2018版高中数学第二章平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例学案新人教A版.docx

2.5.1平面几何中的向量方法 2.5.2向量在物理中的应用举例1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.(重点)2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.(重点)3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力.(难点)基础初探教材整理1平面几何中的向量方法阅读教材P109P110例2以上内容，完成下列问题.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ABC是直角三角形，则有0.()(2)若，则直线AB与CD平行.()【解析】(1)错误.因为ABC为直角三角形，B并不一定是直角，有可能是A或C为直角.(2)错误.向量时，直线ABCD或AB与CD重合.【答案】(1)(2)教材整理2向量在物理中的应用阅读教材P111例3至P112例4以上内容，完成下列问题.1.物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等.2.向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解.3.动量mv是向量的数乘运算.4.功是力F与所产生的位移s的数量积.已知力F(2,3)作用在一物体上，使物体从A(2,0)移动到B(2,3)，则F对物体所做的功为_焦耳.【解析】由已知位移(4,3)，力F做的功为WF2(4)331.【答案】1小组合作型向量在平面几何中的应用如图251，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且AE，CD交于点P，求证：BPDC.图251【精彩点拨】先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积.【自主解答】设，并设正三角形ABC的边长为a，则有：，(21).又，(21)kk，于是有解得，从而a2a2a2cos 600.由向量垂直的条件知，BPDC.垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示.当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知.再练一题1.已知正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AFDE.【证明】设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，则中点E(1,0)，F(2,1)，(2,1)，(1，2)，211(2)0，AFDE.向量在解析几何中的应用过点A(2,1)，求：(1)与向量a(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b(1,2)垂直的直线方程.【精彩点拨】在直线上任取一点P(x，y)，则(x2，y1)，由a可以得(1)，由b可以得(2).【自主解答】设所求直线上任意一点P(x，y)，A(2,1)，(x2，y1).(1)由题意知a，(x2)13(y1)0，即x3y50，所求直线方程为x3y50.(2)由题意，知b，(x2)(1)(y1)20，即x2y40，所求直线方程为x2y40.1.本题求解的关键是在所求直线上任取一点P(x，y)，从而得到向量的坐标.2.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.再练一题2.已知点A(1,0)，直线l：y2x6，点R是直线l上的一点，若2，求点P的轨迹方程.【解】设P(x，y)，R(x0，y0)，则(1,0)(x0，y0)(1x0，y0)，(x，y)(1,0)(x1，y).由2，得又点R在直线l：y2x6上，y02x06，由得x032x，代入得62(32x)2y，整理得y2x，即为点P的轨迹方程.向量在物理中的应用(1)一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角且|F1|2，|F2|4，则|F3|()A.6B.2C.2 D.2(2)在风速为75()km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向.【精彩点拨】(1)可利用F1F2F30分离F3得F3F1F2，平方可求|F3|.(2)解本题首先根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解.【自主解答】(1)因为物体处于平衡状态，所以F1F2F30，所以F3(F1F2)，所以|F3|F1F2|2.【答案】D(2)设风速，a有风时飞机的航行速度，b无风时飞机的航行速度，ba.如图所示.设|a|，|，|b|，作ADBC，CDAD于D，BEAD于E，则BAD45.设|150，则|75()，|75，|75.从而|150，CAD30，|b|150 km/h，方向为北偏西60.向量在物理中的应用：(1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解.(2)用向量方法解决物理问题的步骤：把物理问题中的相关量用向量表示；转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；结果还原为物理问题.再练一题3.在静水中划船速度的大小是每分钟40 m，水流速度的大小是每分钟20 m，如果一小船从岸边O处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？ 【解】如图所示，设向量的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以，为邻边作平行四边形OACB，连接OC.依题意OCOA，BCOA20，OB40，BOC30.故船应向上游(左)与河岸夹角为60的方向行进.探究共研型向量的数量积在物理中的应用探究1向量的数量积与功有什么联系？【提示】物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.探究2用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？【提示】用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：问题转化，即把物理问题转化为数学问题；建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中.两个力F1ij，F24i5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).求：(1)F1，F2分别对该质点做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点做的功.【精彩点拨】向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题.【自主解答】(720)i(015)j13i15j.(1)F1做的功W1F1sF1(ij)(13i15j)28 J.F2做的功W2F2sF2(4i5j)(13i15j)23 J.(2)FF1F25i4j，所以F做的功WFsF(5i4j)(13i15j)5 J.1.求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解.2.如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W|F|s|cos ，其中是F与s的夹角.由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积.再练一题4.如图252所示，已知力F与水平方向的夹角为30(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数0.02的水平面上运动了20 m，则力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(|g|10 m/s2)图252【解】设木块的位移为s，则：WFs|F|s|cos 305020500(J).因为F在竖直方向上的分力的大小为|F1|F|sin 305025(N)，所以物体所受的支持力的大小为|FN|mg|F1|8102555(N).所以摩擦力的大小为|f|FN|0.02551.1(N).又f与s反向，所以fs|f|s|cos 1801.120(1)22(J).即F与f所做的功分别是500 J与22 J.1.过点M(2,3)，且垂直于向量u(2,1)的直线方程为()A.2xy70B.2xy70C.x2y40 D.x2y40【解析】设P(x，y)是所求直线上任一点，则u.又(x2，y3)，2(x2)(y3)0，即2xy70.【答案】A2.若向量(1,1)，(3，2)分别表示两个力F1，F2，则|F1F2|为()A. B.2 C. D.【解析】由于F1F2(1,1)(3，2)(2，1)，所以|F1F2|，故选C.【答案】C3.在ABC中，若()()0，则ABC为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形 D.形状无法确定【解析】()()0，220，22，CACB，ABC为等腰三角形.【答案】C4.若3e，5e，且|，则四边形ABCD的形状为_.【解析】由3e，5e，得，又因为AB