第19讲 推理与证明.doc

惠州市学大信息技术有限公司 Huizhou XueDa Century Education Technology Ltd.个 性 化 教 学 设 计 教 案授课时间： 2011 年10月 29 日（ 18：0020：15 ）备课时间： 2011 年 10 月 27 日年级： 高三 学科： 数学 课时：3学生姓名： 课题名称第19讲 推理与证明授课教师： 教学目标1合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。2直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。3数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。教学过程一、推理1合情推理(1)归纳推理的一般步骤：通过观察个别事物发现某些相同的性质；从已知相同的性质中推出一个明确表述的一般性的命题归纳推理是一种由特殊到一般的推理；一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般结论也就越可靠(2)类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质推测另一类事物的性质得出一个明确的结论类比推理是由特殊到特殊的推理2演绎推理是由一般到特殊的推理二、证明1直接证明：常用的方法有综合法、分析法，证明不等式时还常用比较法、放缩法等2间接证明主要有反证法3数学归纳法的主要步骤是：(1)证明n取第一个值n0时结论成立(2)假设nk(kN*，且kn0)时结论成立，证明nk1时结论也成立特别说明：在上面步骤(2)中括号内的kn0是同学们最容易漏掉的，没有这个条件，数学归纳法失去了依据，证明方法是错误的，要特别留心；另外，假设必须要在证明的过程中用上一合情推理与演绎推理的应用1归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；2类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。例12009浙江卷 观察下列等式：CC232，CCC2723，CCCC21125，CCCCC21527，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，CCCC_.例2：（2010福建高考文科）观察下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.可以推测，m n + p = .例3、我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(3,4)，且法向量为n(1，2)的直线(点法式)方程为1(x3)(2)(y4)0，化简得x2y110.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)且法向量为n(1，2,1)的平面(点法式)方程为_(请写出化简后的结果)演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。例4：设，将的最小值记为，则其中=_ .二直接证明与间接证明的应用例5：已知椭圆C：1(ab0)，其焦距为2c，若(0.618)，则称椭圆C为“黄金椭圆”(1)求证：在黄金椭圆C：1(ab0)中，a、b、c成等比数列；(2)黄金椭圆C：1(abc)的右焦点为F2(c,0)，P为椭圆C上的任意一点是否存在过点F2、P的直线l，使l与y轴的交点R满足3？若存在，求直线l的斜率k，若不存在，请说明理由；(3)在黄金椭圆中有真命题C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1(c,0)、F2(c,0)，以A(a,0)、B(a,0)、D(0，b)、E(0，b)为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F1、F2.试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明例6：2010湖北卷 已知数列an满足，a1，anan1an，求a1的取值范围例9：等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值;（11）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立例10：各项都为正数的数列an，满足a11，aa2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证对一切nN*恒成立课堂练习1对于命题：如果O是线段AB上一点，则|0；将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，有SOBCOASOCASOBA0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有_2观察下列各式并填空：11,2349,34567_，4567891049，由此可归纳出n(n1)(n2)(3n2)_.32010湖南卷 若数列an满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列(an)*例如，若数列an是1,2,3，n，则数列(an)*是0,1,2，n1，.已知对任意的nN*，ann2，则(a5)*_，(an)*)*_.4把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如下数表：设aij(i、jN)是位于这个数表从上往下数第i行、从左往右数第j个数，数表中第i行共有2i1个正整数_123456789101112131415(1)若aij2010，求i、j的值；(2)记Ana11a22a33ann(nN)，试比较An与Bnn2n的大小，并说明理由课后作业1（2010山东高考文科）观察，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（ ）（A） (B) (C) (D)2观察下列等式：,，根据上述规律，第五个等式为 _.3（2009江苏高考）设0,求证：.4（2008安徽高考）设数列满足为实数（）证明：对任意成立的充分必要条件是；（）设，证明：;（）设，证明：课后记学员学习情况：课后小评：教师建议：提交时间教研组长审批教研主任审批课堂练习答案：1、【解析】 本题属于类比推理的应用，把线段上的向量关系先类比到平面，再类比到空间；把线段长类比到平面的三角形面积，到空间对应的是四面体的体积，故结论应是VOBCDVOACDVOABDVOABC0.2、【答案】25(2n1)23、2n2【解析】 因为am5，而ann2，所以m1,2，所以(a5)*2.因为(a1)*0， (a2)*1，(a3)*1，(a4)*1，(a5)*2，(a6)*2，(a7)*2，(a8)*2，(a9)*2，(a10)*3，(a11)*3，(a12)*3，(a13)*3，(a14)*3，(a16)*3，所以(a1)*)*1，(a2)*)*4，(a3)*)*9，(a4)*)*16.猜想(an)*)*n2.4、【解答】 (1)由题意知第一列中第n个数为2n1，又2101024,2112048，2010是数表中第11行中的数，i11.由2010210(j1)，j987.(2)ann2n1(n1)An(12222n1)12(n1)2n1当n1时，A11，B12，AnBn，当n2时，A24，B26，AnBn，当n3时，A310，B312，AnBn，猜想：当1n3，nN，AnBn.也就是证明2n1n2n即证明2n1n2n，当n4时，已证成立假设nk时成立，即2k1k2k，那么2k112(2k1)121k23k1(k1)23(k1)2，k4，k2，故k2k10，2k11即nk1时也成立，由知n4，AnBn，综上，当1n3时，AnBn.课后练习答案：1、选D通过观察所给的结论可知，若是偶函数，则导函数是奇函数，故选D2、由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如