线性代数 矩阵的特征值与特征向量.ppt

1特征值与特征向量 相似矩阵 1特征值与特征向量 相似矩阵 第五章矩阵的特征值与特征向量 2矩阵可对角化的条件 实对称矩阵的对角化 1特征值与特征向量 相似矩阵 一 特征值与特征向量 二 相似矩阵 1特征值与特征向量 相似矩阵 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 一 特征值与特征向量 定义1 列向量 使得 则称数为方阵A的一个特征值 非零向量称为 设A是n阶方阵 若对于数 存在n维非零 A的属于特征值的一个特征向量 注 存在非零向量使 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 设是一个未知量 矩阵称为A的 定义2 特征矩阵 它的行列式 特征方程 其根称为A的特征根 即A的特征值 称为A的特征多项式 方程称为A的 注 n阶方阵A在复数范围内有n个特征值 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 1 若是A的属于特征值的特征向量 则 也是A的属于的特征向量 3 特征向量不是被特征值所唯一确定的 4 特征值是被特征向量所唯一确定的 一个特征值可以有多个特征向量 一个特征向量只能属于一个特征值 2 也是A的属于的特征向量 若是A的属于特征值的特征向量 则不全为零 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤 全部特征值 i 求A的特征多项式的全部根 它们就是A的 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 例1 求矩阵的特征值与特征向量 例2 求矩阵的特征值与特征向量 例3 求矩阵的特征值与特征向量 例题 P160 163 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 性质1 n阶矩阵A与它的转置矩阵的特征值相同 性质3 已知为n阶矩阵A的一个特征值 则 1 必有一个特征值为 2 必有一个特征值为 主要性质 A的全体特征值的和 A的全体特征值的积 性质2 设n阶矩阵 则 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 3 必有一个特征值为 4 A可逆时 必有一个特征值为 5 A可逆时 必有一个特征值为 6 多项式必有一个特征值为 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 例4 设3阶矩阵A满足 则A的特征值 只能是1或2 证明 由得 即 从而 或 即A的特征值只能是1或2 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 例6 已知3阶矩阵A的特征值为 1 2 3 求 行列式 例5 已知3阶矩阵A的特征值为 1 1 2 则矩阵的特征值为 行列式 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 特征值的特征向量 则 定理1 设是阶矩阵A的属于互不相同的 线性无关 属于矩阵A的不同特征值的特征向量线性无关 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 值 是A的属于特征值 定理2 设是阶矩阵A的互不相同的特征 的线性无关特征向量 则向量组 线性无关 对一个矩阵 属于每个特征值的线性无关特征向量 合在一起仍为线性无关 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 二 相似矩阵 1 定义 设A B为两个n阶矩阵 若存在可逆矩阵P 使得 则称矩阵A相似于B P称为相似变换矩阵 2 基本性质 1 相似矩阵的转置矩阵也相似 2 相似矩阵的幂矩阵也相似 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 3 相似矩阵的多项式也相似 4 相似矩阵的秩相等 5 相似矩阵的行列式相等 6 相似矩阵的可逆性相同 当它们可逆时 其 逆矩阵也相似 定理3 相似矩阵的特征多项式相同 从而特征值相同 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 推论 设n阶矩阵A与对角矩阵 相似 则就是A的n个特征值 注 若矩阵A与对角矩阵相似 则可方便求出A的幂 及A的多项式 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 2矩阵可对角化的条件 实对称矩阵的对角化 一 矩阵可对角化的条件 二 实对称矩阵的对角化 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 称矩阵A可对角化 定义1 矩阵A是一个阶方阵 若存在可逆矩阵 使为对角矩阵 即A与对角矩阵相似 则 一 矩阵可对角化的条件 定理1 设矩阵A是一个阶方阵 则A可对角化 有个线性无关的特征向量 推论若n阶矩阵A有n个不同特征值 则A可对角化 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 定理2 设矩阵A是一个阶方阵 则A可对角化 属于A的每个特征值的线性无关特征向量的个数 等于该特征值的重数 对角化的判断 步骤 1 求出矩阵A的全部互不相等的特征值 2 对每一个特征值 求出齐次线性方程组 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 的一个基础解系 此即A的属于的全部线性无关 的特征向量 3 若全部基础解系所含向量个数之和等于n 则 矩阵A可对角化 否则A不可对角化 4 以这些解向量为列 作一个n阶方阵P 则P可逆 就是对角矩阵 对角矩阵对角线上元素是A的 互不相等的特征值 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 例1 问A是否可对角化 若可 求可逆矩阵P 使 为对角矩阵 这里 得A的特征值是2 2 7 解 A的特征多项式为 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 对于特征值2 求出齐次线性方程组 对于特征值 7 求出齐次方程组 的一个基础解系 的一个基础解系 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 令 则 所以A可对角化 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 例2 设 则求一可逆矩阵P 使成对角形 解 A的特征多项式为 求得A的特征值为 1特征值与特征向量 相似矩阵特征值与特征向量 相似矩阵 得基础解系