高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理.ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 知识梳理 1 直线与平面垂直 1 定义 直线l与平面 内的 一条直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 任意 2 判定定理与性质定理 a b a b o l a l b 相交 平行 a b 2 直线和平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 则它们所成的角是 一条直线和平面平行或在平面内 则它们所成的角是 2 范围 射影 锐角 直角 0 的角 3 平面与平面垂直 1 二面角的有关概念 二面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点 以该点为垂足 在两个半平面内分别作 的两条射线 这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 两个半平面 垂直于棱 2 平面和平面垂直的定义 两个平面相交 如果所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 3 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 l l 垂线 交线 l a l a 特别提醒 1 线面平行或垂直的有关结论 1 若两平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 2 若一条直线垂直于一个平面 则它垂直于这个平面内的任何一条直线 证明线线垂直的一个重要方法 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 4 一条直线垂直于两平行平面中的一个 则这一条直线与另一个平面也垂直 5 两个相交平面同时垂直于第三个平面 它们的交线也垂直于第三个平面 2 证明线面垂直时 易忽视平面内两条线为相交线这一条件 小题快练 链接教材练一练1 必修2p73练习t1改编 下列命题中不正确的是 a 如果平面 平面 且直线l 平面 则直线l 平面 b 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 c 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 d 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 解析 选a 根据面面垂直的性质 知a不正确 直线l可能平行平面 也可能在平面 内 2 必修2p73习题a组t3改编 如图 在三棱锥v abc中 vab vac abc 90 则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为 解析 所以有4个直角三角形 答案 4 感悟考题试一试3 2015 浙江高考 设 是两个不同的平面 l m是两条不同的直线 且l m a 若l 则 b 若 则l mc 若l 则 d 若 则l m 解析 选a 选项a中 由平面与平面垂直的判定 故正确 选项b中 当 时 l m可以垂直 也可以平行 也可以异面 选项c中 l 时 可以相交 选项d中 时 l m也可以异面 4 2014 辽宁高考 已知m n表示两条不同的直线 表示平面 下列说法正确的是 a 若m n 则m nb 若m n 则m nc 若m m n 则n d 若m m n 则n 解析 选b 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 直线aa1 ab1分别与平面cc1d1d平行 但是直线aa1 ab1相交 故选项a错误 根据线面垂直的定义 一条直线垂直于一个平面 则该直线垂直于平面内的任一条直线 可见选项b正确 直线aa1 平面abcd aa1 bc 但直线bc 平面abcd 故选项c错误 直线aa1 平面cc1d1d aa1 cd 但直线cd 平面cc1d1d 故选项d错误 5 2016 石家庄模拟 已知如图 六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abcdef 则下列结论不正确的是 a cd 平面pafb df 平面pafc cf 平面pabd cf 平面pad 解析 选d a中 因为cd af af 平面paf cd 平面paf 所以cd 平面paf成立 b中 因为abcdef为正六边形 所以df af 又因为pa 平面abcdef 所以pa df 又因为pa af a 所以df 平面paf成立 c中 因为cf ab ab 平面pab cf 平面pab 所以cf 平面pab 而d中cf与ad不垂直 故d结论不正确 考向一与线面垂直有关的命题的真假判断 典例1 1 2015 安徽高考 已知m n是两条不同直线 是两个不同平面 则下列命题正确的是 a 若 垂直于同一平面 则 与 平行b 若m n平行于同一平面 则m与n平行c 若 不平行 则在 内不存在与 平行的直线d 若m n不平行 则m与n不可能垂直于同一平面 2 2014 浙江高考 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 a 若m n n 则m b 若m 则m c 若m n n 则m d 若m n n 则m 解题导引 解答 1 2 均可依据线面平行 垂直的判定与性质逐一判断 规范解答 1 选d 2 选c 对a若m n n 则m 或m 或m 故a选项错误 对b若m 则m 或m 或m 故b选项错误 对c若m n n 则m 故c选项正确 对d若m n n 则m 或m 或m 故d选项错误 规律方法 与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 1 借助几何图形来说明线面关系要做到作图快 准 甚至无需作图在头脑中形成印象来判断 2 寻找反例 只要存在反例 那么结论就不正确 3 反复验证所有可能的情况 必要时要运用判定或性质定理进行简单说明 变式训练 2016 黄山模拟 已知不同的直线l m 不同的平面 下列命题中 若 l 则l 若 l 则l 若l m 则l m 若 l m l 则m 真命题的个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 选c 两平面平行 则平面内任何一条直线必平行于另一个平面 故 是真命题 两平面平行 若一条直线垂直于其中一个平面 则必垂直于另一个平面 故 是真命题 对于 直线l也有可能与直线m异面 故 是错误的 对于 若直线m不在平面 内 则不成立 故 是错误的 所以真命题有2个 加固训练 1 pa垂直于正方形abcd所在平面 连接pb pc pd ac bd 则下列垂直关系正确的是 平面pab 平面pbc 平面pab 平面pad 平面pab 平面pcd 平面pab 平面pac a b c d 解析 选a 由pa 平面abcd bc 平面abcd得pa bc 又bc ab pa ab a 则bc 平面pab 又bc 平面pbc 得平面pab 平面pbc 故 正确 同理可证 正确 2 2016 长沙模拟 设a b c是三条不同的直线 是两个不同的平面 则a b的一个充分条件是 a a c b cb a b c a b d a b 解析 选c 对于选项c 在平面 内存在m b 因为a 所以a m 故a b a b选项中 直线a b可能是平行直线 相交直线 也可能是异面直线 d选项中一定推出a b 考向二线面垂直的判定与性质 考情快递 考题例析 命题方向1 证明直线与平面垂直 典例2 如图所示 直角 abc所在的平面外一点s sa sb sc 点d为斜边ac的中点 求证 直线sd 平面abc 解题导引 只需证明sd ac sd bd即可 规范解答 因为sa sc 点d为斜边ac的中点 所以sd ac 连接bd 在rt abc中 则ad dc bd 所以 ads bds 所以sd bd 又因为ac bd d 所以sd 平面abc 母题变式 1 在本例中 若ab bc 其他条件不变 则bd与平面sac的位置关系是什么 解析 因为ab bc 点d为斜边ac的中点 所以bd ac 又由例题知sd bd 于是bd垂直于平面sac内的两条相交直线 故bd 平面sac 2 若将典例改为 已知四棱锥p abcd的底面是菱形 且pa pc pb pd 若o是ac与bd的交点 求证 po 平面abcd 证明 在 pbd中 pb pd o为bd的中点 所以po bd 在 pac中 pa pc o为ac的中点 所以po ac 又因为ac bd o 所以po 平面abcd 命题方向2 利用线面垂直的性质证明线线垂直 典例3 2015 江苏高考 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 已知ac bc bc cc1 设ab1的中点为d b1c bc1 e 求证 1 de 平面aa1c1c 2 bc1 ab1 解题导引 1 利用线面平行的判定定理证明 2 先证明bc1 平面ab1c 再证明bc1 ab1 规范解答 1 由题意知 点e是b1c的中点 在三角形ab1c中 点d是ab1的中点 所以de是三角形ab1c的中位线 所以de ac 又因为ac 平面aa1c1c de 平面aa1c1c 所以de 平面aa1c1c 2 因为abc a1b1c1是直三棱柱 且ac bc 所以ac 平面bb1c1c 所以ac bc1 又因为bc cc1 所以四边形bb1c1c是正方形 所以bc1 b1c 又因为b1c ac c 所以bc1 平面ab1c 所以bc1 ab1 技法感悟 1 证明直线与平面垂直的常用方法 1 利用线面垂直的判定定理 2 利用 两平行线中的一条与平面垂直 则另一条也与这个平面垂直 3 利用 一条直线垂直于两个平行平面中的一个 则与另一个也垂直 4 利用面面垂直的性质定理 2 证明线线垂直的常用方法 1 利用特殊图形中的垂直关系 2 利用等腰三角形底边中线的性质 3 利用勾股定理的逆定理 4 利用直线与平面垂直的性质 题组通关 1 2014 重庆高考 如图 四棱锥p abcd中 底面是以o为中心的菱形 po 底面abcd ab 2 bad m为bc上一点 且bm 1 证明 bc 平面pom 2 若mp ap 求四棱锥p abmo的体积 解题提示 1 由余弦定理 勾股定理等知识先证om bm 再由线面垂直的判定定理证明 2 将底面四边形abmo分为 abo与 mbo来求面积 根据 1 中结果 利用勾股定理 余弦定理求出po 代入棱锥的体积公式求解 解析 1 如图 因为abcd为菱形 o为菱形中心 连接ob 则ao ob 因为 bad 故ob ab sin 1 又因为bm 且 obm 在 obm中 om2 ob2 bm2 2ob bm cos obm 所以ob2 om2 bm2 故om bm 故om bc 又因为po 底面abcd 所以po bc 从而bc与平面pom内两条相交直线om po都垂直 所以bc 平面pom 2 由 1 得 oa ab cos oab 2 cos设po a 由po 底面abcd知 poa为直角三角形 故pa2 po2 oa2 a2 3 由 pom也是直角三角形 故pm2 po2 om2 a2 连接am 在 abm中 am2 ab2 bm2 2ab bm cos abm由已知mp ap 故 apm为直角三角形 则pa2 pm2 am2 即a2 3 a2 得a a 舍去 即po 此时s四边形abmo s aob s omb所以四棱锥p abmo的体积vp abmo s四边形abmo po 2 2015 广东高考 如图 三角形pdc所在的平面与长方形abcd所在的平面垂直 pd pc 4 ab 6 bc 3 1 证明 bc 平面pda 2 证明 bc pd 3 求点c到平面pda的距离 解析 1 因为四边形abcd是长方形 所以bc ad 因为bc 平面pda ad 平面pda 所以bc 平面pda 2 因为四边形abcd是长方形 所以bc cd 因为平面pdc 平面abcd 平面pdc 平面abcd cd bc 平面abcd 所以bc 平面pdc 因为pd 平面pdc 所以bc pd 3 取cd的中点e 连接ae和pe 因为pd pc 所以pe cd 在rt ped中 pe 因为平面pdc 平面abcd 平面pdc 平面abcd cd pe 平面pdc 所以pe 平面abcd 由 2 知 bc 平面pdc 由 1 知 bc ad 所以ad 平面pdc 因为pd 平面pdc 所以ad pd 设点c到平面pda的距离为h 因为v三棱锥c pda v三棱锥p acd 所以s pda h s acd pe 即所以点c到平面pda的距离是 考向三平面与平面垂直的判定与性质 典例4 2015 全国卷 改编题 如图 四边形abcd为菱形 abc 120 e f是平面abcd同一侧的两点 be 平面abcd df 平面abcd be 2df ae ec 证明 平面aec 平面afc 解题导引 连接bd 设bd ac g 连接ef eg fg 要证明平面aec 平面afc 只要证明eg与平面afc垂直即可 要证明eg与平面afc垂直 只要证明eg与ac和fg都垂直即可 规范解答 连接bd 设bd ac g 连接eg fg ef 在菱形abcd中 不妨设gb 1 由 abc 120 可得ag gc 由be 平面abcd ab bc可知ae ec 又ae ec 所以eg 且eg ac 在rt ebg中 可得be 故df 在rt fdg中 可得fg 在直角梯形bdfe中 由bd 2 be df 可得ef 从而eg2 fg2 ef2 所以eg fg 又因为ac fg g 可得eg 平面afc 又因为eg 平面aec 所以平面aec 平面afc 规律方法 1 面面垂直的证明方法 1 定义法 利用面面垂直的定义 即判定两平面所成的二面角为直二面角 将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题 2 定理法 利用面面垂直的判定定理 即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线 把问题转化成证明线线垂直加以解决 2 三种垂直关系的转化 易错提醒 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 这一条件 变式训练 2015 山东高考改编题 如图 在三棱台def abc中 ab 2de 点g h分别为ac bc的中点 若cf bc ab bc 求证 平面bcd 平面egh 证明 连接dg 因为g h分别为ac bc的中点 所以gh ab 由ab bc 得gh bc 又h为bc的中点 所以ef hc ef hc 因此四边形efch是平行四边形 所以cf he 又cf bc 所以he bc 又he gh 平面egh he gh h 所以bc 平面egh 又bc 平面bcd 所以平面bcd 平面egh 加固训练 1 2016 南昌模拟 如图 已知在四棱锥p abcd中 底面abcd是边长为4的正方形 pad是正三角形 平面pad 平面abcd e f g分别是pd pc bc的中点 1 求证 平面efg 平面pad 2 若m是线段cd上一点 求三棱锥m efg的体积 解析 1 因为平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad cd 平面abcd cd ad 所以cd 平面pad 又因为 pcd中 e f分别是pd pc的中点 所以ef cd 所以ef 平面pad 因为ef 平面efg 所以平面efg 平面pad 2 因为ef cd ef 平面efg cd 平面efg 所以cd 平面efg 因此cd上的点m到平面efg的距离等于点d到平面efg的距离 所以vm efg vd efg 取ad的中点h 连接gh eh 则ef gh 因为ef 平面pad eh 平面pad 所以ef eh 于是s efh ef eh 2 s efg 因为平面efg 平面pad 平面efg 平面pad eh ehd是正三角形 所以点d到平面efg的距离等于正 ehd的高 即为 因此 三棱锥m efg的体积vm efg vd efg 2 2016 安阳模拟 如图 将边长为2的正六边形abcdef沿对角线be翻折 连接ac fd 形成如图所示的多面体 且ac 1 证明 平面abef 平面bcde 2 求三棱锥e abc的体积 解析 1 在正六边形abcdef中 连接ac be 交点为g 易知ac be 且ag cg 在多面体中 由ac 知ag2 cg2 ac2 故ag gc 又gc be g gc be 平面bcde 故ag 平面bcde 又ag 平面abef 所以平面abef 平面bcde 2 连接ae ce 则ag为三棱锥a bce的高 gc为 bce的高 在正六边形abcdef中 be 2af 4 故s bce 所以ve abc va bce 考向四线面角与二面角的求法 典例5 如图 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc 点e是pc的中点 1 求pb和平面pad所成的角的大小 2 证明 ae 平面pcd 3 求二面角a pd c的正弦值 解题导引 1 根据pa 底面abcd 找到pb在平面pad内的射影 进而找到线面角 放在可解三角形中求解 2 利用线面垂直的判定定理证明 3 根据题设中垂直关系先找到二面角a pd c的平面角 再放在一可解三角形中求解 规范解答 1 在四棱锥p abcd中 因为pa 底面abcd ab 平面abcd 所以pa ab 又因为ab ad pa ad a 所以ab 平面pad 故pb在平面pad内的射影为pa 从而 apb为pb和平面pad所成的角 在rt pab中 ab pa 故 apb 45 所以pb和平面pad所成的角的大小为45 2 在四棱锥p abcd中 因为pa 底面abcd cd 平面abcd 所以cd pa 由条件cd ac pa ac a 所以cd 平面pac 又因为ae 平面pac 所以ae cd 由pa ab bc abc 60 可得ac pa 因为点e是pc的中点 所以ae pc 又因为pc cd c 所以ae 平面pcd 3 过点e作em pd 垂足为点m 连接am 如图所示 由 2 知 ae 平面pcd am在平面pcd内的射影是em 则am pd 因此 ame是二面角a pd c的平面角 由已知 可得 cad 30 设ac a 可得pa a 在rt adp中 因为am pd 所以am pd pa ad 则am 在rt aem中 sin ame 所以二面角a pd c的正弦值为 规律方法 1 求空间线面角 二面角的三个步骤 1 找 根据图形找出相关的线面角或二面角 2 证 证明找出的角即为所求的角 3 算 根据题目中的数据 通过解三角形求出所求角 2 空间线面角 二面角的求法 1 线面角的求法 找出斜线在平面上的射影 作出垂线 确定垂足 2 二面角的求法 直接法 根据概念直接作 如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边 就可以取棱的中点 垂面法 如图1 过二面角棱上一点作棱的垂面 则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角 垂线法 如图2 过二面角的一个半平面内一点a作另一个半平面的垂线 再从垂足b向二面角的棱作垂线 垂足为c 这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面abc 连接ac 则ac也与二面角的棱垂直 acb就是二面角的平面角或其补角 变式训练 2016 唐山模拟 已知四棱锥p abcd中 pa 平面abcd 底面abcd是边长为a的菱形 bad 120 pa b 1 求证 平面pbd 平面pac 2 设ac与bd交于点o 点m为oc的中点 若二面角a pm d的正切值为2 求a b的值 解析 1 因为pa 平面abcd 所以pa bd 又因为四边形abcd为菱形 所以ac bd 因为pa ac a 所以bd 平面pac 因为bd 平面pbd 所以平面pbd 平面pac 2 过点o作oh pm交pm于点h 连接hd 因为od 平面pac 所以od pm 又oh pm od oh o 故pm 平面odh 可得dh pm 所以 ohd为二面角a pm d的平面角 又因为且从而所以tan ohd 所以9a2 16b2 所以 加固训练 2016 怀化模拟 如图 直角梯形abcd中 ab cd ab bc ab 1 bc 2 cd 1 过点a作ae cd 垂足为点e 点f g分别是ce ad的中点 现将 ade沿ae折起 使二面角d ae c的平面角为135 1 求证 平面dce 平面abce 2 求直线fg与平面dce所成角的正弦值 解析 1 因为de ae ce ae de ce e de ce 平面cde 所以ae 平面cde 因为ae 平面abce 所以平面dce 平面abce 2 过点g作gh ae 与de相交于点h 连接fh 由 1 知ae 平面cde 所以gh 平面cde gfh是直线fg与平面dce所成角 因为点g是ad的中点 所以gh是 ade的中位线 gh 1 eh 因为de ae ce ae 所以 dec是二面角d ae c的平面角 即 dec 135 在 efh中 由余弦定理得 fh2 ef2 eh2 2 ef eh cos feh所以fh 因为gh 平面cde 所以gh fh 在rt gfh中 gf 所以直线fg与平面dce所成角的正弦值为sin gfh 备选考向线 面位置关系中的探索性问题 典例 2016 石家庄模拟 在如图所示的几何体中 面cdef为正方形 面abcd为等腰梯形 ab cd ac ab 2bc 2 ac fb 1 求证 ac 平面fbc 2 求四面体fbcd的体积 3 线段ac上是否存在点m 使ea 平面fdm 若存在 请说明其位置 并加以证明 若不存在 请说明理由 解析 1 在 abc中 因为ac ab 2 bc 1 所以ac2 bc2 ab2 所以ac bc 又因为ac fb bc fb b 所以ac 平面fbc 2 因为ac 平面fbc 所以ac fc 因为cd fc ac cd c 所以fc 平面abcd 在等腰梯形abcd中可得cb dc 1 所以fc 1 所以 bcd的面积为s 所以四面体fbcd的体积为vf bcd 3 线段ac上存在点m 且点m为ac中点时 有ea 平面fdm 证明如下 连接ce 与df交于点n 取ac的中点m 连接mn 因为四边形cdef是正方形 所以点n为ce的中点 所以ea mn 因为mn 平面fdm ea 平面fdm 所以ea 平面fdm 所以线段ac上存在点m 使得ea 平面fdm成立 规律方法 解决探索性问题的方法 1 对命题条件的探索的三种途径途径一 先猜后证 即先观察与尝试给出条件再证明 途径二 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件 再证明充分性 途径三 将几何问题转化为代数问题 探索出命题成立的条件 2 对命题结论的探索方法从条件出发 探索出要求的结论是什么 对于探索结论是否存在 求解时常假设结论存在 再寻找与条件相容或者矛盾的结论 加固训练 1 如图 在四棱锥s abcd中 平面sad 平面abcd 四边形abcd为正方形 且点p为ad的中点 点q为sb的中