1第一章 晶体的结构答案(共191道题).doc

1 目 录 第一章 晶体的结构 共 191 道题 1 一 名词解释 25 道题 1 二 简答题 59 道题 4 三 画图题 20 道题 23 四 证明题 共 39 道题 32 五 计算题 共 48 道题 72 2 第一章第一章 晶体的结构晶体的结构 共 共 191191 道题 道题 一 名词解释一 名词解释 25 25 道题道题 1 理想晶体 答 内在结构完全规则的固体是理想晶体 它是由全同的结构单元在空间 无限重复排列而构成的 2 晶体的解理性 答 晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质 这称为晶体的解理性 3 配位数 答 晶体中和某一粒子最近邻的原子数 4 致密度 答 晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比 5 空间点阵 布喇菲点阵 答 空间点阵 布喇菲点阵 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地做周期性无限重复排列 这些点子的总体称为空 间点阵 布喇菲点阵 即平移矢量中取整数时 123 d d hhhd 123 n nn 所对应的点的排列 空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象 6 基元 答 组成晶体的最小基本单元 它可以由几个原子 离子 组成 整个晶体 可以看成是基元的周期性重复排列而构成 7 格点 结点 答 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置 称为结点 8 固体物理学原胞 答 固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元 它反映了晶格的周期性 取一结点为顶点 由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量 以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞 固体物理学原 胞的结点都处在顶角位置上 原胞内部及面上都没有结点 每个固体 3 物理学原胞平均含有一个结点 9 结晶学原胞 答 使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向 以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为结晶学原胞 结晶学原胞反映了晶体的对称性 它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍 V n 其中 n 是结晶学原 胞所包含的结点数 是固体物理学原胞的体积 10 布喇菲原胞 答 使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向 以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为布喇菲原胞 结晶学原胞反映了晶体的对称性 它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍 V n 其中 n 是结晶学原 胞所包含的结点数 是固体物理学原胞的体积 11 维格纳 赛兹原胞 W S 原胞 答 以某一阵点为原点 原点与其它阵点连线的中垂面 或中垂线 将空 间划分成各个区域 围绕原点的最小闭合区域为维格纳 赛兹原胞 一个维格纳 赛兹原胞平均包含一个结点 其体积等于固体物理学原胞 的体积 12 简单晶格 答 当基元只含一个原子时 每个原子的周围情况完全相同 格点就代表 该原子 这种晶体结构就称为简单格子或 Bravais 格子 13 复式格子 答 当基元包含 2 个或 2 个以上的原子时 各基元中相应的原子组成与 格点相同的网格 这些格子相互错开一定距离套构在一起 这类晶体 结构叫做复式格子 显然 复式格子是由若干相同结构的子晶格相互 位移套构而成 14 晶面指数 答 描写晶面方位的一组数称为晶面指数 设基矢 末端分别落1 23 a a a 在离原点距离为的晶面上 为整数 d 为晶 123 d d hhhd 123 hhh 面间距 可以证明必是互质的整数 称 3为晶面 123 hhh 123 hhh 4 指数 记为 用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为 1 2 3 hh h 密勒指数 15 倒格子 倒易点阵 答 设布喇菲格子 点阵 的基矢为 由决1 23 a a a 1 2 2 0 i j ij ab ij 定的格子 点阵 称为正格子 满足下述关系1 2 2 0 i j ij ab ij 的称为倒格子 易点阵 基矢 由 其中1 23 b b b 1 12233 Khbh bh b 为任意整数 决定的格子称为倒格子 倒易点阵 16 布里渊区 答 在倒格空间中 选取一倒格点为原点 原点与其它倒格点连线的垂直 平分面的连线所组成的区域称为布里渊区 17 n 度旋转对称轴 答 若晶体绕某一固定轴转角度后自身重合 则此轴称为 n 度旋转对 n 2 称轴 18 4 度旋转对称轴 答 若晶体绕某一固定轴转 900角度后自身重合 则此轴称为 4 度旋转对 称轴 19 6 度旋转对称轴 答 若晶体绕某一固定轴转 600角度后自身重合 则此轴称为 6 度旋转对 称轴 20 3 度旋转 反演轴 答 若晶体绕某一固定轴转角度后 再经过中心反演 晶体能自身重 3 2 合 则此轴称为 3 度旋转 反演轴 21 2 度旋转 反演轴 答 若晶体绕某一固定轴转角度后 再经过中心反演 晶体能自身重合 则此轴称为 3 度旋转 反演轴 5 22 n 度螺旋轴 答 一个 n 度螺旋轴表示绕轴每转角度后 在沿该轴的方向平移 n 2 nT 的 L 倍 则晶体中的原子和相同的原子重合 L 为小于 n 的整数 T 为沿u 轴方向上的周期矢量 则此轴称为 n 度螺旋轴 23 晶体的对称性 答 晶体经过某种对称操作能够自身重合的特性 24 原子散射因子 答 原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散射波的振幅 之比 25 几何结构因子 答 原胞内所有原子的散射波 在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波 的振幅之比 二二 简答题 简答题 5959 道题 道题 1 试述晶态 非晶态 准晶 多晶和单晶的特征性质 答 晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列 称为长程有序 非晶态 固体材料中的原子不是长程有序地排列 但在几个原子的范围内保持 着有序性 或称为短程有序 准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体 材料 其特点是原子有序排列 但不具有平移周期性 晶体又分为单晶体和多晶体 整块晶体内原子排列的规律完全一致的 晶体称为单晶体 而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则 堆积而成的 2 晶格点阵与实际晶体有何区别和联系 答 晶体点阵是一种数学抽象 其中的格点代表基元中某个原子的位置或 基元质心的位置 也可以是基元中任意一个等价的点 当晶格点阵中 的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构 晶格点阵与实际 晶体结构的关系可总结为 晶格点阵 基元 实际晶体结构 6 3 简述晶体的特征 答 1 长程有序与周期性 2 自限性 3 各向异性 4 什么是空间点阵 它与晶体结构有什么不同 它能确定一个晶体结构的什 么特性而忽略了晶体结构的什么特性 答 1 晶体的内部结构可以概括为由一些相同的点子在空间有规律地做周 期性无限分布 这些点子的总体称为空间点阵 2 晶体结构中的点是与原子 分子或其基团相对应的 空间点阵的点 则是和晶体中一族晶面相对应的 晶体结构中的点是位于位置空间或 坐标空间内的 其线度量纲为 长度 而空间点阵中的点是在倒格 空间和傅里叶空间内的 其线度量纲为 1 长度 3 空间点阵反映了晶体结构的周期性 忽略了晶体结构的具体内容 5 六角密积结构是复式格子还是简单格子 平均每个原胞包含几个原子 属于哪种晶系 答 六角密积结构是复式格子 平均每个原胞包含 2 个原子 属于六角晶 系 6 试解释 基元 点阵 晶格结构 的公式 要求说明 1 什么是布喇菲点阵 2 什么是基元 3 点阵和结构间的区别和联系 答 理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成 这些物理单元称为基元 它可以是原子 分子或分子团 将基元平移布 喇菲点阵的所有点阵矢量 就得到晶体结构 这就是 基元 点阵 晶体 结构 的含义 布喇菲点阵是一个抽象的几何点的周期列阵 而晶体结构 则是一个物理实体 当基元以相同的方式放置在布喇菲点阵的阵点上时 才得到晶体结构 7 在结晶学中 晶胞是按晶体的什么特性选取的 7 答 在结晶学中 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑 晶体的宏观对称性 8 什么是布喇菲点阵 按顺序写出晶体 Si Cu CsCL NaCL 和 ZnS 的 布喇菲原胞名称 答 晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的格点规则地做周期性无限 重复排列 喇菲点阵是平移操作所联系的诸点 1 12233 Rn an an a 的列阵 喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象 Si 面心立方 Cu 面心立方 CsCL 体心立方 NaCL 面心立方 ZnS 面心立方 9 如图所示的点阵是布喇菲点阵 格子 吗 为什么 如果是 指明它属 于那类布喇菲格子 如果不是 请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪 类 答 面心 体心 立方不是布喇菲格子 从 面心 体心 立方体的任一顶角上的格点看 与它最邻近的有 12 个格点 从面心任一点看来 与它最邻近的也是 12 个格点 但是从体心 那点来看 与它最邻近的有 6 个格点 所以顶角 面心的格点与体心的 格点所处的几何环境不同 即不满足所有格点完全等价的条件 因此不 是布喇菲格子 而是复式格子 此复式格子属于简立方布喇菲格子 10 如图所示的点阵是布喇菲点阵 格子 吗 为什么 如果是 指明它属 于那类布喇菲格子 如果不是 请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪 类 8 答 边心 立方不是布喇菲格子 从 边心 立方体竖直边心任一点来看 与它最邻近的点子有八个 从 边心 立方体水平边心任一点来看 与它最邻近的点子也有八个 虽 然两者最邻近的点数相同 距离相等 但他们各自具有不同的排列 竖 直边心点的最邻近的点子处于相互平行 横放的两个平面上 而水平边 心点的最邻近的点子处于相互平行 竖放的两个平面上 显然这两种点 所处的几何 环境不同 即不满足所有格点完全等价的条件 因此不是布喇菲格子 而是复式格子 此复式格子属于简立方布喇菲格子 11 如图所示的点阵是布喇菲点阵 格子 吗 为什么 如果是 指明它属 于那类布喇菲格子 如果不是 请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪 类 答 边心 体心 立方不是布喇菲格子 从 边心 体心 立方任一顶点来看 与它最邻近的点子有 6 个 从边 9 心任一点来看 与它最邻近的点子有 2 个 从体心点来看 与它最邻近 的点子有 12 个 显然这三种点所处的几何环境不同 因而也不是布喇菲 格子 而是属于复式格子 此复式格子属于简立方布喇菲格子 12 如图所示的点阵是布喇菲点阵 格子 吗 为什么 如果是 指明它属 于那类布喇菲格子 如果不是 请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪 类 答 面心四方 从 面心四方 任一顶点来看 与它最邻近的点子有 4 个 次最邻近点子有 8 个 从 面心四方 任一面心点来看 与它最邻 近的点子有 4 个 次最邻近点子有 8 个 并且在空间的排列位置与顶 点的相同 即所有格点完全等价 因此 面心四方 格子是布喇菲格子 它属 于体心四方布喇菲格子 13 基矢为 的晶体为何种结构 为什么 1 aai 2 aa j 3 2 a aijk 答 有已知条件 可计算出晶体的原胞的体积 3 123 2 a aaa 由原胞的体积推断 晶体结构为体心立方 我们可以构造新的矢量 31 2 a uaaijk 32 2 a vaaijk 123 2 a waaaijk 10 满足选作基矢的充分条件 可见基矢为 的晶 u v w 1 aai 2 aa j 3 2 a aijk 体为体心立方结构 14 金刚石晶体的基元含有几 其晶胞含有几个碳原子 原胞中有几个碳原子 是 复式格子还是简单格子 答 金刚石晶体的基元含有 2 个原子 晶胞含有 8 碳原子 原胞中有 2 原子 复式 格子 15 写出金属 mg 和 GaAs 晶体的结构类型 答 六角密堆 金刚石 16 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子 各自的基元为何 写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢 设晶格常数为 a 答 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子 氯化钠的基元为一个 Na 和一个 Cl 组成的正负离子对 金刚石的基元是一个面心立方上的 原子和一个 体对角线上的 原子组成的 原子对 由于 NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成 所以 其元胞基 矢都为 相应的晶胞基矢都为 17 若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子 试确定此结构的原胞 每个原胞内包含几个原子 设立方边长为 a 11 答 这种体心立方结构中有五种不同的原子 顶角 体心上的原子是两种不 同的原子 另外 面心上的原子前后 上下 左右的原子两两一组 是 互不相同的原子 故此种结构共有五种不同的原子 整个面心立方就是 一个原胞 每个原胞中的原子数为 18 底心立方 立方顶角与上 下底心处有原子 侧心立方 立方顶角与四 个侧面的中心处有原子 与边心立方 立方顶角与十二条棱的中点有原子 各属何种布拉维格子 每个原胞包含几个原子 答 这三种结构都属于简立方结构 原胞包含的原子数分别为 底心立方 侧心立方 边心立方 19 试述晶胞与原胞的区别是什么 答 原胞是体积的最小重复单元 它反映的是晶格的周期性 原胞的选取不 是唯一的 但是它们的体积都是相等的 结点在原胞的顶角上 为了同时反映晶体的对称性 结晶学上所取的重复单元 体积不一定最小 结点不仅可以在顶角上 还可以在体心或者面心上 这种重复单元称为晶胞 20 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原 子数之比 答 设原子的半径为R 体心立方晶胞的空间对角线为 4R 晶胞的边长为 12 3 4R 晶胞的体积为 3 3 4R 一个晶胞包含两个原子 一个原子占 的体积为 2 3 4 3 R 单位体积晶体中的原子数为 3 3 4 2R 面心立方 晶胞的边长为 2 4R 晶胞的体积为 3 2 4R 一个晶胞包含四个原 子 一个原子占的体积为 4 2 4 3 R 单位体积晶体中的原子数为 3 2 4 4R 因此 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为 2 3 2 3 0 272 21 晶面指数 321 hhh 表示的意义是什么 答 1 基矢 被平行的晶面等间距的分割成h1 h2 h3 等份 123 a aa 2 以为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数123 a aa 的互质比 3 晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值 22 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面 为什么 答 晶体容易沿解理面劈裂 说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱 即平行解理面的原子层的间距大 因为面间距大的晶面族的指数低 所 以解理面是面指数低的晶面 23 与晶列 l1l2l3 垂直的倒格面的面指数是什么 答 正格子与倒格子互为倒格子 正格子晶面 h1h2h3 与倒格式 h1 h2 h3 垂直 则倒格晶面 l1l2l3 与正格矢 h1 hl2 h3 正交 即晶列 h1h2h3 与倒格面 l1l2l3 垂直 24 体心立方元素晶体 111 方向上的结晶学周期为多大 实际周期为多大 答 结晶学的晶胞 其基矢为 只考虑由格矢 h k l构成的 格点 因此 体心立方元素晶体 111 方向上的结晶学周期为 但 实际周期为 2 25 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比 对于同级衍射 哪一晶面族衍 13 射光弱 为什么 答 对于同级衍射 高指数的晶面族衍射光弱 低指数的晶面族衍射光强 低指数的晶面族面间距大 晶面上的原子密度大 这样的晶面对射线的 反射 衍射 作用强 相反 高指数的晶面族面间距小 晶面上的原子密 度小 这样的晶面对射线的反射 衍射 作用弱 另外 由布拉格反射公 式 可知 面间距 大的晶面 对应一个小的光的掠射 角 面间距 小的晶面 对应一个大的光的掠射角 越大 光 的透射能力就越强 反射能力就越弱 26 晶面指数为 123 的晶面ABC是离原点O最近的晶面 OA OB和OC分 别与基矢1 a 2 a 和3 a 重合 除O点外 OA OB和OC上是否有格点 若 ABC面的指数为 234 情况又如何 答 晶面族 123 截1 a 2 a 和3 a 分别为 1 2 3 等份 ABC面是离原点O 最近的晶面 OA的长度等于1 a 的长度 OB的长度等于2 a 的长度的 1 2 OC的长度等于3 a 的长度的 1 3 所以只有A点是格点 若ABC面 的指数为 234 的晶面族 则A B和C都不是格点 27 验证晶面 10 2 111 和 012 是否属于同一晶带 若是同一晶带 其带轴方向的晶列指数是什么 答 若 10 2 111 和 012 属于同一晶带 则由它们构成的行列式的值 必定为 0 可以验证 210 111 012 0 说明 10 2 111 和 012 属于同一晶带 晶带中任两晶面的交线的方向即是带轴的方向 带轴方向晶列 l1l2l3 的取值为 l1 11 01 1 l2 11 20 2 l3 11 12 1 28 带轴为 001 的晶带各晶面 其面指数有何特点 14 答 带轴为 001 的晶带各晶面平行于 001 方向 即各晶面平行于晶胞坐标 系的c轴或原胞坐标系的3 a 轴 各晶面的面指数形为 hk0 或 h1h20 即第三个数字一定为 0 29 与晶列 l1l2l3 垂直的倒格面的面指数是什么 答 正格子与倒格子互为倒格子 正格子晶面 h1h2h3 与倒格式 h K h11 b h2 2 b h33 b 垂直 则倒格晶面 l1l2l3 与正格矢 l R l11 a l22 a l33 a 正交 即晶列 l1l2l3 与倒格面 l1l2l3 垂直 30 体心立方元素晶体 111 方向上的结晶学周期为多大 实际周期为多大 答 结晶学的晶胞 其基矢为 cba 只考虑由格矢 Rha kb lc构成的格点 因此 体心立方元素晶体 111 方向上的结晶学周期为 a3 但实际周期 为 a3 2 31 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大 该晶列在哪些晶面内 答 周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内 若以密堆积模型 则 原子面密度最大的晶面就是密排面 由图 1 9 可知密勒指数 111 可以 证明原胞坐标系中的面指数也为 111 是一个密排面晶面族 最小的晶 列周期为 2 2a 根据同族晶面族的性质 周期最小的晶列处于 111 面 内 32 面心立方和体心立方晶格中原子线密度最大的是哪个方向 面密度最大 的是哪个晶面 答 面心立方线密度最大的方向是 101 110 110 体心立方线密度最 大的方向是 100 010 001 面心立方面密度最大的晶面是 111 体心立方面密度最大的晶面是 011 33 倒格子的实际意义是什么 一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一 一对应的关系 答 倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间 波矢 K 空间 在晶体的 X 射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的 15 点子 设一种晶体的正格基矢为 根据倒格子基 矢的定义 式中 是晶格原胞的体积 即 由此可以唯一地 确定相应的倒格子空间 同样 反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢 所以一种晶体的正格和相应的倒格矢有一一对应的关系 34 分别指出简单立方 体心立方 面心立方倒易点阵类型 答 简单立方 面心立方 体心立方 35 简述倒格矢与正格矢的关系 答 1 倒格矢与正格矢互为倒格矢 2 倒格原胞与正格原胞的体积比等于 3 2 3 倒格矢与正格子晶面族正交 1 12233 K h h bh bh b 1 23 hh h 4 倒格矢的模与晶面族的面间距成反比 K h 1 23 hh h 1 两种点阵基矢间满足以下关系 ji ji ba ijji 0 2 2 2 两种点阵位矢的点积是 的整数倍 3 除因子外 正格子原胞体积与倒格子原胞体积互为倒数 3 2 4 倒格矢与正格子中晶面族正交 且其长度为 123 nnn 1 23 hh h 1 2 3 2 h h h d 36 倒格点阵与正格点阵间的关系有哪些 答 16 1 倒格矢与正格矢互为倒格矢 2 倒格原胞与正格原胞的体积比等于 2 3 3 倒格矢 Kh h1b1 h2b2 h3b3 与正格子晶面族 h1h2h3 正交 4 倒格矢 Kh 的模与晶面族 h1h2h3 的面间距成反比 37 一个物体或体系的对称性高低如何判断 有何物理意义 一个正八面体 有哪些对称操作 答 对于一个物体或体系 我们首先必须对其经过测角和投影以后 才可对它的对 称规律 进行分析研究 如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多 则其 对称性越高 反之 含有的对称操作元素越少 则其对称性越低 晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关 例如六角对称的晶体有 双折射现象 而立方晶体 从光学性质来讲 是各向同性的 正八面体中有 3 个 4 度轴 其中任意 2 个位于同一个面内 而另一个则 垂直于这个面 6 个 2 度轴 6 个与 2 度轴垂直的对称面 3 个与 4 度轴垂 直的对称面及一个对称中心 38 晶体宏观对称性的基本对称操作有哪些 5 分 答 有 1 2 3 4 和 5 次旋转对称轴及 4 次旋转反演轴4 中心反演操作 i 镜面操作 m 39 给出晶体可以独立存在的 8 种对称元素的名称和符号 答 8 种对称元素为 1 1 次旋转对称轴 符号为 1 1 C 2 2 次旋转对称轴 符号为 2 2 C 3 3 次旋转对称轴 符号为 3 3 C 4 4 次旋转对称轴 符 号为 4 4 C 5 6 次旋转对称轴 符号为 6 6 C 6 1 次旋转 反演 轴 符号为1 1 C 7 2 次旋转 反演轴 符号为2 m 8 4 次旋 转 反演轴 符号为4 4 S 40 按对称类型分类 布喇菲格子的种类有几种 晶格结构的点群类型有几 种 空间群有几种 答 按对称类型分 有 14 种布喇菲格子 晶格结构的点群有 32 种 空间群 有 230 种 41 三维晶格包括哪七大晶系 并写出各晶系包含的布喇菲格子 17 答 七大晶系分别为三斜晶系 单斜晶系 正交晶系 三角晶系 四角晶系 六角晶系和正方晶系 三斜晶系只包含简单三斜 单斜晶系包含简单单斜和底心单斜 正 交晶系包含简单正交 底心正交 体心正交和面心正交 三角晶系只包 含三角格子 四角晶系包含简单四角和体心四角 六角晶系只包含六角 格子 立方晶系包含简单立方 体心立方和面心立方 42 设有 AB 型化合物 在某一温度范围内 具有 CsCL 结构 在另一温度范 围内 处于中心位置的 B 原子沿 001 方向发生小的位移 在第三温度 范围内 B 原子则由中心沿 111 方向发生小的位移 试说明三种温度范 围内 该化合物的结构属于什么晶系 并扼要说明理由 答 当具有 CsCL 结构时 属于立方晶系 因为 a b c 90 若 体心的 B 原子沿 001 方向有一微小位移 使晶体轴拉长 则此时晶体属 于四角晶系 因为 cba 90 若体心 B 原子沿 111 方 向发生一微小位移 即沿立方对角线发生位移 此时晶体属于三角晶系 因为 a b c 90 43 二维晶格包括哪几种晶系 并分别写出各晶系包含的布喇菲格子 答 二维晶格包含四种晶系 分别为斜方晶系 长方晶系 正方晶系和六角 晶系 斜方晶系只包含简单斜方 长方晶系包含简单长方和中心长方 正 方晶系只包含简单正方 六角晶系只包含简单六角 44 为什么正交晶系有简单正交 底心正交 体心正交和面心正交四种格子 而四方晶系只有简单四方和体心四方没有底心四方和面心四方格子 答 因为在四方晶系中底心四方和面心四方不是最简单的四方格子 底心 四方可化为更简单的简单四方格子 而面心四方可化为更为简单的体心 四方格子 45 温度升高时 衍射角如何变化 X 光波长变化时 衍射角如何变化 答 温度升高时 由于热膨胀 面间距 逐渐变大 由布拉格反射公式 18 可知 对应同一级衍射 当 X 光波长不变时 面间距 逐渐变大 衍 射角 逐渐变小 所以温度升高 衍射角变小 当温度不变 X 光波长变大时 对于同一晶面族 衍射角 随之变大 46 在晶体衍射中 为什么不能用可见光 答 晶体中原子间距的数量级为 10 10 米 要使原子晶格成为光波的衍射光栅 光波的波长应小于 10 10 米 但可见光的波长为 7 6 4 0 7 10 米 是晶 体中原子间距的 1000 倍 因此 在晶体衍射中 不能用可见光 47 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比 对于同级衍射 哪一晶面族衍 射光弱 为什么 答 对于同级衍射 高指数的晶面族衍射光弱 低指数的晶面族衍射光强 低指数的晶面族面间距大 晶面上的原子密度大 这样的晶面对射线的 反射 衍射 作用强 相反 高指数的晶面族面间距小 晶面上的原子密 度小 这样的晶面对射线的反射 衍射 作用弱 另外 由布拉格反射公 式 nsin2 hkl d 可知 面间距 hkl d 大的晶面 对应一个小的光的掠射角 面间距 hkl d 小 的晶面 对应一个大的光的掠射角 越大 光的透射能力就越强 反 射能力就越弱 48 面心立方元素晶体 密勒指数 100 和 110 面 原胞坐标系中的一级衍射 分 别对应晶胞坐标系中的几级衍射 答 对于面心立方元素晶体 对应密勒指数 100 的原胞坐标系的面指数可 以求得为 111 p 1 由 1 33 式可知 hklh KK2 且求 hklh KK 2 得 2 321 hklhhh dd 再由 1 26 和 1 27 两式可知 n 2n 即对于面心 立方元素晶体 对应密勒指数 100 晶面族的原胞坐标系中的一级衍射 对应晶胞坐标系中的二级衍射 对于面心立方元素晶体 对应密勒指数 110 的原胞坐标系的面指数 19 可由 1 34 式求得为 001 p 2 由 1 33 式可知 hklh KK 由 1 16 和 1 18 两式可知 hklhhh dd 321 再由 1 26 和 1 27 两式可知 n n 即对于面心立方元素晶体 对应密勒指数 110 晶面族的原胞坐 标系中的一级衍射 对应晶胞坐标系中的一级衍射 49 由 KCl 的衍射强度与衍射面的关系 说明 KCl 的衍射条件与简立方元素 晶体的衍射条件等效 答 Cl 与 K 是原子序数相邻的两个元素 当 Cl 原子俘获 K 原子最外层的一 个电子结合成典型的离子晶体后 Cl与 K的最外壳层都为满壳层 原子核外的电子数和壳层数都相同 它们的离子散射因子都相同 因此 对 X 光衍射来说 可把 Cl与 K看成同一种原子 KCl 与 NaCl 结构相同 因此 对 X 光衍射来说 KCl 的衍射条件与简立方元素晶体等效 由 KCl 的衍射强度与衍射面的关系也能说明 KCl 的衍射条件与简立 方元素晶体的衍射条件等效 一个 KCl 晶胞包含 4 个 K离子和 4 个 Cl离子 它们的坐标 K 000 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 Cl 00 2 1 0 2 1 0 2 1 00 2 1 2 1 2 1 由 1 45 式可求得衍射强度 Ihkl 与衍射面 hkl 的关系 Ihkl K f 1 cos cos cos hlnlknkhn coscoscoscos Cl lkhnnlnknhf 由于 K f 等于 Cl f 所以由上式可得出衍射面指数 nlnknh 全为偶 数时 衍射强度才极大 衍射面指数的平方和 222 nlnknh 4 8 12 16 20 24 以上诸式中的n由 sin 2 222 nlnknh a 决定 如果从 X 光衍射的角度把 KCl 看成简立方元素晶体 则其晶格常 数为 a2 a 布拉格反射公式化为 20 sin 2 222 lnknhn a 显然 2nn 衍射面指数平方和 222 lnknhn 1 2 3 4 5 6 这正是简立方元素晶体的衍射规律 50 金刚石和硅 锗的几何结构因子有何异同 答 取几何结构因子的 1 44 表达式 2 1 jjj lwkvhuni t j jhkl efF 其中uj vj wj是任一个晶胞内 第j个原子的位置矢量在 cba 轴上投 影的系数 金刚石和硅 锗具有相同的结构 尽管它们的 cba 大小不相 同 但第 j 个原子的位置矢量在 cba 轴上投影的系数相同 如果认为晶 胞内各个原子的散射因子 j f 都一样 则几何结构因子化为 t j lwkvhuni hkl jjj efF 1 2 在这种情况下金刚石和硅 锗的几何结构因子的求和部分相同 由 于金刚石和硅 锗原子中的电子数和分布不同 几何结构因子中的原子 散射因子 f 不会相同 两者的几何结构因子相同 由公式可推出 金刚石和硅的每个原胞内 包含 4 个原子 且其晶体结构相同 由定义 在所考虑的方向上 几何 结构因子 2 exp ii i F sfis R exp2 iiii i fin hukvlw 表示原胞中第 i 个原子的散射因子 i f 由上式可得 均与 a 无关 所以两者的几何结构因子相同 h iii nuvw 51 a 列出简单六角点阵以下点阵平面的等效平面数目 100 110 111 001 120 hkl b 已知点群为 6 mmm 的六角晶体中一个晶面的指数为 121 试写出全部与此等效的晶面指数 答 a 等效平面数目一对 100 与 001 21 b 与 晶面的指数 121 等效的晶面指数有 121 121 121 52 列出简单立方点阵中以下各点阵平面的等效面数目 001 011 111 210 211 hkl b 列举简单立方点阵中以下各晶向的等效方向数目 001 011 111 210 211 hkl 答 a 与 001 平面的等效面数目为 3 个 001 100 010 与 011 111 210 211 平面的等效面数目分别为 3 个 1 个 3 个 3 个 b 与 001 011 111 210 211 平面的等效面数目分别为 4 个 2 个 1 个 2 个 2 个 53 比较金刚石结构 闪锌矿结构的平移群 点群和空间群 答 金刚石结构与闪锌矿结构的基元均含两个原子 闪锌矿结构与金刚石结构 不同之处就是立方体顶角及面心上的碳原子为 Zn 原子代替 而体对角线上的碳原 子为 S 原子代替 什么是布喇菲点阵 为什么说布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象 布喇菲点阵是平移操作所联系的诸点的列阵 为了简 1 12233 Rn an an a 单地描述晶体内部结构的周期性 常把基元抽象成数学上的一点 这点可以是基元是 重心 也可以是任一位置 这个基元的代表点 称为格点 或称结点 因此布喇菲 点阵是晶体结构周期性的数学抽象 54 什么是布喇菲点阵的初级矢量 就下图的二维布喇菲点阵指出哪组矢量是 初基的 哪组是非初基的 22 点阵矢量 其中 均为整 1 12233 Rn an an a 123 和n nn1 23 和a aa 叫做布喇菲点阵的初级矢量 左边三组矢量是初 是不在同一平面内的三个矢量 基的 两组是非初基的 55 试描述点阵和晶体结构的区别 答 是空间点阵是抽象出来的 它其中每一个点都是代表实际很多东西 可以是 原子 可以是分子 也可以是离子 晶体结构是实际中真正存在的 56 为什么金刚石格子不是布喇菲点阵 为什么氯化钠格子也不是布喇菲点阵 它们是什么样的点阵 最小基元是什么 答 金刚石格子布喇菲晶格是面心立方格子 是复式格子 把 0 和 a 4 l 两碳原子作为基元 氯化钠格子布喇菲晶格是面心立方格子 基 xyz eee 元含两个离子 和C lN a 57 为什么正交晶系有四种布喇菲点阵 简单正交 底心正交 面心正交和体 心正交 但四角晶系只有简单四角和体心四角两种布喇菲点阵 答 正交晶系特点是没有高次对称轴 二次对称轴和对称面总和不少于三个 晶体 以这三个互相垂直的二次轴或对称面法线为结晶轴 90o a b c 故 正交晶系有四种布喇菲点阵 简单正交 底心正交 面心正交和体心正交 假设存在面心立方 则可将其晶胞分割成体心四方的晶胞 假设存在底心立方 则可将其晶胞分割成简单四方的晶胞 而简单四方和体心四方的晶胞不能相互转化 因此四方晶系中只有简单四方和体心 23 四方两种点阵类型 58 从二维平面点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴 解 2cosABama cos1 2 m 3 0 22 m 245 1 3333 m 2 2m 故点阵不可能有七重旋转对称轴 59 试讨论金刚石结构晶体的消光法则 解 金刚石结构的布喇菲点阵是面心立方 基元包含两个原于 位于 若把金刚石结构的立方惯用晶胞中的 8 个原子选作基元 12 0 4 a rrxyz 相应地 金刚石结构可用带基元的简单立方点阵来描写 这 8 个原于的坐标是 000 把 11 0 22 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 1 1 1 4 4 4 1 3 3 4 4 4 3 3 1 4 4 4 3 1 3 4 4 4 这 8 个原子的坐标代入结构因子的表达式 123 2 1 2 3 iii i l xl yl z i i l l lf e 利用 计算得金刚石结构的结构因子为 i ff 123123123123 132312 333333 2222 1 2 3 1 i llli lllilllilll i lli lli ll l l lfeeeeeee 经整理后得 123 1323122 1 2 31 2 11 i lll i lli lli ll l l lfeeees s 其中正是在面心立方阵点上所放置的基元 000 的结构 123 2 1 1 i lll sfe 1 1 1 4 4 4 因子 则正是面心立方点阵惯用晶胞中 4 个原子的几何结构因子 原子形状因子 2 s 为所代替 由上结果可见 由于放置在面心立方点阵的阵点上的不再是 形状 f 1 s 因子为的同种原子 而是一个结构因子为的基元 用这个基元的结构因子代 f 1 s 1 s 替原子的形状因子就得到金刚石结构立方惯用晶胞 8 个原子的结构因子 f 24 现将以上结果讨论如下 当全为偶数 且 n 为整数 故 123 l l l 123 4llln 12 2 4sf s 1 2 3 8l l lf 当全为偶数 且 n 为整数 故 123 l l l 123 42llln 12 0 4ss 1 2 3 0l l l 当全为奇数 且 故 123 l l l 1 1sfi 2 4s 1 2 3 41l l lfi 当部分为偶数 部分为奇数时 故 123 l l l 2 0s 1 2 3 0l l l 所以 金刚石结构允许的反射是所有指数均为偶数且 或 123 l l l 123 4llln 者全为奇数 可以看到 由于金刚石结构放置在 fcc 点阵阵点上的不再是同 123 l l l 种原子 而是一个由两个原子组成的基元 此基元中两个原子的散射波相互干涉的 结果使 fcc 点阵所允许的反射又有一部分消失 三 画图题 三 画图题 2020 道题 道题 1 以二维有心长方晶格为例 画出固体物理学原胞 结晶学原胞 并说出它 们各自的特点 解 以下给出了了二维有心长方晶格示意图 由上图 我们可给出其固体物理学原胞如下图 a 所示 结晶学原胞 如下图 b 所示 25 从上图 a 和 b 可以看出 在固体物理学原胞中 只能在顶点上 存在结点 而在结晶学原胞中 既可在顶点上存在结点 也可在面心位 置上存在结点 2 在一个晶胞中分别画出面心立方晶体的原胞 解 3 在一个晶胞中分别画出体心立方晶体的原胞 解 26 4 在一个晶胞中画出金刚石的原胞 解 5 试绘图表示 NaCl 晶体的结晶学原胞 布拉菲原胞 基元和固体物理学原胞 解 27 结晶学原胞 布拉菲原胞 物理学原胞 基元 6 试画出体心立方的 100 110 和 111 面上的格点分布 解 体心立方 100 110 和 111 面上的格点分布为 体心立方 100 面 体心立方 110 面 体心立方 111 面 7 试画出面心立方的 100 110 和 111 面上的格点分布 解 面心立方 100 110 和 111 面上的格点分布为 28 面心立方 100 面 面心立方 110 面 面心立方 111 面 8 在立方晶胞中 画出 100 111 和 210 晶面 解 9 在立方晶胞中 画出 和 晶面 解 10 在立方晶胞中 画出 001 110 和 120 晶面 解 O a b c O a b c 29 11 在立方晶胞中 画出 和 晶面 021131 解 12 画出立方晶系中的下列晶向和晶面 001 210 100 110 111 30 13 画出边长为 a 的二维正方形正格子的倒格子和前三个布里渊区 解 正方格子的倒格子仍是正方格子 首先根据正格子原胞基矢计算倒格子原胞基 矢 略 根据倒格子原胞基矢画出倒格子点阵 然后画出前三个布里渊区 14 试画出二维长方格子的第一和第二布里渊区 31 15 图示并写出立方晶格 111 面与 100 面的交线的晶向 16 画出 sc 的 100 110 111 121 231 晶面 17 画出面心立方晶格的单元结构 并用阴影表示出 100 晶面 画出该晶面上原 子分布 解 32 18 画图作出二维简单六方晶格的前三个布里渊区 解 六角格子的倒格子仍是六角格子 19 画出立方晶格 111 面 100 面 110 面 并指出 111 面与 100 面 111 面与 110 面的交线的晶向 33 解 111 111 1 111 面与 100 面的交线的 AB AB 平移 A 与 O 点重合 B 点位矢 B Rajak 111 面与 100 面的交线的晶向 晶向指数 ABajak 011 2 111 面与 110 面的交线的 AB 将 AB 平移 A 与原点 O 重合 B 点位矢 111 面与 110 面的交线的晶向 晶向指数 B Raiaj ABaiaj 110 20 二维布拉维点阵只有 5 种 试列举并画图表示之 解 二维布拉维点阵只有五种类型 正方 矩形 六角 有心矩形和斜方 分别如 图所示 四四 证明题 证明题 共共 3939 道题道题 1 证明 用半径不同的两种硬球构成下列稳定结构时小球半径r和大球半 径R之比值分别为 1 体心立方 配位数为 73 0 1 Rr 2 简单立方 配位数为 41 0 73 0 Rr 证明 半径相同的原子才可能构成密积结构 配位数等于 12 如原子 球半径不等 就不可能形成密积结构 配位数必低于 12 正方 a b a b 90 六方 a b a b 120 矩形 a b a b 90 带心矩形 a b a b 90 平行四边形 a b a b 90 34 1 体心立方 设小球位于立方体中心 大球位于立方体顶角 立方体的边长 a 2R 空间对角线长为 Ra323 当小球恰与大球相切时 将形成稳定的 体心立方结构 此时 小球的半径 2r 232RR r 13 R 0 73R 因此 对于体心立方 1 r R 0 73 若 r Rr R 0 41 当 r Rr R 0 23 若 r Rr R 0 23 2 层状结构 在层状结构中 当半径为 R 的三个大球 A B C 彼此相切 而间隙中 又共同外切一半径为 r 的小球时 结构最稳定 所以 16 0 1 30cos 1 0 R r 因此 对于层状结构 0 23 r R 0 16 3 如果将等体积球分别排成下列结构 设 x 表示钢球所占体积与总体积之比 36 证明 1 简单立方的 x 2 体心立方的 x 3 52 0 6 68 0 8 3 面心立方的 x 74 0 6 2 证明 实验表明 很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构 因此 可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成 这样 一 个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的 它的空 间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体 积nV与晶体原胞体积Vc之比 即 晶体原胞的空间利用率 Vc nV x 1 对于简立方结构 a 2r V Vc a3 n 1 3 r 3 4 52 0 68 3 4 3 4 3 3 3 3 r r a r x 2 对于体心立方 晶胞的体对角线BG x 3 34 ar4a3 n 2 Vc a3 68 0 8 3 3 34 3 4 2 3 4 2 3 3 3 3 r r a r x 3 对于面心立方 晶胞面对角线BC r22a r4a2 n 4 Vc a3 74 0 6 2 22 3 4 4 3 4 4 3 3 3 3 r r a r x 4 如果将等体积球分别排成下列结构 设 x 表示钢球所占体积与总体积之 比 证明 1 六角密排的 x 2 金刚石的 x 74 0 6 2 34 0 6 3 证明 实验表明 很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构 因此 37 可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成 这样 一 个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的 它的空 间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体 积nV与晶体原胞体积Vc之比 即 晶体原胞的空间利用率 Vc nV x 1 对于六角密排 a 2r晶胞面积 S 6 2 60sinaa 6S ABO 2 a 2 33 晶胞的体积 V 332 r224a23a 3 8 a 2 33 CS n 12 6个 3 2 1 2 6 1 12 74 0 6 2 22 3 4 4 3 4 4 3 3 3 3 r r a r x 2 对于金刚石结构 晶胞的体对角线BG n 8 Vc a3 3 r8 ar24a3 34 0 6 3 33 8 3 4 8 3 4 8 3 3 3 3 3 r r a r x 5 证明立方晶系的晶列 hkl 与晶面族 hkl 正交 证明 设晶面族 hkl 的面间距为d 法向单位矢为n 按照密勒指数的意义 在立 方晶系中 n 的方向余弦可写成 cos d a n a h cos d b n a h cos d c n a h 因此 dddd nhikjlkhik jlk aaaa 式中 kji 分别为三个坐标的单位方向矢量 晶列 hkl 的方向矢量 为 Rhaika jlaka hik jlk 对比 1 2 两式 显然有 2 d nR a 38 即 Rn 所以 晶列 hkl 垂直于晶面族 hkl 6 证明在立方晶系中 面指数为 111 lkh 和 222 lkh 的两个晶面之间的夹角 满足 21 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 212121 cos lkhlkh llkkhh 证明 在立方晶系中 如用 a 表示晶格常数 1 n 代表晶面族 111 lkh 法向单 位矢 1 d 为面间距 则有 kljkih a d k a d lj a d ki a d hn 111 11 1 1 1 1 11 同样 如晶格中另一晶面族 222 lkh 的面间距为 2 d 这组晶面的法向单 位矢为 kljkih a d n 222 2 2 两晶面族的夹角 就是它们法向矢量的夹角 即 212121 2 21 21 cosllkkhh a dd nn 由于立方晶系的面间距 21 222 lkh a d 因此 21 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 212121 cos lkhlkh llkkhh 7 若 321 lll R 与hkl R 平行 hkl R 是否是 321 lll R 的整数倍 以体心立方结构证明之 证明 若 321 lll R 与hkl R 平行 hkl R 一定是 321 lll R 的整数倍 对体心立方结构 可知 32 aaa 13 aab 21 aac hkl R ha k