高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 1 坐标系课件 理 选修44.ppt

选修4 4坐标系与参数方程第一节坐标系 知识梳理 1 伸缩变换设点p x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点p x y 对应到点p x y 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 2 极坐标系与点的极坐标 1 极坐标系 在如图极坐标系中 点o是 射线ox是 为 通常取逆时针方向 为 表示极点o与点m的距离 点m的极坐标是 极点 极轴 极角 极径 m 2 点的极坐标 对于极坐标系所在平面内的任一点m 若设 om 0 以ox为始边 om为终边的角为 则点m可用有序数对 表示 3 直角坐标与极坐标的互化 1 前提 把直角坐标系的原点作为极点 x轴正半轴作为极轴 且在两种坐标系中取相同的长度单位 2 互化公式 设m是平面内的任意一点 它的直角坐标 极坐标分别为 x y 和 则 4 直线的极坐标方程 1 一般位置 若直线过点m 0 0 且极轴到此直线的角为 则它的极坐标方程为 sin 0sin 0 2 特殊位置 cos sin 5 圆的极坐标方程 1 一般位置 若圆心为m 0 0 半径为r 则该圆的方程为 2 2 0 cos 0 02 r2 0 2 几个特殊位置的圆的极坐标方程 圆心位于极点 半径为r 圆心位于m a 0 半径为a 圆心位于m 半径为a r 2acos 2asin 特别提醒 1 应用伸缩变换时 要分清变换前的点的坐标 x y 与变换后的点的坐标 x y 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化问题 要注意互化时要将极坐标方程作适当转化 1 若是和角 常用两角和与差的三角公式展开 化为可用公式形式 2 为了出现公式形式 两边可以同乘以 考向一伸缩变换 典例1 求双曲线c x2 1经过 变换后所得曲线c 的焦点坐标 解题导引 设出曲线c 上任意点的坐标 利用点的坐标和变换把双曲线上的点的坐标表示出来 再代入双曲线方程可得变换后的曲线方程 进而可求焦点坐标 规范解答 设曲线c 上任意一点p x y 由上述可知 将代入x2 1 得化简得即为曲线c 的方程 可见仍是双曲线 则焦点f1 5 0 f2 5 0 为所求 规律方法 伸缩变换后的方程求法平面上的曲线y f x 在变换 的作用下的变换方程的求法是将代入y f x 得整理之后得到y h x 即为所求变换之后的方程 变式训练 在同一平面直角坐标系中 将直线x 2y 2变成直线2x y 4 求满足图象变换的伸缩变换 解析 设变换为代入第二个方程 得2 x y 4 与x 2y 2比较系数得 1 4 即因此 经过变换后 直线x 2y 2变成直线2x y 4 加固训练 1 在同一平面直角坐标系中 已知伸缩变换 1 求点a经过 变换所得的点a 的坐标 2 点b经过 变换得到点b 求点b的坐标 3 求直线l y 6x经过 变换后所得到的直线l 的方程 解析 1 设a x y 由伸缩变换 得到由于点a的坐标为于是x 3 1 y 2 1 所以a 1 1 为所求 2 设b x y 由伸缩变换 得到由于点b 的坐标为于是x 3 1 y 2 1 所以b 1 1 为所求 3 由伸缩变换 得代入直线l y 6x 得到经过伸缩变换后的方程为y x 因此直线l 的方程为y x 2 在同一平面直角坐标系中 经过伸缩变换后 曲线c x2 y2 36变为何种曲线 并求曲线的焦点坐标 解析 设圆x2 y2 36上任一点为p x y 伸缩变换后对应的点的坐标为p x y 则所以4x 2 9y 2 36 即所以曲线c在伸缩变换后得椭圆其焦点坐标为 0 考向二极坐标与直角坐标的互化 典例2 2015 全国卷 在直角坐标系xoy中 直线c1 x 2 圆c2 x 1 2 y 2 2 1 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求c1 c2的极坐标方程 2 若直线c3的极坐标方程为 设c2与c3的交点为m n 求 c2mn的面积 解题导引 1 用公式代入即可 2 把c3的方程代入c2 所解得的两根之差即为mn的长度 规范解答 1 因为x cos y sin 所以c1的极坐标方程为 cos 2 c2的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0 2 将 代入 2 2 cos 4 sin 4 0 得 2 3 4 0 解得 1 2 2 故 1 2 即 mn 由于圆c2的半径为1 所以 c2mn的面积为 母题变式 1 本例条件不变 求直线c1与c3的交点的极坐标 解析 联立两直线方程得解得所以交点的极坐标为 2 本例条件不变 求圆c2关于极点的对称圆的方程 解析 因为点 与 关于极点对称 所以由c2的极坐标方程为 2 2 cos 4 sin 4 0得圆c2关于极点的对称圆方程是 2 2 cos 4 sin 4 0 规律方法 直角坐标化为极坐标的关注点 1 根据终边相同的角的意义 角 的表示方法具有周期性 故点m的极坐标 的形式不唯一 即一个点的极坐标有无穷多个 当限定 0 0 2 时 除极点外 点m的极坐标是唯一的 2 当把点的直角坐标化为极坐标时 求极角 应注意判断点m所在的象限 即角 的终边的位置 以便正确地求出角 0 2 的值 易错提醒 极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形 构造形如 cos sin 2的形式 进行整体代换 其中对方程的两边同乘以 或同除以 及方程两边平方进行变形时 方程必须同解 因此应注意对变形过程的检验 变式训练 2016 唐山模拟 已知极坐标方程c1 10 c2 sin 6 1 化c1 c2的极坐标方程为直角坐标方程 并分别判断曲线的形状 2 求c1 c2交点间的距离 解析 1 由c1 10 得 2 100 所以x2 y2 100 所以c1是圆心为 0 0 半径等于10的圆 由c2 sin 6 得 6 所以y x 12 即x y 12 0 所以c2表示一条直线 2 由于圆心 0 0 到直线x y 12 0的距离为d 所以直线c2被圆截得的弦长等于2 16 加固训练 1 在极坐标系中 设曲线c1 2sin 与c2 2cos 的交点分别为a b 求线段ab的垂直平分线的极坐标方程 解析 将曲线c1 2sin c2 2cos 的极坐标方程化为直角坐标方程分别为c1 x2 y 1 2 1 c2 x 1 2 y2 1 所以过两圆交点的直线为y x 线段ab的中点坐标为 因此线段ab的垂直平分线的方程为x y 1 0 化为极坐标方程为 sin 2 2015 北京高考改编 在极坐标系中 求点到直线 cos sin 6的距离 解析 点可化为 即 1 直线 cos sin 6可化为x y 6 0 由点到直线的距离公式可得 考向三极坐标方程的应用 典例3 2016 石家庄模拟 在极坐标系ox中 直线c1的极坐标方程为 sin 2 m是c1上任意一点 点p在射线om上 且满足 op om 4 记点p的轨迹为c2 1 求曲线c2的极坐标方程 2 求曲线c2上的点到直线 cos距离的最大值 解题导引 1 设出m p的极坐标 由 op om 4 即m p的极径之积等于4得到两点的极坐标的关系 把m的极坐标用p的极坐标表示 代入直线c1的极坐标方程即可得到曲线c2的极坐标方程 2 化极坐标方程为普通方程 由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 与圆的半径作和可求曲线c2上的点到直线 cos距离的最大值 规范解答 1 设p 1 m 2 由 op om 4 得 1 2 4 即 2 因为m是c1上任意一点 所以 2sin 2 即sin 2 1 2sin 所以曲线c2的极坐标方程为 2sin 2 由 2sin 得 2 2 sin 即x2 y2 2y 0 化为标准方程为x2 y 1 2 1 则曲线c2的圆心坐标为 0 1 半径为1 由直线 cos得 cos cos sin sin 即x y 2 圆心 0 1 到直线x y 2的距离为所以曲线c2上的点到直线 cos距离的最大值为1 规律方法 极坐标方程问题的处理思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解 然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程 熟练掌握互换公式是解决问题的关键 变式训练 2016 信阳模拟 已知圆o1和圆o2的极坐标方程分别为 2 2 2 cos 2 1 把圆o1和圆o2的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求经过两圆交点的直线的极坐标方程 解析 1 由 2知 2 4 所以圆o1的直角坐标方程为x2 y2 4 因为所以所以圆o2的直角坐标方程为x2 y2 2x 2y 2 0 2 将两圆的直角坐标方程相减 得经过两