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文档简介

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）28高斯函数数论函数，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数是不超过的最大整数，称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数由、的定义不难得到如下性质：（1）的定义域为R，值域为Z；的定义域为R，值域为（2）对任意实数，都有.（3）对任意实数，都有.（4）是不减函数，即若则，其图像如图I 451；是以1为周期的周期函数，如图I 452. 图451 图452（5）.其中.（6）；特别地，（7），其中；一般有；特别地，.（8），其中.例题讲解1求证：其中k为某一自然数.2对任意的3计算和式4设M为一正整数，问方程，在1，M中有多少个解？5求方程67对自然数n及一切自然数x，求证：.8求出的个位数字例题答案：1证明：2为质数，n!中含2的方次数为若故反之，若n不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2sp，其中p1为奇数，这时总可以找出整数t，使由于n!.这与已知矛盾，故必要性得证.2解：因对一切k=0,1,成立，因此，又因为n为固定数，当k适当大时,3解：显然有：若503是一个质数，因此，对n=1,2,502, 都不会是整数，但+可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，+故4解：显然x=M是一个解,下面考察在1，M中有少个解.设x是方程的解.将代入原方程，化简得所以上式成立的充要条件是2xx为一个整数.5解：经检验知，这四个值都是原方程的解.6这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下.【证明】由于7解：M|f(x)|maxmax|f|，|f(1)|，|f()|若|1 (对称轴不在定义域内部)则Mmax|f|，|f(1)|而f1ab f(1)1ab|f|f(1)|ff(1)|2|a|4则|f|和|f(1)|中至少有一个不小于2 M2|1Mmax|f|，|f(1)|，|f()| max|1ab|，|1ab|，|b| max|1ab|，|1ab|，|b|，|b| (|1ab|1ab|b|b|) (1ab)(1ab)(b)(b) 综上所述，原命题正确.8先
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