高考数学客观题求解中的七大关键点.pdf

解题研究 高考数学客观题求解中的七大关键点 江苏省灌南县教育局教研室 222500 李太敏 客观题以其 小 灵 快 的特点深受一些命 题者和解题者的喜爱 但命题者为了提高试题的 区分度 在一些试题中 常常会有意识地设置一些 关口 障碍甚至是陷阱 令解题者在不知不觉时进 入其中难以自拔 从而导致客观题得分率不高的 现状 而要改变这种现状 在数学解题中就必须能 寻找出其关键点 一点突破 全线告捷 本文试 以近两年的全国高考试题中的客观题为例 来说 明其求解中的七大关键点 1 寻出类比对象 人们总习惯于把感觉到的新信息与已掌握的 旧知 旧法进行类比 然后进行内化 迁移 形成新 知 因而在数学解题中 如能迅速找准类比对象 就如同找准了通向解题成功的大道 例 1 2005 年辽宁卷 是正实数 设 S f x cos x 是奇函数 若对每个 实数 a S a a 1 的元素不超过2个 且有a 使S a a 1 含 2个元素 则 的取值范围是 关键点分析 本题大部分同学是读不懂题意 而导致解题发生障碍 事实上 如能找准类比对 象 题意也并不难以理解 由 f x cos x 是奇函数 得 k 2 k Z 当k 取相 邻的两个整数时 对应的角度之差 1 2 因而本题可类比为 对每个实数a y sin2 x 在 a a 1 的最值出现的次数不超过 2 次 且有 a 使函数y cos2 x 在 a a 1 内的最值能出现2 次 求 范围 根据y sin2 x 的周期是T 2T 1 T 1 可得 的取值范围是 2 2 寻出对应关系 待研究的数学对象常常是千变万化的 但它 们之间也往往是有联系的 大都可以通过 一对 一 或多对一 或一对多 的某种对应关系沟通它 们之间的联系 寻出这种对应关系 就可以化繁为 简 化陌生为熟悉 例 2 2004 年湖南卷 从正方体的八个顶点 中任取三个顶点作三角形 其中直角三角形的个 数是 A 56 B 52 C 48 D 40 关键点分析 正方体的顶点所确定的每一个 平面都对应四个直角三角形 而正方体的顶点所 确定平面共有 12 个 故所求的直角三角形个数为 48 个 例 3 2005年上海卷 设定义域为 R的函数 f x lg x 1 x 1 0 x 1 则关于 x 的方程 f 2 x bf x c 0 有 7个不同实数解的充要 条件是 A b 0 B b 0且 c 0 C b 0 时 f x t1有四个实根 而当t2 0 时 f x t2有三个实根 即方程t 2 bt c 0的一 个正根可对应于 f x t1的四个实根 方程 t 2 bt c 0的一个零根可对应于 f x t2的三个 实根 因而关于x 的方程f 2 x bf x c 0有 7个不同实数解 对应于方程t 2 bt c 0有一个 正根与一个零根 因此选答案 C 50 解题研究 3 寻出独特情形 矛盾的特殊性虽蕴涵在一般性之中 但一般 性的信息由于其共性的规律易引起人们的共鸣 而特殊的信息则会由于其个性的特征易被人们所 忽略 因而寻出独特情形 往往能达到快而准地解 决问题之目的 例4 2005年山东卷 设集合 A B 是全集U 的两个子集 则A B 时 UA B U A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 关键点分析 当 A B 时 UA B U 显然成立 但反之呢 如能发现独特情形 A B 时 UA B U也成立 则可立即得答案 A 4 寻出隐含性质 表面的人人均能发现 但隐含的往往才是问 题的核心 因此寻出问题的隐含性质 才能导致问 题的正确解决 例5 2005年福建卷改编 f x 是定义在R 上的以 3 为周期的奇函数 且 f 2 0 则方程 f x 0 在区间 0 6 内解的个数的最小值是 A 3 B 4 C 5 D 多于 5个 关键点分析 由于 f 2 0 f 5 又 f 0 0 f 3 而 f 2 f 2 0 f 1 f 4 因而本题很容易错选答案 C 事实上 由 f x 是定义在 R 上的以 3为周期的奇函数 隐含 了 f 3 2 0 故可得f 9 2 0 因此应选答案 D 例 6 2004 年辽宁卷 设 A B C D 是球面 上的四个点 且在同一平面内 AB BC CD DA 3 球心到该平面的距离是球半径的一半 则球的体积是 A 8 6 B 64 6 C 24 2 D 72 2 关键点分析 A B C D 是球面上的四个点 且在同一平面内 AB BC CD DA 隐含了 四边形ABCD 是正方形 以此作突破口 可求得 答案 A 5 寻出本质特征 事物的特征有多种 而本质特征往往只有一 个 它需要人们从众多繁复的信息中筛选 去甄 别 因而寻出问题的本质特征 就如同抓住了打开 问题大门的金钥匙 例 7 2004 年浙江卷 设坐标平面内有一个 质点从原点出发 沿 x 轴跳动 每次向正方向或负 方向跳 1 个单位 经过 5 次跳动质点落在点 3 0 允许重复过此点 处 则质点不同的运动方法 共有种 用数字作答 关键点分析 设沿 x 轴正方向跳动x 次 沿负 方向跳动 y 次 本题的本质特征就是 方程组 x y 5 x y 3之解 故x 4且 y 1 因而质点不 同的运动方法有 C 4 5 5 种 例 8 2004 年重庆卷 若 an 是等差数列 首项a1 0 a2003 a2004 0 a2003 a2004 0 成立的最大自然数 n 是 A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 关键点分析 由 a1 0 a2003 a2004 0 a2003 a2004 0 a2004 0 而 S4007 4007a2004 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 点 P 在双曲线的右支上 且 PF1 4 PF2 则此 双曲线的离心率 e的最大值为 A 4 3 B 5 3 C 2 D 7 3 关键点分析 由 PF1 4 PF2 可得 PF1 8 3 a PF2 2 3 a 根据几何性质得 PF1 PF2 F1F2 可得答案 B