高考数学必考点解题方法秘籍 二面角与距离 理(1).doc

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：二面角和距离求“二面角”与“点到平面的距离”问题一直是高考命题的热点，而这两方面的题 目又是很多学生感到头痛的。事实上，这两类问题有着较强的相关性，下面给出这两类问题的一个“统一”求解公式，让你一招通解两类问题，定理：如下图，若锐二面角的大小为，点a为平面内一点，若点a到二面角棱cd的距离为，点a到平面的距离ah=d，则有。说明：中含有3个参数，已知其中任意2个可求第3个值。其中是指二面角的大小，d表示点a到平面的距离，m表示点a到二面角棱cd的距离。值得指出的是：可用来求解点到平面的距离，也可用于求解相关的二面角大小问题。其优点在于应用它并不强求作出经过点a的二面角的平面角abh，而只需已知点a到二面角棱的距离，与二面角大小，即可求解点a到平面的距离，或已知两种“距离”即可求二面角的大小。这样便省去了许多作图过程与几何逻辑论证，简缩了解题过程。还要注意，当已知点a到平面的距离d与点a到二面角棱cd的距离m求解二面角的大小时，若所求二面角为锐二面角，则有；若所求二面角为钝二面角，则下面举例说明该公式在解题中的应用。例1. （2004年全国卷i理科20题）如下图，已知四棱锥p-abcd，pbad，侧面pad为边长等于2的正三角形，底面abcd为菱形，侧面pad与底面abcd所成的二面角为120。（1）求点p到平面abcd的距离；（2）求面apb与面cpb所成二面角的大小。分析：如上图，作po平面abcd，垂足为o，即po为点p到平面abcd距离。第（1）问要求解距离po，只需求出点p到二面角p-ad-o的棱ad的距离，及二面角p-ad-o的大小即可。第（2）问要求解二面角a-pb-c的大小，只需求出点c到二面角a-pb-c棱pb的距离及点c到半平面apb的距离即可。解：（1）如上图，取ad的中点e，连结pe。由题意，pead，即。又二面角p-ad-o与二面角p-ad-b互补，所以二面角p-ad-o的大小为60，即。于是由公式知：点p到平面abcd的距离为。（2）设所求二面角a-pb-c的大小为，点c到平面pab的距离为d。连接be，则bead（三垂线定理），ad平面peb，因为adbc，所以bc平面peb，bcpb，即点c到二面角棱pb的距离为2，即m=2。又因为pe=be=，peb=120，所以在peb中，由余弦定理可求得pb=3。取pb的中点f，连结af，因为pa=ab=2，则afpb，所以，即。又易求得，点p到平面abc的距离：。根据等体积法，有，即，所以，代入公式。又由于面pbc面peb，所以所求二面角a-pb-c为钝二面角，所以点评：对于这个高考试题，许多考生反映第（2）问求解困难，失分较为严重。究其原因有二：一是不能正确地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角时存在计算障碍。利用公式求解，省去了许多繁难的作图过程与逻辑论证，其优势显而易见。例2. 已知abcd是边长为4的正方形，e、f分别是ab、ad的中点，gc垂直于abcd所在的平面，且gc=2，求点b到平面efg的距离。分析：欲求点b到平面gef的距离，直接求解较困难。为此我们令平面gef作为某二面角的一个半平面，当然二面角的另一个半平面即为平面bef，为此我们只需找到该二面角的平面角及点b到二面角棱ef的距离即可。解：如下图，过b作bpef，交ef的延长线于p，连结ac交ef于h，连结gh，易证ghc就是二面角g-ef-c的平面角。又，这就是点b到二面角c-ef-g棱ef的距离因为gc=2，所以，gh=，在rtgch中，于是由得所求点b到平面gef的距离：。例3. 已知斜三棱柱abc-a1b1c1的侧面a1acc1与底面abc垂直，abc=90，bc=2，且aa1a1c，aa1=a1c。求顶点c与侧面a1abb1的距离。分析：如下图所示，解答好本题的关键是找到底面abc的垂线a1d，找到了底面的垂线a1d，就可根据三垂线定理，作出侧面a1abb1与底面abc所成二面角的平面角a1de，求出二面角a1-ab-c的平面角大小，就可依据公式找到点d到平面a1abb1的距离d，进而根据d为ac中点，也就不难求出点c到侧面a1abb1的距离。解：如上图，在侧面a1acc1内，作a1dac，垂足为d，因为aa1=a1c，所以d为ac的中点。又因为aa1a1c，a1d=ad=。因为侧面a1acc1底面abc，其交线为ac，所以a1d面abc。过d作deab，垂足为e，连接a1e，则由a1d面abc，得a1eab（三垂线定理），所以a1ed为侧面a1abb1与面abc所成二面角的平面角。由已知，abbc，得edbc，又d是ac的中点，bc=2，所以de=1，故a1ed=60。于是由公式知，点d到侧面a1abb1的距离。又点d为ac的中点，故而点c到侧面a1abb1的距离为点d到侧面a1abb1距离的2倍，于是知点c到侧面a1abb1的距离为。点评：本