2,体积分别为v1,v2,若它们的侧面积相等,且,则的值是_答案解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和h1,h2,由,得,则.由圆柱的侧面积相等,得2r1h12r2h2,即r1h1r2h2,所以.9.如图所示,在正三角形abc中,d,e,f分别为各边的中点,g,h分别为de,af的中点,将abc沿de,ef,df折成正四面体pdef(点a、b、c重合后记为p),则四面体中异面直线pg与dh所成角的余弦值为_答案解析折成的正四面体如图所示,连结he,取he的中点k,连结gk,pk,则gkdh,故pgk即为所求的异面直线所成角或其补角设这个正四面体的棱长为2,在pgk中,pg,gk,pk ,故cospgk.即异面直线pg与dh所成角的余弦值为.10. (2013安徽)如图,正方体abcda1b1c1d1的棱长为1,p为bc的中点,q为线段cc1上的动点,过点a,p,q的平面截该正方体所得的截面记为s.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0cq时,s为四边形;当cq时,s为等腰梯形;当cq时,s与c1d1的交点r满足c1r;当cq1时,s为六边形;当cq1时,s的面积为.答案解析当0cq时,如图(1)在平面aa1d1d内,作aepq,显然e在棱dd1上,连结eq,则s是四边形apqe.当cq时,如图(2)显然pqbc1ad1,连结d1q,则s是等腰梯形当cq时,如图(3)作bfpq交cc1的延长线于点f,则c1f.作aebf,交dd1的延长线于点e,d1e,aepq,连结eq交c1d1于点r,rtrc1qrtrd1e,c1qd1ec1rrd112,c1r.当cq1时,如图(3),连结rm(点m为ae与a1d1交点),显然s为五边形apqrm.当cq1时,如图(4)同可作aepq交dd1的延长线于点e,交a1d1于点m,显然点m为a1d1的中点,s为菱形apqm,其面积为mpaq.11已知一个圆锥的底面半径为r,高为h,在其内部有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积;(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大?解(1)作圆锥的轴截面,如图所示设内接圆柱的半径为r.因为,所以rrx,所以s圆柱侧2rx2rxx2(0xh)(2)因为0,所以当x时,s圆柱侧最大故当x,即圆柱的高为圆锥高的一半时,圆柱的侧面积最大12(2014北京)如图,在三棱柱abca1b1c1中,侧棱垂直于底面,abbc,aa1ac2,bc1,e,f分别是a1c1,bc的中点(1)求证:平面abe平面b1bcc1;(2)求证:c1f平面abe;(3)求三棱锥eabc的体积(1)证明在三棱柱abca1b1c1中,bb1底面abc,所以bb1ab.又因为abbc,bb1bcb,所以ab平面b1bcc1,又因为ab平面abe,所以平面abe平面b1bcc1.(2)证明取ab的中点g,连结eg,fg.因为e,f分别是a1c1,bc的中点,所以fgac,且fgac.因为aca1c1,且aca1c1,所
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