高中数学 探究导学课型 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教版必修4.ppt

第二章平面向量2 1平面向量的实际背景及基本概念 自主预习 主题 向量的有关概念阅读下面的物理现象 思考下面的问题 a 民航每天都有从北京飞往上海 广州 重庆 哈尔滨等地的航班 每次飞行都是民航客机的一次位移 由于飞行的距离和方向各不相同 因此 它们是不同的位移 b 汽车向东北方向行驶了60km 行驶速度的大小为120km h 方向是东北 c 起重机吊装物体时 物体既受到竖直向下的重力作用 同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用 1 上述三个实例中涉及哪些物理量 提示 位移 速度 力 2 这些量与我们日常生活中的面积 质量有什么区别 提示 这些量既有大小又有方向 而我们日常生活中的面积 质量只有大小而没有方向 根据以上探究过程 试着总结向量的有关概念 向量的概念 数学中 我们把既有 又有 的量叫做向量 大小 方向 向量的表示法 1 几何表示 用 表示 此时有向线段的方向就是向量的方向 向量的大小就是向量的 或称 如向量的长度记作 有向线段 长度 模 2 字母表示 通常在印刷时 用黑体小写字母a b c 表示向量 书写时 写成带箭头的小写字母 还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示 如以a为起点 以b为终点的向量记为 几种特殊向量 1 零向量 长度为 的向量叫做零向量 记作0 2 单位向量 长度等于 个单位的向量 叫做单位向量 3 相等向量 且 的向量叫做相等向量 0 1 长度相等 方向相同 4 平行向量 共线向量 方向 的 向量叫做平行向量 也叫共线向量 记法 向量a平行于向量b 记作a b 规定 零向量与 平行 相同或相反 非零 任一向量 深度思考 结合教材p76例2你认为应怎样判断两向量是否为相等向量 第一步 第二步 判断两向量方向是否相同 判断两向量的长度 模 是否相等 预习小测 1 下列说法正确的是 a 数量可以比较大小 向量也可以比较大小b 方向不同的向量不能比较大小 但同向的可以比较大小c 向量的大小与方向有关d 向量的模可以比较大小 解析 选d a中不管向量的方向如何 它们都不能比较大小 所以a不正确 由a的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小 所以b不正确 c中向量的大小即向量的模 指的是有向线段的长度 与方向无关 所以c不正确 d中向量的模是一个数量 可以比较大小 所以d正确 2 如图 在四边形abcd中 若则图中相等的向量是 解析 选d 因为所以四边形abcd是平行四边形 所以ac bd互相平分 所以 3 下面物理量是向量的有 填序号 密度 功率 面积 浮力 速度 解析 根据向量是既有大小又有方向的量可得浮力 速度为向量 答案 4 如图 四边形abcd和abde都是平行四边形 则与相等的向量有 与共线的向量有 解析 在平行四边形abcd和abde中 因为所以与相等的向量为由图知与向量共线的向量有答案 5 如图 在 abc中 若de bc 则图中所示向量中是共线向量的有 解析 观察图形 并结合共线向量的定义可得解 答案 备选训练 在四边形abcd中 且试判断四边形abcd的形状 解析 因为且所以ab dc 但ab dc 所以四边形abcd是梯形 互动探究 1 两个向量能比较大小吗 提示 向量有方向 大小双重性 而方向是不能比较大小的 因此向量不能比较大小 2 单位向量都相等吗 提示 不相等 单位向量只是长度为1的向量 其方向是任意的 所以单位向量只是长度相同 方向不一定相同 3 若a b 则a与b的方向一定相同或相反吗 提示 当a或b不为零向量时 若a b 则a与b的方向一定相同或相反 当a b中至少有一个是零向量时 该说法则不成立 4 两个向量相等 则这两个向量的起点和终点一定相同吗 提示 两个向量相等 则只需方向相同 大小相等即可 与起点和终点没有关系 5 若非零向量那直线ab cd吗 提示 不一定 ab与cd可能平行 也可能重合 拓展延伸 向量与有向线段的区别 1 向量只有大小和方向两个要素 与起点无关 只要大小和方向相同 这两个向量就是相等的向量 2 有向线段是表示向量的工具 它有起点 大小和方向三个要素 起点不同 尽管大小和方向相同 也是不同的有向线段 探究总结 知识归纳 方法总结 用有向线段表示向量的方法 1 用有向线段表示向量时 先确定起点 再确定方向 最后依据向量模的大小确定向量的终点 2 必要时 需依据直角三角形知识求出向量的方向 即夹角 或长度 即模 选择合适的比例关系作出向量 题型探究 类型一 向量及有关概念 典例1 1 在下列判断中 正确的是 长度为0的向量都是零向量 零向量没有方向 单位向量的长度都相等 单位向量都是相等向量 任意向量与零向量都共线 a b c d 2 下列各组是不是向量 如果是向量 说明这些向量之间有什么关系 两个三角形的面积s1 s2 桌面上两个物体各自受到的重力g1 g2 小船驶向对岸的速度v1与水流速度v2 解题指南 1 根据向量的有关概念 对每一说法进行判断 2 抓住向量的两大特征 方向和大小来判断 解析 1 选d 由定义知 正确 零向量的方向是任意的 但不能说零向量没有方向 故不正确 显然 正确 不正确 所以答案是d 2 面积只有大小 没有方向 故不是向量 重力g1 g2既有大小又有方向 故是向量 并且两向量方向相同 所以为共线向量 速度既有大小 又有方向 故是向量 因为两向量方向既不相同也不相反 故不是共线向量 规律总结 解决向量有关概念问题的方法 1 熟悉一些常见物理量是否为向量 2 准确 全面理解向量的有关概念 明确零向量和单位向量 注意相等向量 共线向量 平行向量之间的区别和联系 巩固训练 判断下列命题是否正确 并说明理由 若a b 则a一定不与b共线 若则a b c d四点是平行四边形的四个顶点 在平行四边形abcd中 一定有 若向量a与任一向量b平行 则a 0 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 解析 两个向量不相等 可能是长度不同 方向可以相同或相反 所以a与b有共线的可能 故 不正确 a b c d四点可能在同一条直线上 故 不正确 在平行四边形abcd中 平行且方向相同 故 正确 零向量的方向是任 意的 与任一向量平行 正确 a b 则 a b 且a与b方向相同 b c 则 b c 且b与c方向相同 则a与c方向相同且模相等 故a c 正确 若b 0 由于a的方向与c的方向都是任意的 a c可能不成立 b 0时 a c成立 故 不正确 类型二 共线向量与相等向量 典例2 1 如图 d e f分别是正三角形abc各边的中点 图中所示向量中与向量相等的向量为 图中所示向量中与向量共线的向量为 2 如图 在 abc中 点d e分别是边ab ac的中点 f g分别是ab ac上的点 且af ab 1 4 ag gc 1 3 求证 向量共线 解题指南 1 根据相等向量 共线向量的定义以及题设中的几何图形解答 2 由af ab 1 4 可得af fb 1 3 又ag gc 1 3 所以af fb ag gc 所以fg bc 解析 1 与向量相等的向量有 与向量共线的向量有 答案 2 因为点d e分别是边ab ac的中点 所以de是 abc的中位线 从而de bc 又因为af ab 1 4 所以af fb 1 3 又ag gc 1 3 所以af fb ag gc 所以fg bc 由 可知 de fg 所以向量共线 延伸探究 1 本例 1 条件不变试写出与向量相等的向量 解析 与向量相等的向量有 2 本例 1 中的图形若换为试写出与相等的向量 其中四边形bcmf为平行四边形 且d e f分别为 abc三边的中点 解析 与相等的向量有 规律总结 1 寻找共线向量或相等向量的方法 1 寻找共线向量 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段 再构造同向与反向的向量 注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点 起点为终点的向量 2 寻找相等向量 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量 再确定哪些是同向共线 2 利用向量相等或共线证明平行 相等问题 1 证明线段相等 只需证明相应向量的长度 模 相等 2 证明线段平行 先证明相应的向量共线 再说明线段不共线 补偿训练 如图 点o是正方形abcd对角线的交点 四边形oaed ocfb都是正方形 在图中所示的向量中分别写出 1 与相等的向量 2 写出与共线的向量 解析 1 2 与共线的向量为 类型三 向量的表示 典例3 某人从a点出发向东走了5米到达b点 然后改变方向按东北方向走了米到达c点 到达c点后又改变方向向西走了10米到达d点 1 作出向量 2 求的模 解题指南 1 首先选定单位长度 然后根据行走的路程和方向作出所求向量 2 在rt bcd中 由勾股定理先求出bd 然后在rt abd中再利用勾股定理即可求出 解析 1 作出向量如图所示 2 由题意得 bcd是直角三角形 其中 bdc 90 bc 米 cd 10米 所以bd 10米 abd是直角三角形 其中 abd 90 ab 5米 bd 10米 所以ad 米 所以米 规律总结 用有向线段表示向量的步骤及注意事项 1 步骤 定起点 先确定向量的起点 定方向 再确定向量的方向 定终点 根据向量的长度确定向量的终点 2 注意事项 有向线段书写时要注意起点和终点的不同 字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头 巩固训练 已知飞机从a地按北偏东30 的方向飞行2000km到达b地 再从b地按南偏东30 的方向飞行2000km到达c地 再从c地按西南方向飞行1000km到达d地 1 作出向量 2 问d地在a地的什么方向 d地距a地多远 解题指南 1 首先选定单位长度 然后根据飞行的距离和方向作出所求向量 2 通过解三角形 确定两地的位置和距离 解析 1 由题意 作出向量如图所示 2 依题意知 三角形abc为正三角形 所以ac 2000km 又因为 acd 45 cd 1000 所以 acd为等腰直角三角形 即ad 1000km cad 45 所以d地在a地的东南方向 距a地1000km 拓展类型 向量在几何中的应用 典例 1 若且则四边形abcd的形状为 a 平行四边形b 矩形c 菱形d 等腰梯形 2 在四边形abcd中 n m是ad bc上的点 且dn mb 求证 解题指南 1 根据得邻边相等 由得四边形为平行四边形 故可得四边形为菱形 2 只需判断模相等 且方向相同即可 解析 1 选