课程原则与标准.doc

美国学校数学教育的原则和标准如何使用此书我们的基本立场是借鉴和参考书中的观点和思想，而不是没有消化地照搬、照抄。新加坡的学生在“第三次国际数学和科学研究(TIMSS)”中，名列前茅。美国的教育部长去年访问新加坡时，也盛赞新加坡的教育。美国的一些学校同时直接采用新加坡的教材，但在具体使用时，遇到了很大的挑战，这在很大程度上是因为教学是和社会、文化密切相关的。同样，尽管此原则和标准在美国有较大的影响，其中也确实包括了许多新的有关教学、学习、评估、课程，及现代科技等方面的观点，但如果照搬、直接采用，同样也会遇到挑战和困难。为了便于国内的前辈和同行们参考，现就我们知道的关于美国数学教育界“出台”标准作一点简单的历史回顾。简单历史回顾美国各州及学区(school district)有权决定使用教材，因而教材种类多，没有一个统一的“教学大纲”。美国没有高考，只要经济上许可，绝大多数高中毕业生可进不同种类的大学深造，进人大学的重要参考条件之一是SAT或ACT的考试成绩(SAT和ACT不是全国统考，而是由美国两个考试中心具体实施)。另外，美国没有专门培养(或培训)教师的师范院校，但几乎所有的综合性大学都有师范专业。总的来看，美国教育制度大多由当地部门作出决策。由此带来的问题是，由于美国各地对学生有不同的要求，如何来评价他们的学生已经达到了相应的要求呢？如何在一定程度上达到统一要求呢？80年代前后，美国参与“第二次国际数学教育比较研究(The Second International Mathematics Study)”，在参与的20多个国家和地区中，美国排最后几位，特别是韩国、日本和中国香港学生的成绩都好于美国。他们通过比较研究发现，成绩最好的国家或地区都有全国(或全地区)统一的大纲或课程，而美国没有。80年代中期，作为一个民间的专业团体的全美数学教师理事会决定成立一个委员会来提出一些标准。经过几年的努力，于1989年出台了学校数学的课程与评价标准(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)，这一标准在一定程度上起到了统一要求的作用，引起了较大反响，表现在：(1)该标准被翻译成多种文字(人民教育出版社已于1994年出版了中文本)；(2)其他学科纷纷仿效数学课程标准，制定相应的课程标准(如，美国的科学标准，人民教育出版社也出版发行了中文版)；(3)美国各州也相应形成了各自的数学内容框架；(4)此成果获全美教育研究会颁发的奖项；(5)美教育期刊中的许多文章引用了这一文件，被引用率首屈一指。随着这些标准的相继发表，美国联邦政府花费了大量的财力、人力来培训教师，让他们熟悉标准中的观念，掌握其要旨，懂得如何付诸于教学实践。于是，人们期待美国数学教育有一个很大的提高。然而，事与愿违，“第三次国际数学和科学研究(TIMSS)”的研究结果显示，美国学生的表现与人们的期望相距甚远。其中，八年级和十二年级的测试成绩远远低于其他国家，四年级也只达到了国际平均水平，因而批评意见纷沓而至。纽约大学的FranCurcio教授认为以前出版的这些标准足以让人产生如下几种误解。1忽视基本计算。许多人认为基本计算技能不再重要。恰恰相反，基本计算的培养不应被忽视，学生仍需要掌握关于加法与乘法的一些基本的事实，尽管学习这些基本事实并不是解决问题的先决条件，但学习这些事实对学生解决那些有意义的、与他们相关的和有趣的问题是必不可少的。对这些基本事实的学习可通过游戏或其他一些活动有意义地重复、轻松地进行，而不是无意义的机械记忆。同时，通过处理各种不同的情境和问题，学生有机会培养和应用那些有助于他们学习这些基本事实的思维策略。2对问题仅有近似解答就足够了。1989年的“课程标准”强调估算能力的培养，但有些人却误认为只要近似答案就够了。如果一个问题只是需要一个估计，而不需要准确结果，那么有一个合理的估计就够了。然而，如果一个问题需要一个精确的答案，那么近似答案就是错误的。3数学教学只有惟一正确方法。改革支持者都知道教学是一个非常复杂的活动。教学计划的制定，问题的设计，教给学生适宜的、有价值的数学这一切都取决于教师对学习过程的认识能力，对学生的需要和兴趣的了解以及对所教数学的切实理解。尽管教师精于课堂教学的内容，但还必须通过对学生全方位的了解来制定教学计划，并没有惟一正确的教学方法。4有标准记号的教材就是支持改革的。判断一种教材是否支持学校数学改革的标准在于：问题解决时数学的严谨性、深度和逻辑性是否被保持，而数学交流、推理以及数学内外的关联是否被突出。那些为了建立与文学、历史或科学的联系而肤浅处理数学知识的教材，对学生和数学改革都是有害的。5没有有效的研究结果支持改革。许多人误认为没有研究来支持改革，相反的，针对现阶段数学教学改革和学生数学成绩的大量研究都是基于支持这些标准而进行的。除上述五点，我们认为，这些标准让人所产生的误解还包括以下两点。6，具体经验能自动导致抽象。标准中强调让学生理解性地学数学，好像只要让学生看一看、摸一摸那些直观的东西就够了，用不着老师“推学生一把(Push)”就可以达到理解和较抽象的程度。7现代技术在数学中的使用等于教学改革。科技应成为促进数学教与学的工具，然而如何有效地使用科技于课堂教学仍是一个正在探讨的问题，但科技的使用并不意味着数学教育改革，我们不应该用科技给数学教育贴上一个改革的“标签”。为此，针对以上批评意见，全美数学教师理事会认为，“标准”应不断加以改进和完善。于是，从1996年起他们开始着手制定这一原则和标准。在序言中对原则和标准的制定有详细的说明。问题与挑战原则和标准只是提出了一个数学教育的宏伟前景，而不是已实现的现实。实现这一宏伟前景远比提出这些原则和标准难得多。面临的最大挑战之一是如何让教师能在他们的教学中贯彻原则和标准的精神。印第安纳大学(1ndiana University)的Frank Lester教授认为，美国现行数学教育中仍存在以下的问题或挑战。1确定什么是数学真正基础的问题。“回到基础(Back to the basics)”与“朝向将来的基础(Forward to What Will bebasic)”两派激烈之争或许是这一挑战最鲜明的例证。其中有学者更是直言：“为什么要浪费宝贵的时间去教学生解决那些只需花9.95美元的计算器就可解决的问题？”2对实践活动、课程材料和教学方法协调一致的评估问题。(1)如何解决“改革”的课程使用与传统的评估方法和教学方法的使用这一矛盾？(2)如何正确评估数学教学改革成败的原因？3课程平稳过渡问题。由于存在不同的课程体系、内容重点和哲学，如果各年级之间，特别是从一个学校到同一个学区的邻近学校之间缺乏良好的衔接，就可能严重影响数学教学。如果我们期望通过努力获得数学教育的成功，那么我们必须正视和解决这些问题。4师资的短缺和教师的素质问题。在接下来的十年内美国需要二百万的新教师，到20032004年美国可能流失 40的高中师资，数学和理科将受很大的冲击。同时，教师的素质及培训对数学教育是很关键的，正如“不懂的东西你不会教，对没有热情的东西你也不可能教好！”5处理学校结构不断复杂化所带来的新需要的策略问题。6怎样看待数学教育中的“两难”现象(Paradoxes)。(1)社会普遍认为数学难学，但易教。(2)数学对社会有用，但对我无用。对数学的这种态度，学生会受到何种感染呢？(3)数学是逻辑的、理性的，但对我毫无意义等。针对以上这些问题，NCTM呼吁大家齐心协力，迎接挑战，为实现原则和标准中所描绘的理想的数学教育前景而共同努力。从1989年学校数学课程与评价标准到1991年数学教学专业标准，到 1995年学校数学教育的评估标准，再到2000年原则和标准的正式出版，美国数学教育改革所走过的十多年的风雨历程理应成为当前我国正在进行的数学课程改革(尤其是“国家数学课程标准”)的“前车之鉴”，他们所面临的问题和挑战同样也值得我们认真思考和对待。目 录前言.致国家数学教师理事会的感谢信第一章 学校数学教育的前景第二章 学校数学教育的原则:公平原则;课程原则;教学原则;学习原则;评估原则;科技原则第三章 学前期至十二年级学校数学教育的标准:数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征第四章 学前期至二年级的标准;数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征第五章 三至五年级的标准;数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征数与运算第六章 六至八年级的标准;数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征第七章 九至十二年级的标准;数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征第八章 齐心协力将理想变为现实附录标准和期望表. 前 言原则和标准的目的旨在为直接影响学前期至十二年级学生的数学教育作决策的人们提供参考。本文件中提出的各项建议是基于这样的信念，那就是所有的学生应该理解地学习重要的数学概念和过程。原则和标准指明了理解的重要性并描述了学生能达到此种理解的途径。本文件的写作宗旨在于面向数学教师、学校和学区的教师领头人(teacher-leaders)、教材和课程构架制订者、学区的课程主管和教师在职培训的负责人、负责数学教师教育和培训的教育工作者、职前教师、学校、州教育部门的行政人员和政策制订者。此外，本文件也能为研究人员、数学家及其他关心学校数学教育的同仁们提供参考。原则和标准由国家数学教师理事会(NCTM)制订并出版。NCTM是一个国际性的专业组织，其宗旨是提高所有学生的数学教学和学习。NCTM先前出版了三个划时代的标准1989年的学校数学课程与评价标准、1991年的数学教学专业标准以及1995年的学校数学教育的评估标准。这三个文件标志着在历史上的第一次重要的尝试，由一个专业组织来制订并向教师和政策制订者描述教育目标。自从它们出版以来，它们为改善数学教育的努力提供了重点、连贯性和新的观点。从NCTM一开始参与提出教育标准，NCTM就把此种努力看成是不断改进数学教育的一部分。为了让标准继续发挥其功能，体现在标准中的目标和展望必须定期地由具体实施的同仁们考察、评估，及试验，进而进行修订。在90年代初，理事会开始讨论是否有修订这些NCTM标准的需要。这些讨论促使1995年成立了标准的未来委员会。1996年的4月，NCTM董事会通过了修订最初的标准的课题计划。这一被称为“2000年标准”的课题阐明了如何把标准作为所有关心数学教育的人们反思和达成共识的机制。在NCTM内部成立了不同的小组来负责制订“2000年标准”。首先，标准的未来委员会在1995年组成并负责监管“2000年标准”这一课题及其他相关课题；在策划“2000年标准”这一课题的过程中，收集和综合来自NCTM内、外的信息和建议； 提出一个发行、解释、实施、评价和进一步修改将来标准的计划。“2000年标准”的写作小组和电子版小组于1997年春季成立。每一小组包括教师、师范教育工作者、行政人员、研究人员和数学家等在内具有不同专长的人士。写作小组在标准制订中的主要职责是让“2000年标准” 基于原有的三个标准文件；综合学校数学课程与评价标准、数学教学专业标准和学校数学教育的评估标准中与课堂教学有关的部分；组织成四个年级段：学前期(prekindergarten)至二年级、三至五年级、六至八年级和九至十二年级。 电子版小组的职责是 考虑不同的途径出版和发行“2000年标准”； 提出把与现代科技相关的材料溶人到标准中去的可能方法； 让“2000年标准”的写作小组知道有关应用现代科技的最新资料；辅助“2000年标准”写作小组的工作并提供恰当的使用现代科技的例子。 写作小组的主要工作是在1997年夏天、1998年夏天和1999年夏天的短期会议中完成的。尽了最大的努力以保证让写作小组了解最新、最好的研究成果。写作小组的成员能够获得各种教材、各州的课程文件、研究报告、政策文件和别的国家的课程教材。通过由标准的未来委员会组织的一系列活动，也使写作小组得到更多的建议。在1997年的二月，NCTM的主席邀请了数学科学会议团体(The Confereme Boardof the Mathematical Sciences，简称CBMS)所属的组织成员，组成了联合评审小组(Association Review Groups，简称ARGs)，旨在“从各自所属的机构的层面，不断地提供反映K12年级数学的建议和信息。”在该课题进行的过程中，形成了14个联合评审小组，提出了五大类的问题给这些评审小组，并寻求他们的答复。(有关这些评审小组，提出的所有问题及来自评审小组的答复可以在WWWNCTM。orgstandards中找到。) NCTM的研究指导委员会(Research Advisory Committee)委托出版了一系列的“白皮书”。这些白皮书总结了数学教学中八个方面的研究成果和动向，提供给写作小组。另外，在美国国家自然基金会的支持下，学校数学基础会议(the Conference on Foundations for School Mathematics)于1999年三月在亚特兰大举行，此会议给编写者提供了有关数学教学和学习的理论方面的背景知识。为此会议而写的论文和“白皮书”将由NCTM作为NCTM标准的研究篇出版。由艾森豪威尔全国交换所(Eisenhower National Clearinghouse)部分支持召开的两次会议，使写作小组得到了有关现代科技方面的信息，以及就如何策划原则和标准的电子版提供了建议。 标准初稿数学教育的原则和标准(讨论稿)于1998年的10月出版，并在较大范围内传阅以寻求各方面的反映和讨论。大约三万份标准初稿送到有兴趣阅读的人手中，12万人次通过NCTM的网址阅读。19981999年度所有NCTM的地方会议上均有关于标准的报告和讨论，在许多其他专业组织会议上也有报告，应邀对标准初稿的反馈文章也在NCTM的刊物上发表。另外，有25人被特别委托从他们各自感兴趣的领域出发对标准初稿进行评审。总共有650多人和?o多个小组提出了他们的建议。这些建议被分类并输入了定性的数据库(qualitative database)，以确定一系列的重要观点和建议供修改时考虑。在1999年夏天的会议上，写作小组得到有关重要建议、具体例子以及有关细节反馈的总述，以帮助他们写作。在提供的反馈中考察了各方面的建议。根据反馈信息和写作小组成员各自的判断，写作小组认真地作出了如何把每一重要建议容纳到原则和标准中去的决定。在NCTM董事会的要求以及美国国家自然基金会的支持下，NCTM的研究指导委员会组织了一个由不同背景的专家组成的小组来评审、整合和分析标准初稿反映的程序和过程，评审如何在修改中反映提出的建议的计划，以及评审写作小组如何在最终的文件中执行此计划。写作小组就如何反映来自评审员和数学教育专业领域的建议而得到的专家小组的指导，并在指导中大大获益，其结果促使该文件有了较大的改进。原则和标准反映了来自不同方面的建议和影响。在整个文件中，教育研究为许多提议和主张提供基础。这些建议和主张说明的是处于某一水平的学生，在特定的教育条件下，学习特定内容的最大可能性。在原则和标准中强调的内容和标准也反映了社会对数学素质的要求，反映了数学教育的过去，同时也反映了教师、数学教育工作者、数学家和一般公众的价值观和期望。最后，包括在本文件中的许多内容是基于写作小组中课堂第一线教师、教师教育工作者、教育研究者和数学家的经验和观察，也是基于在整个写作过程中写作小组收到的建议。原则与标准包括了许多课堂教学的实例，学生解题的例子和说明文中提到观点的教学片断。如果这些是从别的出版物中来的，那么有说明引用这些例子或教学片断的出处。如果一个教学片断没有引用出处，而且是用过去式写的，那样的片断是根据写作小组成员或教师的经验而写成的，在恰当的地方也指明了出处(例如，没有发表的观察记录)。以现在时写的教学片断则是根据作者的经验而虚构的例子，在文中有说明。本文件提供了学校数学教育的前景一系列需要努力才能达到的目标。在整个文件中，这一数学教育的前景是使用“应该”“将”“能够”“必须”等词表达，以让读者知道NCTM提出的数学教学和学习是什么样的。但这并不意味着保证达到预先确定的结果，而这只是描述NCTM前景的一种方式。原则和标准可以从NCTM的网页中阅读并打印(WWWNCTMorg)。 原则和标准电子版(称为E标准)包括了检索该文件的工具，以及更多电子版的例子(E-例子)，来说明和加强本文中提到的观点。电子版的标准使之和别的资料和背景材料相联成为可能，从而提高了原则和标准的信息量。E例子是传递文中一些特别信息的关键，它以边上的一个插图表示出来。电子版的原则和标准既有CDROM的形式，又有网络版(wwwstandardsnctmorg)。 在今后的几年中，原则和标准将是NCTM的重点和工作方向。几个与原则和标准相关的课题已经开始。NCTM已经组成了一个专门的行动小组，来计划出版一系列的、既有书面的又有电子版的材料，目前此系列暂定名为“辅助教师在课堂教学中实现原则和标准的前景指南”。这一系列材料和89年出版的学校数学课程与评价标准辅助系列类似。一系列的由NCTM新成立的专业培训学院(Acade my for Professionl Development)组织的机构将给各级领导重点介绍原则和标准并深人探讨本文件中的各种标准和论点。另一个行动小组正在策划和准备材料，帮助NCTM有效地传达到教育行政人员。同时，成立了标准影响研究小组(The Stand ards Impact Research Group)。研究在本文件中确定的标准为本的教育改革的总体过程怎样才能被更好地理解，并随后做出改进以达到提高学生学习的目的。E标准行动小组正在考虑扩展并改进未来的原则和标准的电子版本(包括网络的和CD的)。在一个电话公司(MCI WorldCom)资助下，“照明课题”(illumination proliect)正在通过网络提供信息以“照明”本文件中的信息。所有这些活动(和其他的许多别的活动不可避免地将在今后几年中出现)都以原则和标准作为坚实基础以保证NCTM继续地在改善所有学生的数学学习中起领导作用。有关本文件的各方面的消息和信息，请参考NCTM的网页：WWWnctmorg。第三章学前期至十二年级学校数学教育的标准 学生在学校应学习和能应用什么样的数学内容和过程呢？原则和标准提出了NCTM有关学校数学教育中所应重视的内容和过程的建议。要想使社会的成员具有数学思维和推理的能力，并掌握有用的数学基础知识和基本技能，我们必须要有一系列高要求的标准。本章提出的十个标准阐述了一个数学理解和能力相互关联的整体。它是一个要求所有学生达到的综合性基础，而不是一个做课程选择的菜单。这些标准描述了通过数学教学学生应该学习掌握什么样的数学。它们具体地指明了从学前期至十二年级学生应该达到的理解，知识和技能水平。数与运算、代数、几何、度量以及数据分析和概率，明确说明了学生应该学习的数学内容。问题解决、推理与证明、交流、关联和表征强调了获得和应用知识的方法。1.跨年级的提高：旨在重点突出并连贯这十个标准中的每一个都适用于从学前教育到高中毕业的各年级。第四章至第七章要详细讨论的这些标准提出了所有学生都应学习的数学。每个标准包括几个适用于各年级的教育目标。这些教育目标表明了随着课程的加深，也应相应强调学生知识的增长和复杂程度的共同基础。就每一内容标准来说，第四章至第七章还提供了更加具体的、每一年级阶段应达到的教育目标。附录中列出的标准和要求清楚表明了，随着年级增加要求也随之提高。每一数学内容在每年都教是不现实的。然而学生应该根据预先确定的课程对相应的概念达到一定深度的理解，对相应的技能达到一定的熟练程度，以使以后的教学能建立在这些理解和熟练的基础上。尽管每一标准适用于所有年级，但在各年级阶段和各年级阶段之间的重点有所不同。例如，学前期至二年级，数是应强调的重点。而到了九至十二年级，数的教学就不是重点了。总的教学时数是根据各年级阶段的需要而划分的。例如，在初中，大部分的课时用于代数和几何教学。这十个标准并没有把学校数学课程分成不相干的部分。因为作为一门学科的数学是相互关联的，所以这些标准所描述的内容和过程是相互重叠的综合体。过程体现在内容标准中，同时内容也体现在过程标准中。数学中存在着大量的关联和重叠。例如，数的概念和运算普遍存在于所有的数学领域中。数据分析中的有些内容又可看成度量的一部分。几何随处可见模式和函数关系。在各数学内容中，都要用到推理、证明、问题解决和表征等过程。把数学课程安排成十个标准，只是建议把其看成是包含重要数学内容和过程的连贯组织。根据原则和标准设计课程框架、评估、教材和课堂教学的人们应根据各自的需要决定重点和优先顺序。也可用别的办法来看待和安排数学课程。2.离散数学在哪里？在1989年的学校数学课程与评价标准中，离散数学是九至十二年级中的一个内容标准。在原则和标准中，仍然包括离散数学的主要内容，但并不是作为一个单独的内容标准对待，而是分布在从学前期至十二年级的各标准中。离散数学作为一个广泛应用于商业和工业的当代相当活跃的数学分支，应该是学校数学不可分割的一部分。离散数学的主要内容很自然地融入到了其他的数学分支中。组合（combinatorics）、迭代和递归（interation and recursion）及图论（vertex-edge graphs）这三个离散数学的重要内容被融入到了数学内容标准中。所涉及的概念和思想在学前期至十二年级的课程中逐渐由系统地展开。另外，在九至十二年级中，应涉及到矩阵的知识。组合数学涉及到系统地数数。迭代和递归用于模拟有顺序、有步骤的变化。图论用于建模和解决有关路线、网络和有限元之间的关系等问题。数与运算数与运算标准描述了对数数、数和算术的深刻理解和熟练运算以及对数系及其结果的理解。算术概念和算理是数和运算的组成部分，数的分类和性质也是数和运算的组成部分。数的分类和性质有助于数论的初步认识。这一标准的中心是培养学生的数感(number sense)，就是用100或1/2这样特定的数作参考自然地分解数字的能力，运用从算术运算到问题解决间关系的能力，理解十进制数的能力，估算能力，理解数字含义的能力，以及对数的绝对和相对大小的辨认能力。历史上，无论在美国、加拿大，还是在世界上别的国家，数都被认为是数学课程的基石。这里提到的从学前期至十二年级的数学都扎根在数这块基石上。代数中的解方程原理和数系中的结构特征一致。几何和度量特性是用数学描述的。数据分析的各个层面都涉及到对数的理解和认识。通过问题解决，学生能够探究和巩固对数的理解。儿童最初的数学推理是有关数字方面的，最初的数学表征也可能是数字方面的。研究表明，儿童学习数和运算是个十分复杂的过程。在这些标准中，理解数和运算、发展数感和进行熟练的算术运算是小学数学教育的核心。当学生从学前期至十二年级，学生对数的理解应当更加丰富数是什么？如何用具体事物、数字或在数轴上表征？它们如何彼此相联？数十如何在既有结构又有特性的数系中体现的？怎样用数和运算解决问题？ 理解基本的数字运算个位数的加法和乘法以及相应的减法和除法是关键。计算的熟练程度同样也是关键知道快速准确的计算方法并能有效地应用。用心智策略和打草稿或用纸笔列式运算，特别在数字很大的情况下，来快速得到准确答案，就可能表现出计算的熟练程度。不管用什么具体的方法，学生应该能够解释他们所用的方法，知道有别的方法存在，并明白有效的、准确的、一般化的计算方法的用途。学生也应该能够估计平判断结果的合理性。计算的熟练程度应该随着对数系中算术运算的作用和意义的理解纵向地发展。 作为计算工具，应该在任何适宜的场合允许使用计算器，特别在解答涉及到多且繁杂计算的问题时应允许使用计算器。然而，当教师和学生一起探究算理时，应把计算器放于一边以便着重于算理的理解。计算器是当今社会各层面广泛使用的计算工具，课堂教学中应该反映这一现实。1.理解数、表征数的方法、数量关系以及数系学前期至二年级的儿童对数概念的理解是从数数和学习辨认各组实物的“多少”中发展的。一个关键的观念是一个数能从多方面进行分解和思考。例如，24是两个10加四个1，也是两个12。从原先的吧“10”简单地看成10各一相加转变成把“10”既看成是10各一又看成1个十是学生理解十进制数系结构的第一步。在整个小学阶段，学生能够学习数的分类和特性，比如像哪些数十奇数、偶数、素数、合数和平方数。、除了理解整数以外，还应鼓励儿童在情境中学习常用的分数，比如1/2块饼干、1/8各比萨饼。鼓励儿童把分数看成是一个整体单位或一个集合的一部分。教师应该帮助学生把分数理解成两个数的商。在初中，学生应该巩固对分数概念的理解，这种知识在一定程度上是学习比例的基础。在高中以前，学生对十进小数知识的应用应该达到牢固程度。对数的概念有了深刻的理解，高中学生就能用变量代表数进行符号运算。用具体实物和材料代表数十小学数学教学的主要方法。到初中，学生应该明白一个数能用不同的方法去表征，以使他们知道1/4、25%、0.25是同一个数的不同名称而已。当学生用具体实物或在数轴上表征分数和小数时，当他们在分数和小数间进行等量转换时，他们的理解和推理能力也随之提高。当学生理解了数及其表征，他们就具备了理解数量关系的基础。在三至五年级，学生能学会将分数与1/2这样熟悉的参照分数进行比较。随着他们数感的增强，学生应该能够用数进行推理。例如，“1/2+3/8:”一定小于1，因为每个加数都小于或等于1/2。对六至八年级的初中学生来说，使他们达到能进行分数、小数和百分数的灵活等量转换及用不同的策略比较有理数的大小并进行有理数排序是十分重要的。通过把自然数扩展到整数，初中学生对数的顺序和大小的直觉会更可靠，而且对数系如何扩展有所了解。高中学生能够用变量和函数表示数量关系和考察各类数的特点。尽管九至十二年级的高中课程强调的是数和运算以外的其他数学内容，但高中学生应该从更加全面的角度来理解数系。他们应该了解数系间的不同，并知道从一个数系扩展到另一个数系时，保留了哪些特征，而有失去了哪些特征。2.理解运算的意义及各运算间的联系在小学阶段，学生会遇到整数加减法的各种含义。研究人员和教师已经通过分析学生解答以下简单算术题的方法知道他们是如何理解数字运算的。鲍勃（Bob）得到了2块饼干之后，现在他有5块饼干了。鲍勃在开始时有多少块饼干？为了解答这个问题，有的学生可能用加法，用他们的手指从2数到5。或者有的学生认为这是一个减法题，从而用5-2=3这样的事实去解答这个题。分析这样的思维过程或者意识到7+8与7+7+1是等同的，有助于学生理解运算的意义。这样的分析也有助于教师了解学生的思维。当学前儿童至二年级的学生解决来自周围环境中的问题时，如4个人如何平分一袋葡萄干，学生开始了解乘法和除法的意义。在三至五年级，帮助学生学习整数乘除法的意义是该年级段的重点。创设和利用乘除法的表征方法(像用图或具体实物)，使学生理解运算间的关系。学生应该能够恰当地选择加法、减法、乘法或者除法去解决某一特定的问题。为此，学生必须认识到表面上看似差别很大的问题却可以运用同样的运算，必须知道各种运算是怎样彼此相联的，并且知道会出现什么样的预期结果。六至八年级应强调有理数的运算。当学生在扩展了的数系里运算时，应帮助学生调整对运算的领悟。例如，用一个整数成0到1之间的分数(比如),乘积必然比那个整数小。这正好与他们先前获得的有关整数的乘法经验相反，因为那时乘积总是比任一乘数大。比例的学习是初中阶段课程标准的重点。学生应该能熟练地运用比例进行几组数之间的比较，如下题所示：如果3袋可可粉能跑15杯热巧克力饮料，那么泡60杯热巧克力饮料需要多少袋可可粉？这一水平的学生也应学习正负数运算。在九至十二年级，当学生学习向量和矩阵运算时，他们开始经历到具有新特性和形式的数系。3.熟练地计算并进行合理的估算达到熟练运算的程度需要概念性理解和计算技能间的平衡和联系。一方面，没有理解只靠强化练习获得的计算方法往往会遗忘或记忆不正确。另一方面，理解了算理但运算不熟练会影响问题解决的过程。当学前期至二年级的学生理解了整数和加减法运算后，课堂教学的注意力应集中于整数运算的策略以便他们能灵活熟练地计算。有的学生会提出一些独特的、也很有用的计算策略，教师应把这些策略介绍给班上的所有学生并进行讨论。到二年级末，学生应该掌握简单的加、减综合运算，熟练掌握两位数加法，并了解两位数减法的法则。在三至五年级，当学生学习简单乘除法的综合运算时，他们同时也应该学习能有效、迅速地解决算术问题的算法。这些算法也应能用于较大数目的计算，并不断学习，熟练掌握这些算法。研究人员和有经验的教师都发现，当鼓励小学生学习、记忆、理解和相互评判解决计算问题的策略时，他们能学到许多重要的东西。他们会讨论各种策略在计算中的效率。也会讨论各种策略的概括性：这一策略能用于所有数的计算呢，还是只适用于这两个数的计算？经验表明，提出和讨论各种计算策略可以很自然地引出一些“常规”算法，或使教师能在恰当的时候导入这些“常规”算法。关键是学生必须能进行熟练的数字运算就是他们在对数和运算理解的基础上，掌握有效、准确的算法。掌握“常规”算法是达到能熟练计算的一种手段。有理数概念的学习是三至五年级学生的主要目标。有理数概念能导入分数计算的非正规方法。例如，1/4+1/2这样的分数问题很容易心算，是因为学生能够想象1/2和1/4，或能用像1/4+1/2=1/4+（1/4+1/4）这样的分解法。在这个年级段，学生应该学习和应用小数的计算，但到了六至八年级，学生应熟练地用以分数和小数形式出现的有理数进行运算。在一次全美国范围内的调查中，只有24%的十三岁的学生估计12/13+7/8的和接近于2。大部分学生说12/13+7/8的和接近于1,19或21。这些估计值反映了分数加法中的常见错误和学生缺乏对分数运算的理解。如果学生理解了分数加法并形成了数感，他们就不会出现这样的错误了。在他们理解了整数的含义和表征的同时，他们也应该掌握整数的运算方法。九至十二年级的学生应该熟练地用实数计算，基本掌握向量和矩阵运算，恰当地用现代科技辅助计算。能够熟练地进行计算，在一定程度上意味着明智地选择和适时利用计算工具。教师应当提供机会帮助学生选择心算、笔算、估算或是用计算器算。特定问题和情境以及涉及的数字都会影响学生的选择。涉及的数字是否能使学生心算？问题是否要求学生估算？问题是否要求重复且繁琐的计算？学生应该衡量问题情境决定是否给出估计即可，还是需要精确的答案。充分地利用他们的数感，学生应该能够给出他们做出相应决定的理由。代数代数的历史根源来自研究解方程的一般方法。代数标准强调数量间的关系，包括函数、表征数学关系的关系和分析变化关系。函数关系可用符号表达，这些符号能够简洁地表达复杂的数学观点，有效地分析变量关系。当今，代数的方法和观点有助于研究其他分支的数学。例如，分布和通信网、物理定律、人口模型和统计结果都能用代数中的符号语言表达。另外，代数涉及的抽象结构和应用这些结构原理解决问题都可用符号表达。代数中强调的符号和结构大都建立在学生广泛的数字经验基础上。代数也与几何和数据紧密相联。代数标准中包括的观点是学校数学课程的主要部分，它也有助于统一课程。代数能力，无论对于我们的生活，工作，还是为中学阶段以后的教育作准备，都是十分重要的。所有的学生都应该学习代数。把代数看作是从学前教育就开始的课程内容，教师能帮助学生牢固建立理解和体验代数的基础，从而为初中和高中学习更复杂的代数作准备。例如，系统地学习模式而获得的经验有助于学生理解函数概念。学习数和它的特性而获得的经验为以后学习符号和代数表达式奠定了基础。对数学能用于描述现实情境的认识可以帮助学生开始形成数学建模的观念。人们往往将学校学习的代数与求解复杂方程和简化代数表达式的符号操作等同起来。实际上，代数符号及其运算是历史上杰出的数学成就之一，也是数学学习和研究中的关键。但是，代数不仅仅是简单的符号运算。学生需要理解代数概念、支配符号运算的结构和原理以及符号是怎样用于表达观点和洞察情境的。今天的学生需要学习如何解释现代科技表征的数学，以及如何有效、明智地运用现代科技。通常，学校数学课程要等到初中或高中才明确地包括传统的代数。建议在小学就包括代数，原则和标准有助于计划在中学开设代数课的各种可能。在六至八年级的标准中对代数已有相当重视，并包括比一般初中更多的几何内容，提倡代数和几何的综合。假定到八年级底，已打下了代数的坚实基础，九至十二年级的标准勾画了一个有关代数、几何、数据分析和统计的远大计划，并提倡各观点的综合与关联。1.理解模式、关系以及函数将物体分类和排序的早期经验对儿童来说是既自然又有趣的活动。假定“红蓝蓝”的模式无限地重复，教师可以帮助孩子观察到“红蓝蓝红蓝蓝”接下来仍然是“红蓝蓝”的序列，也可帮助学生预测在此序列中的第十二个十蓝。开始，学生可能只是口头上描述模式的规律，而不是用数学符号。到三至五年级，他们开始用变量和代数表达式描述和扩展模式。到中学的最后几年，学生应该得心应手地用函数概念表达关系。在小学低年级，通过强调模式的后一项是如何由前一项得到的，学生能描述像2、4、6、8这样的模式。在本例中，是通过前一项加2得到此模式的后一项。这就是递归思想的开端，随着年级的升高，学生能够学习用递归来定义和计算序列，像斐波那契序列1,2,3,5,8.在本例中，后一项是前两项之和。递归序列很自然地出现在多种情境中，可用现代科技帮助研究它们。从学前教育升到高中的过程中，应帮助学生学习各种函数。在初中，学生应注重线性函数的学习。高中的学生应学习更多种的函数并了解各类函数的特征。在大学，许多学生把函数仅仅理解为一种规则或公式，就像“给出n,得到2”，在这里n=0,1,2,3.”到了初中，学生应该能够理解表、图、符号等多种函数表征时，他们对函数将会有更全面的理解。2.用代数符号表征和分析数学情境和结构从学前教育到高中，学生逐渐形成对数的性质和理解。当儿童隔着2跳着数数时，会发现这些数的末位是0、2、4、6和8，接下来他们会用这种代数观察继续这一模式。在三至五年级，当学生深入学习整数运算的特征时，会发现通过心算会很容易得到的积。这样做，他们应用了乘法对加法的分配律。有时，几何解释帮助学生对代数的理解远早于学生能进行复杂的代数符号运算。例如，图3.2可能帮助小学高年级的学生猜想到前几个奇数之和等于n2。初中学生能理解图3.2中的图和1+3+5+7=42是怎样相互联系的 。高中学生应该能够用符号表达一般关系，1+3+.+（2n-1）= n2，同时能证明这种一般表达式的正确性。研究表明，学生在理解变量概念时有各种困难，因此随着年级的上升加深学生对变量概念的理解是十分重要的。在小学，学生通常把变量看作是具体数的代表，比如+2=11。之后，他们应明白方程式3x+2=11中的变量x与恒等式中的变量x在用法上是很不同的。而这两种用法与公式中中的r的用法又不同。深刻地理解变量概念需要很长时间，也需要建立在相当多的经验基础上。培养学生的相等观点应是整个课程的重点。小学生所受教育的局限，往往把运算中的等号看作是“做什么”的标志。而实际上他们应把等号看作是均等和平衡的符号。在初中，应培养学生用心算或笔算进行等式变换和解线性方程的技能。高中时，学生应能熟练地用心算或纸笔进行简单的符号运算，或用计算机代数系统进行各种符号运算。如果学生没有牢固的理解作基础，就从事大量的符号运算，那他们只能是机械地操作而已。帮助学生打下有意义的符号运算的基础并非一日之寒，而需要相当长时间。3.用数学模型表征和理解数量关系数学最大的用处在于能为多种现象建立数学模型。各种水平的学生应该有机会用适合自己水平的方式为多种现象建立数学模型。小学低年级的学生能用实物、图和符号为涉及整数加减法的情境建模。当儿童们用数数筹码来表示“李燕有4个苹果，蔡祥有5个”时，他们正在获得建模的初步知识。三至五年级的学生应能用模型进行预测、得出结论或更好地理解涉及数量关系的情境。这样的建模会变得越来越复杂。例如，在求解有关“五味果汁”的问题时，初中学生可能用来描述问题中的关系。在这里P表示五味果汁的杯数，J是果汁的杯数。这一数学模型可用于决定50杯果汁能泡多少杯五味果汁。应用各种类型的函数知识，高中生应该能够建立模型，例如，决定是线性函数还是二次函数能最佳地模拟一个问题情境，并能分析模型而得出有关问题情境的结论。用配有计算机的实验室(收集一个物体运行的速度和距离的设备，并把数据直接输入计算机以作出图、表和方程)，学生能迅速地从物理实验中得到可靠地数据。现代科技使学生为更广泛的有趣问题情境建模。4.分析各种情境中的变化关系理解变化关系是理解函数概念和理解新闻媒体中许多观点的基础。当学生学习导数概念时，他们开始正式地形成微积分中的数学变化关系。研究表明，既使学生学了微积分之后，他们通常对数学变化理解也还比较肤浅。如果从低年级开始就明确地强调变化观点的学习，或许学生会有扎实的基础来学习微积分。学前期至二年级，学生开始能定性地描述变化(“暑假后我长高了”)，接下来是定量地描述变化(去年我长了两英寸)。三至五年级的学生开始能用图和表指出和描述变化关系。例如植物生长的变化特征开始长得慢，接下来长得越来越快，然后是慢下来。当他们遇到序列时，能区分算术级数增长(2,5,8,11,14,)和几何级数增长(2,4,8,16,)。初中学生有了学习线性关系的扎实基础，就应该学习有关斜率是线性函数恒定的变化率。到高中，就要学习变化率不恒定的许多函数。几何通过几何学习，学生将掌握几何图形和结构，以及怎样分析他们的特征和关系。空间想象建立和操纵二维和三维物体的心智表征，及从不同角度观察一个物体的能力，是几何思维的重要方面。几何很自然地有助于培养学生的思维和推理能力，中学阶段是学习证明的重要阶段。几何建模和空间推理为解释和描述外在环境提供了方法，是解决问题的重要工具。几何观念在表征和解答其他数学领域中的问题和现实世界的问题时是非常有用的，因此应尽可能把几何和其他数学内容结合起来。几何表征能有助于学生了解面积和分数，直方图和散布图有助于洞察数据代表的信息，解析几何服务于综合代数和几何。空间推理对于阅读地图、路线计划、平面图设计和艺术构思都是很有帮助的。学生能够学会观察周围的几何结构和对称图。应用具体模型、绘画以及动态几何软件，学生主动地参与几何观念的学习。有了精心设计的数学活动、恰当的工具及教师的辅助，小学低年级的学生就能作出有关几何方面的猜想，并探讨猜想的真实性。几何不仅仅只涉及到一些定义，它是一门有关描述关系和进行推理的学科。随着年级的升高，学生的思维由非正式向正式方向发展，在这一方面的认识是和一些理论工作者和研究者的想法一致的。长时间来，几何一直被当作学校数学课程中学生学习推理和了解公理体系的一门学科。几何标准特别强调用定义和已知事实进行推理和证明能力的培养。现代科技在几何教学中也占有重要地位。像动态几何软件这样的工具使学生能够学习建模，拥有处理大量二维图形的经验。利用现代科技，学生能大量举例以帮助形成和探索猜想，但重要的是他们必须认识到特定现象的大量例子并不是证明。计算机模拟和别的科技设施提供的人机对话，有助于提高学生空间想象能力和推理能力。1.分析二维和三维几何图形的特点与性质，并具有关于几何关系的数学推理能力小学生很自然地倾向于观察和描述各种图形，并开始留意他们的性质。能辨认几何图形的形状固然重要，但更应注意图形的特征和他们之间的关系。例如，学前班到二年级的学生可能会注意到矩形有四个直角，所以矩形形状的瓷砖比较容易铺。这个年龄段的学生能通过看、摸和实际操作实物来学习几何图形的形状。后来，对几何图形的特征和性质的学习就变得抽象了。小学高年级的学生能分析、讨论图形的组成部分，比如边和角，以及各类图形的性质。例如，用实物和动态几何软件考察各种矩形，三至五年级的学生能够做出长方形的对角线相等且互相平分这样的猜想。从初中到高中，当学生学习相似或全等的概念时，他们应学会用演绎推理和较正式的证明方法解决问题、证明猜想。各水平的学生都应能对他们的猜想和解答过程作出令人信服的解释。他们最终应该能够描述、表征和研究一个几何系统内的关系，并逻辑地表述和证明这些关系。他们也应该能够理解定义、公理和定理的作用，并能进行证明。2.用坐标和其他表征系统表明位置和描述空间关系开始，儿童学习相对位置的概念，比如前面、后面、附近和之间等等。后来他们能用方格表明物体的位置，测定在纵线或横线上两点间的距离。当他们解答许多代数和几何问题时，会经历到方格坐标平面的用处。在中学阶段，坐标平面能帮助学生发现和分析图形的特征。在初中阶段，用地图上的比例尺或勾股定理(毕达哥拉斯定理)确定平面上两点间的距离是学生学习的重要内容之一。像初中学习的直线、高中学习的三角形和圆等几何图形能够在平面直角坐标系上表征出来，因此建立了代数和几何间的基本联系。学生应该有机会学习用各种空间的和坐标的方法分析问题和探讨数学。例如，小学时，整数的加法可以在数轴上表示。小学阶段的后期，学生能用数轴表征其他类型数的运算。三至五年级，方格和点阵式能帮助学生理解乘法。其后能考虑更复杂的问题。例如，在试图使一个救护车从社区内的任何位置到一所医院的距离最短时，初中生可能测量沿路的距离。可以让高中生找出两个城市间的最短航空路线，并比较用地图得到的结果和用地球仪得到的结果。他们也许用图论的知识，找到开车旅行几个城市的最短距离。高中学生应能用笛卡尔坐标系解答问题并考证其结果。3.用变换和对称等原理分析数学模型儿童在入学时就有了怎样移动一个几何图形的直观感受。用镜子、折纸和按图描绘等方法，学生能探讨像滑动(slides)、翻转(flips)和反射(tucus)等运动。之后，他们有关变换的知识变得正式和系统。三至五年级的学生能够探讨变换的过程，并开始学习用数学术语描述变换过程。用动态的几何软件，