中考复习圆专题含答案.doc

中考专题复习 圆 一 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对 的两条弧 转为几何语言 CD是直径 CD AB AM BM AC BC AD BD 如果把条件和结论看成是5个条件 相互间是否还有其它关系呢 如图 在下列五个条件中 CD是直径 CD AB AM BM AC BC AD BD 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论 你可以写出相应的命题吗 条件结论命 题 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平 分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的 另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平 分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 o s up1 垂径定理是 圆 这一章的重要内容 在实际生活中有着广泛的应用 在各地中 考题中对垂径定理的考查频频出现 这类问题常常需要结合勾股定理来解决 现以中 考题为例说明如下 类型一 求直径 例1 如图 O 的直径AB垂直弦CD于点P 且点P是半径OB的中点 6 cmCD 则直径AB的长是 A 2 3 cm B 3 2 cm C 4 2 cm D 4 3 cm 解析 解决本题的关键是构造直角三角形 根据勾股定理列出方程求解即可 连接OD 由垂径定理可知PD 36 2 1 2 1 CD cm 设半径OD x cm 则OP xOB 2 1 2 1 cm 在Rt OPD中 因为 222 OPDPOD 所以 2 22 1 3 2 xx 解这个方程 得2 3x 所以直径AB的长为342 x cm 故应选D 类型二 求弦长 例2 如图 ABO是 的直径 弦CDAB 于点E 60COB O的半 径为3 cm 则弦CD的长为 A 3 cm 2 B 3 cm C 2 3 cm D 9 cm 解析 因为60COB CDAB 所以 CEO 90 OCD 30 又因为 O的半径为3 cm 所以OE 1 2 OC 3 cm 2 由勾股定理可得 2 222 33 3 22 CEOCOE 所以CD 2CE 3 cm 故应选B 类型三 求弦心距 例3 O的半径为10 cm 弦AB 12 cm 则圆心到弦AB的距离为 A 2 cm B 6 cm C 8 cm D 10 cm 解析 画出示意图如图 作OCAB 于点C 连接OA 由垂径定理 得AC 11 126 22 AB 在Rt AOC中 由勾股定理 得OC 2222 1068OAAC cm 故应选C 类型四 求拱高 例4 如图 某公园的一座石拱桥是圆弧形 劣弧 其跨度为24米 拱的半径 为13米 则拱高为 A 5米 B 8米 C 7米 D 53米 解析 设石拱桥圆弧的圆心为O 连接OA OD 则OD AB 又因为OA 13 由垂径定理可得AD 11 2412 22 AB 所以在Rt AOD中 OD 2222 13125OAAD 所以CD OC OD 13 5 8 米 故应选B 类型五类型五 探究线段的最小值探究线段的最小值 例5 如图 O的半径5 cmOA 弦8 cmAB 点P为弦AB上一动点 则 点P到圆心O的最短距离是 cm 解析 因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 所以需作出弦AB的弦心距 过点O作OC AB C为垂足 由垂径定理 知AC 11 84 22 AB cm 在Rt AOC中 由勾股定理可得OC 2222 543OAAC 故点P到圆心O的最短距离为3 cm 二 圆周角定理及推论 圆周角 解题技巧 在数学里 把一个对象转化为另一个对象 常常可以化繁为简 化未知为已知 从而达到解决问题的目的 这种思考问题的方法 就是 转化 在研究与圆周角有 关的问题时 常进行等角间的转化 例1 如图 已知AB为 O的直径 CD是弦 且AB CD于点E 连接AC OC BC 1 求证 ACO BCD 2 若EB 8 cm CD 24 cm 求 O的直径 分析 1 欲证 ACO BCD 关键是进行等角间的转化 ACO OAC B CD OAC 转化的依据是等腰三角形的性质定理和圆周角的 等弧所对的圆周角相等 2 借助勾股定理构建方程即可求得 O的直径 解 1 AB为 O的直径 CD是弦 且AB CD于点E CE ED CB DB BCD BAC OA OC OAC OCA ACO BCD 2 设 O的半径为R cm 则OE OB EB R 8 CE 2 1 CD 2 1 24 12 在Rt CEO中 由勾股定理可得OC2 OE2 CE2 即R2 R 8 2 122 解得R 13 所以2R 2 13 26 例2 如图 四边形ABCD内接于圆 对角线AC与BD相交于点E F在AC上 AB AD BFC BAD 2 DFC 求证 1 CD DF 2 BC 2CD 分析 1 欲证CD DF 可转化为证明 FCD CFD 90 由圆周角的性质有 FCD ABD 再联系条件 BAD 2 CFD 不难向等腰 ABD的内角和定理进行联想 从而找到解题的切入点 2 欲证BC 2CD 现在还有一个条件 BFC BAD没有用 注意到 BFC ABF BAC BAD CAD BAC 从而有 ABF CAD 而 CAD CBD 故 ABF CBD 即 ABD FBC 而 ABD ADB FCB 从而 FBC FCB 于是得FB FC 思考到这里 不妨再回头看看证题目标BC 2C D 可考虑取BC的中点G 于是问题转化为证明CG CD 即证 FGC FDC 证明 1 AB AD ABD ADB 在 ABD中 BAD 2 ABD 180 又 BAD 2 DFC FCD ABD 2 DFC 2 FCD 180 DFC FCD 90 FDC 90 CD DF 2 BFC ABF BAC BAD CAD BAC ABF CAD 又 CAD CBD ABF CBD 即 ABD FBC 而 ABD ADB FCB FBC FCB FB FC 取BC的中点G 连接FG FG BC FGC 90 AB AD ACB ACD AB AD FGC FDC 90 FC FC FGC FDC CG CD BC 2CG BC 2CD 三 切线及切线长定理 怎样证明直线与圆相切 怎样证明直线与圆相切 在直线与圆的各种位置关系中 相切是一种重要的位置关系 现介绍以下三种判别直线与圆相切的基本方法 1 利用切线的定义 在已知条件中有 半径与一条直线交于该半径的外端 于是只需直接证明这条直线垂直 于这个半径即可 例例1 已知 ABC内接于 O O的直径AE交BC于F点 点P在BC的延长线上 且 CAP ABC 求证 PA是 O的切线 P F E O CB A 证明证明 连接EC AE是 O的直径 ACE 90 E EAC 90 E B B CAP E CAP EAC CAP EAC E 90 EAP 90 PA OA 又PA经过点A PA是 O的切线 2 利用切线的判定定理 在已知条件中 有 一条直线过圆上某一点 即为切点 但没有半径 于是先连接圆 心与这个点成为半径 然后再证明这条直线和这条半径垂直 例例2 以Rt ABC的直角边BC为直径作 O交斜边AB于点P 点Q为AC的中点 求证 PQ为 O的切线 4 3 2 1 O Q P CA B 证明证明 连接OP CP BC为直径 BPC 90 即 APC 90 又点Q为AC的中点 QP QC 1 2 又OP OC 3 4 又 ACB 90 2 4 1 3 ACB 90 OPQ 90 点P在 O上 且点P为半径OP的端点 QP为 O的切线 说明 要证PQ与半径垂直 即连接OP 这是判别相切中添加辅助线的常用方法 3 证明 d R 在已知条件中 没有半径 也没有明确直线与圆的公共交点 于是过圆心作直线的垂线 然后再证明这条垂线段的长 d 等于圆的半径 R 即可 例例3 已知 在 ABC中 AD BC于点D 且AD 1 2BC 点E F分别为AB AC的 中点 点O为EF的中点 M DH O F E C B A 求证 以EF为直径的圆与BC相切 证明证明 作OH BC于点H 设AD与EF交于点M 点E F分别为AB AC的中点 EF 1 2BC 点M也是AD的中点 即MD 1 2AD 又AD 1 2BC EF AD MD 1 2EF 又AD BC OH MD 四边形OHDM是矩形 OH MD 1 2EF OH是 O的半径 以EF为直径的圆与BC相切 与 切线长定理 相关的中考压轴题 1 已知 以Rt ABC的直角边AB为直径作 O 与斜边AC交于点D 过点D作 O 的切线交BC边于点E 1 如图 求证 EB EC ED 2 试问在线段DC上是否存在点F 满足BC2 4DF DC 若存在 作出点F 并 予以证明 若不存在 请说明理由 分析 1 连接BD 已知ED EB都是 O的切线 由切线长定理可证得OE垂直 平分BD 而BD AC 圆周角定理 则OE AC 由于O是AB的中点 可证得OE是 ABC的中位线 即E是BC中点 那么Rt BDC中 DE就是斜边BC的中线 由此可证 得所求的结论 2 由 1 知 BC 2BE 2DE 则所求的比例关系式可转化为 DF DC 2 2 BC 即DE2 DF DC 那么只需作出与 DEC相似的 DFE即可 这两个三角形的公共角 为 CDE 只需作出 DEF C即可 DEC C 即180 2 C C 0 C 60 时 DEF的EF边与线段CD相交 那么交点即为所求的F 点 DEC C 即180 2 C C C 60 时 F与C点重合 F点仍在线段CD上 此种情况也成立 DEC C 即180 2 C C 60 C 90 时 DEF的EF边与线段的延长线相交 与线段CD没有 交点 所以在这种情况下不存在符合条件的F点 解 1 证明 连接BD 由于ED EB是 O的切线 由切线长定理 得 ED EB DEO BEO OE垂直平分BD 又 AB是 O的直径 AD BD AD OE 即OE AC 又O为AB的中点 OE为 ABC的中位线 BE EC EB EC ED 2 解 在 DEC中 由于ED EC C CDE DEC 180 2 C 当 DEC C时 有180 2 C C 即0 C 60 时 在线段DC上存在点F满足条件 在 DEC内 以ED为一边 作 DEF 使 DEF C 且EF交DC于点F 则点F 即为所求 这是因为 在 DCE和 DEF中 CDE EDF C DEF DEF DCE DE2 DF DC 即 DF DC 2 1 2 BC BC2 4DF DC 当 DEC C时 DEC为等边三角形 即 DEC C 60 此时 C点即为满足条件的F点 于是 DF DC DE 仍有BC2 4DE2 4DF DC 当 DEC C时 即180 2 C C 60 C 90 所作的 DEF DE C 此时点 F在DC的延长线上 故线段DC上不存在满足条件的点F 点评 此题主要考查了直角三角形的性质 切线长定理 三角形中位线定理及相 似三角形的判定和性质 2 题一定要注意 线段DC上是否存在点F 的条件 以免造 成多解 2 如图所示 在梯形ABCD中 AD BC AB BC 以AB为直径的 O与DC相切 于E 已知AB 8 边BC比AD大6 1 求边AD BC的长 2 在直径AB上是否存在一动点P 使以A D P为顶点的三角形与 BCP相似 若存在 求出AP的长 若不存在 请说明理由 分析 过D作DF BC于F 设AD x 则DE AD x EC BC x 6 根据勾股定理就 得到一个关于x的方程 就可以解得AD的长 ADP和 BCP相似 有 ADP BCP 和 ADP BPC两种情况进行讨论 根据相似三角形的对应边的比相等 就可以求出 AP的长 解 1 方法1 过D作DF BC于F 在Rt DFC中 DF AB 8 FC BC AD 6 DC2 62 82 100 即DC 10 设AD x 则DE AD x EC BC x 6 x x 6 10 x 2 AD 2 BC 2 6 8 方法2 连OD OE OC 由切线长定理可知 DOC 90 AD DE CB CE 设AD x 则BC x 6 由射影定理可得 OE2 DE EC 即 x x 6 16 解得x1 2 x2 8 舍去 AD 2 BC 2 6 8 2 存在符合条件的P点 设AP y 则BP 8 y ADP与 BCP相似 有两种情况 ADP BCP时 有 即 y ADAP BCPB 2 88 y y 8 5 ADP BPC时 有 即 y 4 ADAP BPBC 2 88 y y 故存在符合条件的点P 此时AP 或4 8 5 点评 本题主要考查了相似三角形的判定性质 对应边的比相等的两三角形相似 3 如图 已知AB为 O的直径 PA PC是 O的切线 A C为切点 BAC 30 求 P的大小 若AB 2 求PA的长 结果保留根号 分析 根据切线的性质及切线长定理可证明 PAC为等边三角形 则 P的 大小可求 由 知PA PC 在Rt ACB中 利用30 的特殊角度可求得AC的长 解 PA是 O的切线 AB为 O的直径 PA AB BAP 90 BAC 30 CAP 90 BAC 60 又 PA PC切 O于点A C PA PC PAC为等边三角形 P 60 如图 连接BC 则 ACB 90 在Rt ACB中 AB 2 BAC 30 cos BAC AC AB cos BAC 2cos30 AC AB 3 PAC为等边三角形 PA AC PA 3 点评 本题考查的是切线长定理 切线长定理图提供了很多等线段 分析图形时 关键是要仔细探索 找出图形的各对相等切线长 四 正多边形与圆 4 1 已知如图 所示 ABC是 O的内接正三角形 点P为上一动点 求 BC 证PA PB PC 下面给出一种证明方法 你可以按这一方法补全证明过程 也可以选择另外的证 明方法 证明 在AP上截取AE CP 连接BE ABC是正三角形 AB CB 1和 2是同弧所对的圆周角 1 2 ABE CBP O P F E D C BA O P D CB A 2 1 E P O C B A 2 如图 所示 四边形ABCD是 O的内接正方形 点P为上一动点 求证 BC PA PC PB 2 3 如图 所示 六边形ABCDEF是 O的内接正六边形 点P为上一动点 请 BC 探究PA PB PC三者之间有何数量关系 直接写出结论 4 证明 Q E 3 2 1 E O P F E D C B A O P D CB A P O C B A 1 如图 所示 延长BP至E 使PE PC 连接CE 易知 CPE CAB 60 PCE是等边三角形 CE PC ECP 60 ECP PCB BCA PCB 即 ECB PCA 在 CAP和 CBE中 CA