高中数学一轮复习 第8讲 抛物线.doc

第8讲 抛物线随堂演练巩固1.已知抛物线的准线与圆相切,则p的值为( ) a.b.1c.2d.4 【答案】c 【解析】抛物线的准线为因为其与圆相切,所以|=4,解得p=2(因为p0). 2.直线l过抛物线的焦点,且与抛物线交于a、b两点,若线段ab的长是8,ab的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是( ) a.b. c.d. 【答案】b 【解析】设由抛物线定义可得=8,又ab中点到y轴的距离为2,.p=4. 3.在抛物线上有一点p,若使它到点a(1,3)的距离与它到抛物线焦点的距离之和最小,则点p的坐标是( ) a.(-2,1)b.(1,2) c.(2,1)d.(-1,2) 【答案】b 【解析】如图所示,直线l为抛物线的准线,f为其焦点， 由抛物线的定义知,|pf|=|pn|,|ap|+|pf|=|ap|+|pn|,当且仅当a、p、n三点共线时取等号.当所求距离之和最小时,p点的横坐标与a点的横坐标相同即为1,又点p在抛物线上,p点坐标为(1,2). 4.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在y轴上,抛物线过点(4,-2),则抛物线的标准方程是 . 【答案】 【解析】设抛物线方程为因抛物线过点(4,-2),所以.所以抛物线方程为. 5.已知抛物线的焦点为f,点在抛物线上,过点p作pq垂直于抛物线的准线,垂足为q,若抛物线的准线与对称轴相交于点m,则四边形pqmf的面积等于 . 【答案】 【解析】由点在抛物线上,得故抛物线的标准方程为其焦点为f(0,1),准线为y=-1,所以|fm|=2,|pq|mq|=1,则直角梯形pqmf的面积等于. 课后作业夯基基础巩固1.若点p到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点p的轨迹为( ) a.圆b.椭圆 c.双曲线d.抛物线 【答案】d 【解析】依题意知,点p到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点p的轨迹是抛物线. 2.在抛物线上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为( ) a.b.1c.2d.4 【答案】c 【解析】由抛物线的定义得故p=2. 3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线仅有一个公共点,则这样的直线有( ) a.1条b.2条c.3条d.4条 【答案】c 【解析】结合图形(图略)分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0). 4.已知点p在抛物线上,那么点p到点q(2,-1)的距离与点p到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点p的坐标为( ) a.b. c.(1,2)d.(1,-2) 【答案】a 【解析】点p到抛物线焦点的距离等于点p到抛物线准线的距离,如图, |pf|+|pq|=|ps|+|pq|,故最小值在s,p,q三点共线时取得,此时p,q的纵坐标都是-1,此时点p坐标为. 5.设斜率为2的直线l过抛物线的焦点f,且和y轴交于点a.若oaf(o为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) a.b. c.d. 【答案】b 【解析】抛物线焦点f坐标为故直线l的方程为y=,因此其与y轴交点坐标为因此|=即抛物线方程为. 6.已知过抛物线焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是( ) a.或b.或 c.或d. 【答案】b 【解析】设弦为ab,则由焦点弦长公式有|ab|即sin.或. 7.已知抛物线上两个动点b、c和点a(1,2),且,则动直线bc必过定点( ) a.(2,5)b.(-2,5) c.(5,-2)d.(5,2) 【答案】c 【解析】设的中点为则直线bc的方程为 即; 又=0,代入式得2(x-5)-由此可知动直线bc恒过x-5=0与y+2=0的交点(5,-2). 8.设抛物线的焦点为f,点a(0,2). 若线段fa的中点b在抛物线上,则点b到该抛物线准线的距离为 . 【答案】 【解析】由已知得将其代入得则b点到准线的距离为. 9.已知抛物线c的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线c相交于a,b两点.若p(2,2)为ab的中点,则抛物线c的方程为 . 【答案】 【解析】设抛物线方程为将直线y=x代入抛物线方程可得解之,得y=0或y=2p.由ab的中点坐标为(2,2)可得2p=4,即p=2,抛物线c的方程为4x. 10.(2012山东泰安月考)已知点m是抛物线上的一点,f为抛物线的焦点,a在圆c:上,则|ma|+|mf|的最小值为 . 【答案】4 【解析】依题意得|ma|+|mf|mc|-1)+|mf|=(|mc|+|mf|)-1,由抛物线的定义知|mf|等于点m到抛物线的准线x=-1的距离,结合图形不难得知,|mc|+|mf|的最小值等于圆心c(4,1)到抛物线的准线x=-1的距离,即为5,因此所求的最小值为4. 11.一抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线b0)的一个焦点,并与双曲线实轴垂直,又此抛物线与双曲线的一个交点为求该抛物线与双曲线的方程. 【解】由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点,p=2c. 设抛物线方程为. 抛物线过点. c=1.故抛物线方程为. 又双曲线过点 .又. 或舍). .故双曲线方程为. 12.已知一动圆过定点p(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点c在l上. (1)求动圆圆心的轨迹m的方程. (2)设过点p,且斜率为的直线与曲线m相交于a、b两点,问abc能否为正三角形?若能,求出c点的坐标,若不能,说明理由. 【解】(1)依题意,曲线m是以点p为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线m的方程为.如图所示. (2)由题意得,直线ab的方程为 由 消y得. 解得. 若abc能为正三角形, 设c(-1,y),则|ac|=|ab|=|bc|,即 组成的方程组无解,因此直线l上不存在点c使abc是正三角形. 13.已知定点f(0,1)和直线:y=-1,过定点f与直线相切的动圆圆心为点c. (1)求动点c的轨迹方程; (2)过点f的直线交动点c的轨迹于两点p、q,交直线于点r,求的最小值. 【解】(1)由题设知点c到点f的距离等于它到直线的距离, 点c的轨迹是以f为焦点为准线的抛物线. 所求轨迹的方程为. (2)由题意设直线的方程为y=kx+1, 与抛物线方程联立消去y,得. 设则. 直线pq的斜率易得点r的坐标为 当且仅当时取到等号, 即的最小值为16. 拓展延伸14.如图,过点f(1,0)的直线l与抛物线c:交于a、b两点. (1)若|ab|=8,求直线ab的方程; (2)记抛物线c的准线为l,设直线oa、ob分别交l于点n、m,求的值. 【解】(1)设|ab|=8,即 又p=2,.