聊城大学实变函数期末试题.doc

实变函数一、单项选择题1、下列各式正确的是（ C D ）（A）; （B）（C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ D ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ B ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( A )（A）若, 则 (B) 是可测函数 （C）是可测函数;（D）若,则可测5. 下列说法不正确的是( C ) (A) 的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点 (B) 的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点 (C) 存在中点列，使，则是的聚点 (D) 内点必是聚点6.设在上可积,则下面不成立的是( C )(A)在上可测 (B)在上a.e.有限 (C)在上有界 (D)在上可积7. 设是一列可测集，则有（B ）。（A） (B) （C）;（D）以上都不对9、设，则（ B ）(A) （B） (C) （D）10、设是上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ）（A） (B) (C) =0，1 (D) 11、下列说法不正确的是（ C ）(A) 若，则 （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测12、设是一列可测集，且，则有（ A ）（A） (B) （C）;（D）以上都不对13、设f(x)是上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B ）(A) 在上的一致连续函数 (B) 在上处处可导（C）在上L可积 (D) 是有界变差函数14设是两集合，则 =（ C ） (A) (B) (C) (D) 16. 下列断言( B )是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；17. 下列断言中( C )是错误的。（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 18. 若，则下列断言（ A ）是正确的(A) 在可积在可积； (B) (C) ;(D) 19、设是闭区间中的无理点集，则（A ） 是不可测集 是闭集二、填空题1、2、设是上有理点全体，则=,=,=.3、设是中点集，如果对任一点集都有，则称是可测的.4、可测的(充要)条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 5、设，则（0，2）6、设,若则是闭集；若，则是开集；若，则是完备集.7、设是一列可测集，则8、设集合，则9、设为Cantor集，则 ，0，=。10、果洛夫定理：设是上一列收敛于一个有限的函数 的可测函数，则对任意存在子集，使在上一致收敛且。11、在上可测，则在上可积的充要条件是|在上可积.12、设为Cantor集，则 c，0，=。13、设是一列可测集，则14、鲁津定理：设是上有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使得在上是连续函数，且。 15、设为上的有限函数，如果对任意，使对中互不相交的任意有限个开区间只要，就有则称为上的绝对连续函数。 16、,因为存在两个集合之间的一一映射为.17、设是中函数的图形上的点所组成的 集合，则，.18、设是闭区间中的全体无理数集, 则.19、设, ,若,则称是的聚点.20设是上几乎处处有限的可测函数列, 是 上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有, 则称在上依测度收敛于.三、判断1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。F2、若，则一定是可数集.F3、若是可测函数，则必是可测函数。F 4设在可测集上可积分，若，则 F 5、A为可数集，B为至多可数集，则AB是可数集.T 6、若，则 F 7、若是可测函数，则必是可测函数F8设在可测集上可积分，若，则 F9、任意多个开集之交集仍为开集 F 10、若，则一定是可数集.F 11、收敛的函数列必依测度收敛。F12、由于，故不存在使之间对应的映射。F13、可数个零测度集之和集仍为零测度集。T14、 若可测, 且,则.F15、设为点集, , 则是的外点. F16、点集为闭集.F17、任意多个闭集的并集是闭集.F四、解答题1、设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。解：在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集，因为是有界可测函数，在上是可积的因为与相等，进一步，考 生 答 题 不 得 超 过 此 线2、求解：设，则易知当时，又因，()，所以当时，从而使得但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有，3、求极限 解：记则在0,1上连续,因而在0,1上（R）可积和（L）可积. 又 且在上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得 4、设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。解：在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集因为是有界可测函数，所以在上是可积的因为与相等, 进一步，5、求极限 .解：设，则易知当时，又，但是不等式右边的函数，在上是可积的故有6、设求出集列的上限集和下限集证明：设，则存在N，使，因此时，即，所以属于下标比N大的一切偶指标集，从而属于无限多，得，又显然得 分阅卷人若有，则存在N，使任意，有，因此若时，此不可能，所以五、证明题1、证明上的全体无理数作成的集其势为.证明：设 。 得 分阅卷人复查人2. 设使，则E是可测集。 证明：对任何正整数，由条件存在开集使令，则是可测集 又因对一切正整数成立，因而，即是一零测度集，所以也可测.由知，可测。 得 分阅卷人复查人3.试用Fatou引理证明Levi定理.证明：设为可测集上的一列非负可测函数，且在上有，令 由为单调可测函数列知，可测，且于是 从而 （*） 另一方面，因为可测集上的一列非负可测函数，由Fatou引理知 （*） 由（*）、（*）两式即证得 分阅卷人复查人4、试证证明：记中有理数全体,令显然 所以 考 生 答 题 不 得 超 过 此 线5、设是可测集的非负可积函数，是的可测函数，且，则也是上的可积函数。 证明：， 是可测集的非负可积函数 是上的可积函数. 同理，也是上的可积函数.是上的可积函数。 得 分阅卷人复查人7.设在上可积，则对任何，必存在上的连续函数，使.证明：设由于在上有限，故由积分的绝对连续性，对任何，使令，在上利用鲁津定理，存在闭集和在上的连续函数使（1）（2）时，且所以 8、 设,且为可测集, .根据题意, 若有 , 证明是可测集. 证明：令, 则且为可测集, 于是对于, 都有, 故,令, 得到, 故可测. 从而可测.9. 证明:证明：1、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。P512、设在上可积，则.P132得 分阅卷人复查人3、设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理) P944. 设为E上可积函数列，.于E，且，k为常数，则在E上可积.