高等数学中函数恒等变形的几个问题.pdf

J L C j 同等数学中函数恒等变形的几个问题 李志林 西安航空职业技术学院基础部 摘耍本文圭苦合高等教学教学实际 介绍了教学中函敦恒等变形的概念及其几个问题 对学生学习高等教学有一定的帮助 关键词高等教学函教恒等变形特点应用 函数的恒等变形在 高等数学 学习中 特别是在高等数学的计 算方面有着重要且广泛的应用 可以说是贯穿始终 掌握好函数的恒 等变形 是高等数学解题的基本技巧和基本功 那么 什么是函数的 恒等变形 函数的恒等变形有何性质 高等数学中函数的恒等变形有 什么特点 规律 重要性等 有必要加以专门研究 1 函数恒等变形的概念及特点 函数的恒等变形是指函数由一种形式变为另一种形式 而对自变 量定义域或定义域的一部分所取的任 值 变换前后的函数值保持相 等的一种变换 即函数的恒等变形其实质只是一种等值的变形 初中 数学中代数式的四则运算及性质 对数的运算法则 对数恒等式 高 中数学中所有的三角公式 诱导公式 同角三角函数基本关系式 两 角和 差 倍角 半角 和差化积 积化和差公式 都可看作函 数的恒等变形 就是说 函数的恒等变形其实在初等数学中就接触过 了 并且作了大量练习 不过在初等数学中不叫函数的恒等变形 而 叫代数式或三角式 都可看作函数式 的计算或化简 但是 必须注意的是经过恒等变形的函数 并不一定是相同的函 数 这是因为确定函数有两个要素 定义域D 与对应关系L 只有定义 域D 与对应关系盼别相同的两个函数 才是相同的函数 而函数经过 恒等变形后定义域D 与对应关系睹隋可能发生改变 因而就不一定是 相同的函数 例l 当x 1 时 碧 z 1 是函数的恒等变形 但J 等与 y x I 是不同的函数 这是因为二者的定义域D 不同 例2 7 是函数的恒等变形 但y x 与y 以2 是不同的函数 这是因为二者对应关系f 不同 事实上y 仃爿z I 二 2 函数恒等变形在高等数学计算中有重要的作用 在 高等数学 的学习中 无论是求极限 求导数 求积分的计 算 往往都离不开函数的恒等变形 往往都要将函数先进行恒等变 形 然后再根据公式 法则进行运算 这是因为函数经过恒等变形 后 虽然函数可能不同了 但变形前后函数的极限 导数 积分却是 相等的 有时虽然可以直接运算 但是若先将函数作恒等变形 往往 能使运算简便 例3 求极限I 昀L 分析 因为分母的极限为0 故不能用商的极限法则 需要先将 函数进行恒等变形 然后求之 解 一 2 时 等 2 烛等2 烛 2 叫 例4 设 二 求导数 分析 若直接用商的法则求导 显然较繁 而若先将函数变形为 积的形式再求导 则简单些 若先将函数变形为和的形式再求导 则 更简单些 解l y J I J1 其0y 7 J 1 7 工2 工 l x J y J2 工 l 一 r2 三一唧 粤 五一i 万一i 万 解2 J 5 J 3 J 2 J 乒t 0 三一一三 上一上 粤 22 2 4 x2 x l x2 x d x 例5 求积分 f 南出 分析 因为没有商的积分法则 故不能直接积分 需要先将披积 函数作恒等变形 假分式化成真分式 然后再用基本公式及运算法 则直接积分 解 南以一 南则砖出 灿击冲 3 一 X c 3函数恒等变形在高等数学及初等数学中的特点 初等数学中 函数的恒等变形主要表现为函数的化简 由繁变 简 而高等数学中 函数的恒等变形往往是要把函数变形为某一需 要的形式 由简化繁 这里主要是为了便于利用公式 法则 从而 更方便地求出极限 导数或积分 这就是高等数学中应用函数的恒等 变形的特点 例6 求极限 i r a 关 当 分析 因为分子 分母的极限均为一 不存在 故不能用商的 极限法则 需要先将函数进行恒等变形 由简分式化为繁分式 再 用商的极限法则求之 解 而2 x 3 x l 篷删磐丽2 x 3 x l 姆爱 弓 例7 求极限 l i r a L 严t 分析 这是l 型极限 要用重要极限公式l i m O 与k 一来求解 为此 须先将函数变形为 1 与 的形式 解 勺2 l I 厂f 于是 g 式 m l I 三了 I I Iu m 1 三了 I f 2 例8 求积分 J 石j 萨 分析 由于不能直接用基本积分公式 这里要对被积函数进行一 个与分式加减相反的变形一 化为部分分式 然后再用积分公式及法 则进行积分 解 赤 1 一击 原菇畦一击坶 肛一J 舟山 叫I l i l n l 击 c 4函数恒等变形是高等数学学习中的一个难点 虽然函数的恒等变形学生在初等数学中曾学习过 但是初等数学 中函数恒等变形的主要目的是化简函数 目的明确 而高等数学中 函数的恒等变形目的一般都是化为需要的形式 目的并不十分明 确 另外 因为学生习惯了初等数学中的化简变形 而不太习惯为 了某一形式而作与此相反的变形 也就是说只形成了单项思维的惯 性 而不习惯逆项思维 于是这就成了学生在 高等数学 学习中的 一个难点 实际上 学生往往感到这门课程好象并不难 课堂上都能 听懂 但就是课后作习题比较难 笔者在多年的教学中也深切感受到 这一点 学生并不是不能掌握高等数学的运算公式和法则 而是在作 题时难于顺利进行函数的恒等变形 由于函数的恒等变形在高等数学学习中被广泛地应用 并且所使 用的变形有其一定的特点 往往与初等数学中的化简相反 而且是 学生学习 的 个难点 所以在教学中 老师要重视对学 生进行函数恒等变形的专门讲解和训练 在教学 求极限 时 就要 给学生讲清高等数学中函数恒等变形的特点及目的 方法 培养学生 逆项思维的能力和习惯 这是突破高等数学学习难点的重要一环 对 万方数据 谈专业视唱练耳教学中的 吴萌 河南濮阳职业技术学院 几点体会 摘要在音乐专业教学中 视唱练耳是一门重要的基础技能理论课 从内容上讲 它主要通过视唱和音乐听记束训练学生的音乐 听觉 发展音乐思雏能力 培养音乐感受力 积累音乐的感性体验 退步提高学生对音乐的认知程度 从而更好地为音乐实践服务 关键词视唱练耳教学 视唱练耳课作为基本乐科的重要组成部分 有很强的技术性和艺 术性 这门课学习质量的高低 很大程度地影响学习者的音乐素质修 养 从视唱鼻祖中世纪音乐理论家圭多对唱名和记谱的初步理论统 一 到今天多媒体在视唱练耳教学运用的不断探索 视唱练耳经历了 大约 千多年的历史发展和沉淀 在这漫长的年代中 它没有像其他 学科那样留下大量传世的书籍和资料 而是在一步一步坚实缓慢地发 展着 它的存在为人们提供了走进音乐殿堂的捷径 同时也为普及和 提高人们的音乐素养打下了坚实的基础 作为一门工具学科 它的重要性可想而知 因此 当今的音乐教 育已经将视唱练耳列为音乐专业的必修课程 社会也在不同的层面加 大了对它的重视程度 但它不是 f l 可以直接面对舞台的表演学科 它的深远意义并不在于朝夕变化的文化潮流 它从产生之日起 就旨在 为音乐的传播提供更方便 统一的条件以建立更通俗易懂的音乐媒 介 在专业音乐教育中 视唱练耳教学担负着更为深远的责任 1 影响视唱练耳发展的主观因素 1 学生对视唱练耳课重视程度不够 视唱练耳课主要包括两 个部分 视唱和音乐听记 视唱是借助于视觉进行视谱的 但更重要 的是凭借内心听觉将乐谱中的内容通过人声加以实现 笔者在进行视 唱练耳的教学中发现 有的学生没有重视视唱练耳 是因为五线谱的 识潜能力或者音准程度较差 对自己失去信心而不去练习 但大多数 学生都是因为在课下时间很少进行练习 就是练习的少数学生也只是 唱几趟就觉得可以了 而没有像教师要求的那样边弹钢琴边唱视唱 导致弹钢琴 唱视唱 练听音严重脱节 在实际的学习中 学生们往 往只是一味的反复模仿 课程的单调性不仅使他们的学习态度产生改 变 而且他们对这门课的真正意义也发生了本末倒置的情况 音乐听 记在视唱练耳中直接担负着音乐听觉的任务 是对学生进行音乐综合 能力训练的重要形式 因此 加强学生对视唱练耳课的全面认识 端 正学生的学习态度 音乐听记与其他音乐理论课有着密切的联系 学 生们没有了解视唱练耳课的特殊性和关联性 单纯地认为视唱就是唱 谱 听记就是记谱 没有什么难的 临时抱佛脚就行 却不知视唱练 耳就像英语听力一样 是 个逐渐积累的过程 想在短时问内出成绩 是不现实的 2 学生对情感的忽视 学生在老师的要求下总是比较特别注 意音准 节奏节拍等基本要素而忽视了对音乐情感的表现 视唱练耳 课虽是一门以技术训练为主的课程 但它并不是单纯的技术重复 而 是艺术化的教学活动 但这一艺术目的在学生中并没有引起重视 因 此 教师应进行艺术化的说唱练耳教学 全面分析和深刻认识音乐情 感在教学中的发展和特征 让音乐情感贯穿教学过程 注重对学生乐 感的培养 视唱练耳教学中培养学生的乐感非常重要 以视唱教学为 例 其主要方法有 一是在教学中要求学生有表情地视唱 这是因为 教材中所选的视唱曲且大多是中外优秀音乐作品 通过有表情的视 唱 既能对音乐的各要素进一步了解 又能积累一些音乐语汇 二是 要做到有表情的视唱 就要注意音乐中的各种表情记号 不能仅将视 唱作为一种培养学生识谱能力的手段 音乐中的乐句划分 旋律的强 弱以及节拍的律动 表情的运用等邪要在视唱中体现出来 2影响视唱练耳发展的客观因素 1 配套设施不完善 缺少课堂辅助媒介 奥尔夫的教学 有 各武乐器为辅助 达尔克罗兹的音乐课 有体态律动的自由 而学生 在上祝唱练耳课的时候 一直在接受老师的教授 对于错误的东西 也是听从老师建议加以改善 对于 H 对个人能力水平要求极高的学 科 光靠这些是远远不够的 能否找到一些适应不同专业学生实践的 媒介 以获得自我改善 自我指导 是一项有着现实意义的课题 教 学条件相对薄弱 相对于其他学科大量辅助性教学指导教材和各种渠 道的同步性教学环境的改进 视唱练耳学科在专业教育中所获得的待 遇是远远不能满足它本身的需求的 我们知道 要想拥有敏感的音乐 耳朵 必须经过几百万 几千万次标准乐音的锤炼 要有系统的完善 的指导方法 比如 由于钢琴没有及时调律会频繁跑律 以至于学生 上课时没有得到标准的音感概念 造成错误的音乐听觉 再有 视唱练 耳教材大都是 东拼西凑 没有适合自己的统一的教材 视唱内容 偏多 理论分析偏少 这使得教学在一定程度上产生盲目性 缺少科 学性 造成一定程度的知识滞待 2 教学体系陈旧 视唱练耳课存在的一些问题致使其教学变 成被动 繁琐的模式 首先 授课对象没有针对性 大多数高师视唱 教学是采用班级授课制 人数基本超过3 0 人 甚至更多 而对于教学 对象 基本没有按照能力水平的高低进行区分 这就使学生出现了程 度参差不齐的局面 鉴于先天条件和后天积累对视唱练耳学科所起的 作用 学生在高校学习视唱练耳阶段基本上不会有突破性的质的飞 跃 这就使能力基础差的学生与条件紊质高的学生在课堂反馈上有很 大的差异 久而久之 基础差的学生会觉得相形见绌 对课程产生厌倦 的心理 因此 因材施教 分门别类地规划教学 是提高教学质量的 重要前提 其次 教学模式老化使教学内容得不到及时的更新 除了 少数院校的视唱练耳课能够运用多媒体教学外 大多数院校还是采用 老的钢琴 黑板模式 除了听琴声 就是随琴唱 教学的内容也是延 续旧的教学套路 没有更标新立异的实践改革 厌烦是许多学生深感 学习无趣的导火线 在变革中寻求发展 更新内容 才是学科持续性 的根本保证 3 绪语 由于视唱练耳课在整个专业音乐教育专业中处于非常重要的主干 课程的位置 这对承担本课程教学的教师就提出了更高的业务素质要 求 只有在教学中注重成人学生已有的感性经验 从视听两方面加以 科学的整理 才能使学生具备过硬的基本技能和创新能力 为学生其 后的专业学习和全面发展提供广阔的天地 真正发挥视唱练耳教学基 础课的基础功能 参考文献 1 王次沼主缡 音乐蔓学 M 高等教育出版社 1 9 9 4 2 石辟著 视唱练耳与音乐审芙情感I M J 作家出版社 2 0 0 2 6 3 陈玉香著 南者音乐强化训练视唱练耳卷 M 湖南文艺出版杜 2 0 0 4 1 0 作者简介关萌 1 9 8 0 女 助讲 从事鲞础理论专业教学 收稿日期 2 0 0 9 0 2 1 2 于提高学生对 这f l i 果程的学习兴趣 提升高等数学教学 2 王学理 高等教学考研题典 M 沈阳 东北大学出版社 2 0 0 2 质量具有重要意义 3 J 刘玉建 敷学分析讲义练习题选 f M 北京 高等教育出版 社 1 9 9 6 参考文献 1 同济大学应用敷季系 高等教学 上 下 f M 北京 高等教 育出版社 2 0 0 2 7 阳华东师苊大学教学系 数学分析 上井 M 北京 高等曩育 出版社 1 9 8 1 作者简介李志林 1 9 5 6 制教授 主要从事数学基础教擘研 究 收捣日期 2 0 0 9 0 2 I I 万方数据 高等数学中函数恒等变形的几个问题高等数学中函数恒等变形的几个问题 作者 李志林 作者单位 西安航空职业技术学院基础部 刊名 内江科技 英文刊名 NEIJIANG KEJI 年 卷 期 2009 30 4 被引用次数 0次 参考文献 4条 参考文献 4条 1 同济大学应用敷季系 高等教学 上 下 2002 2 王学理 高等教学考研题典 2002 3 刘玉建 数学分析讲义练习题选解 1996 4 华东师范大学数学系 教学分析 1981 相似文献 1条 相似文献 1条 1