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必修一 集合与函数集合1集合的含义，元素属于集合，集合包含集合2集合的性质：确定性、无序性、互异性（常用于确定集合子集的个数）3 集合的表示方法：例举法 描述法（韦恩图）4 补集与全集，并集与交集5 常用数集的表示符号6 子集的个数2n，非空子集(2n-1)，非空真子集(2n-2)例题例1设集合A=x|x2-3x+2=0,xR，B=x|2x2-ax+2=0,xR，若AB=A，求实数a的值组成的集合。 解：化简集合A得A=1，2， AB=A， B A， 集合B有四种可能： ，1，2，1，2。 (1) 若B= ，则2x2-ax+2=0在实数范围内无解，=a2-160，即-4a4。 (2) 若B=1，则2x2-ax+2=0有理根1，将x=1代入得a=4；(3) 若B=2, 将x=2代入2x2-ax+2=0得a=5, 此时B=2, ，不合题意； (4) 若B=1,2时，将x=2代入2x2-ax+2=0得a=5, 此时B=2, ，不合题意。 综上所述，a的取值范围是a|-4a4。 点评：本题要注意AB=A与B A的等价性。要注意B= 的可能性，否则会“缩小”解的范围。对于 的存在，初学者往往容易忽略。 例2设全集I=不超过5的正整数，A=x|x2-5x+q=0，B=x|x2+px+12=0，( )B=1,3,4,5，求p,q的值和集合A，B。 解： ( )B=1，3，4，5，I=1,2,3,4,5， 2 ， 即2A。 将2代入x2-5x+q=0得q=6，于是A=2，3。又 =1,4,5且( )B=1，3，4，5， 3B代入x2+px+12=0，得p=-7, B=3,4。 例3设I=1，2，3，9，已知：(1) ( )B=3,7, (2)( B)A=2,8, (3)( )( B)=1,5,6，求集合A和B。 解：用文氏图表示集合I，A，B的关系，如下图所示的有关区域表示集合AB，( )B，A( B),( )( B),并填上相应的元素，可得A=2,4,8,9，B=3,4,7,9。 点评：当集合中元素的个数有限或要判断两集合相互之间的关系时，常可借助于文氏图，以形助数。在上图中，根据集合的意义，能得到 (ML)=( M)( L), (ML)=( M)( L)（德?摩根律）。 练习： 1四个关系式： 0 0, 00, 空集包含于0 , 0 不 空集 正确的个数（ ）。 A、4B、3C、2D、1 2下面表示同一个集合的是（ ）。 A、M=(1,2),N=(2,1) B、M=1,2, N=(1,2) C、M=0 , N=0D、M=x|x2-3x+2=0, N=1,2 3M=x|-3x2, N=x|xa，若M 包含于N，则a的取值范围是（ ）。 A、a|a-3B、a|a2C、a|a2D、a|a-3 4A=x|x=a2+2a+4, aR,B=y|y=b2-4b+3,bR,则集合A，B的关系是（ ）。 A、A包含 BB、A包含于 BC、A=BD、不能确定5已知P=y|y=x2+1, xR, Q=y| y=x+1, xR, 则PQ等于（ ）。 A、(0,1),(1,2)B、0，1 C、1，2 D、y|y1 6已知全集I=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4，集合A=-3, a2, a+1，B=a-3, 2a-1, a2+1，其中aR，若AB=-3,求 (AB)。 7已知A=a2,a+1,-3,B=a-3,2a-1,a2+1,若AB=-3,求a的值解：a2+1-3,若a-3=-3,则a=0,此时A=0,1,-3,B=-3,-1,1,不满足条件若2a-1=-3，则a=-1,此时A=1，0，-3，B=-4，-3，-2，满足条件，故a=-1答案：1.A2.D3.B4.A5.D函数1函数三要素：定义域 对应关系值2函数的三种表示方法：解析法，列表法，图像法3 函数的性质：定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性注意要点：（1）求值域范围一定要先考虑到定义域，求出定义域，在函数定义域的范围内求出值域（2）求值域的方法：观察法，反函数法，最值法，换元法（三角换元和代数换元），分离常数法，判别式法，利用函数的有界性（三角函数的值域有界性），函数的单调性法，数形结合法，不等式法（均值不等式【一正二定三相等】），配方法（一元二次方程），斜率法，倒数法4 指数函数，对数函数，幂函数的图像及其性质值域一观察法例1求函数y=3+ 的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出的值域。解：由算术平方根的性质，知0，故3+ 3。函数的值域为3，+) .二反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(12y)/（y1）,其定义域为y1的实数,故函数y的值域为yy1,yR。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x10-x)的值域。（答案：函数的值域为yy1）三配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由x2+x+20,可知函数的定义域为x1，2。此时x2+x+2=（x1/2）29/40，9/403/2,函数的值域是0,3/2点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x5154x的值域.(答案:值域为yy3)四判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。对于形如（，不同时为）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于的一元二次方程（二次项系数不为时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:例1、求函数的值域 解：原函数化为关于的一元二次方程（1）当时，解得；（2）当时，而故函数的值域为评注：在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零；使用此法须在或仅有个别值（个别值是指使分母为的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的值，若在求出的值域中则应除去此值）不能取的情况下，否则不能使用，如求函数，的值域，则不能使用此方法例2、求函数的值域.解：两边平方整理得：（1）解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。例3求函数y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为（y2）x2(y2)x+(y-3)=0 （）当y2时,由=(y2)24（y2）x+(y3)0，解得：2x10/3当y=2时,方程()无解。函数的值域为2y10/3。点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b(cx2+dx+e)的函数。练习1、求函数的值域. 2、求函数的值域. 3、函数的定义域为，值域为，求的值.4、设函数 的值域为 ，求a,b . 5、已知函数y=f(x)= 的值域为1,3,求实数b,c的值.6、求函数y=1/(2x23x+1)的值域。（答案：值域为y8或y0）。7、求函数y=6x2-4x+3/(3x22x+1)的值域。（答案：值域为(2,7/2 )。五单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y=4x1-3x(x1/3)的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= 1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解：设f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3。点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+4-x 的值域。(答案：y|y3)六换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例2【1代数换元】求函数y=x-3+的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设t=（t0）,则x=1/2(t2-1)。于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为y|y7/2。【2三角换元】求函数的值域。解：设，则。所以，故所求函数值域为点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y= x的值域。（答案：y|y3/4 求函数的值域。解：由，可得 故可令当时，当时，故所求函数的值域为：七、函数有界性法（方程法）直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例1、求函数的值域。解：因为，所以，则由于，所以，解得。故所函数的值域为-2，-。求函数 的值域 例2、求函数的值域。解：因为，所以，即，所以，令，得，由，解得，故所函数的值域为-2，。【同步练习6】求函数，的值域.八、数形结合法（函数的图像）：对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例1、 求函数的值域分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域解：作图象如图所示，函数的最大值、最小值分别为和，即函数的值域为例2、 求函数的值域.解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：例3、求函数的值域.解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为例4、求函数的值域.解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），在x轴的同侧。【同步练习7】1、求函数的值域. 2、求函数的值域. 3、求函数的值域.4、求函数的最大值. 九、均值不等式法：利用基本关系两个正数的均值不等式在应用时要注意“一正二定三相等”；利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例1、求函数的值域解：原函数可化为 当且仅当时取等号，故值域为例3、 求函数的值域.解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为：十、分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域例1、求函数的值域解：，函数的值域为求的值域.解：（利用部分分式法）由 ，可得值域小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。十一、倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例1、求函数的值域.经典例题：定义在区间（，）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在0， )上图象与f（x）的图象重合.设ab0，给出下列不等式，其中成立的是f（b）f（a）g（a）g（b） f（b）f（a）g（a）g（b） f（a）f（b）g（b）g（a） f（a）f（b）g（b）g（a）A B C D当堂练习： 1已知函数f(x)=2x2-mx+3，当时是增函数，当时是减函数，则f(1)等于 （ ）A-3B13 C7 D含有m的变量 2函数是（ ）A 非奇非偶函数 B既不是奇函数,又不是偶函数奇函数 C 偶函数 D 奇函数3已知函数(1), (2),(3)(4),其中是偶函数的有（ ）个A1 B2 C3 D4 4奇函数y=f（x）（x0），当x（0，+）时，f（x）=x1，则函数f（x1）的图象为 （ ）5已知映射f:AB,其中集合A=-3,-2,-1,1,2,3,4,集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的,在B中和它对应的元素是,则集合B中元素的个数是（ ）A4 B5 C6 D76函数在区间0, 1上的最大值g(t)是7 已知函数f(x)在区间上是减函数,则与的大小关系是 8已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时, f(x)是增函数,若x10,且,则和的大小关系是 9如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_对称10点(x,y)在映射f作用下的对应点是,若点A在f作用下的对应点是B(2,0),则点A坐标是 13. 已知函数,其中，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值14已知函数，常数。（1）设，证明：函数在上单调递增；（2）设且的定义域和值域都是，求的最大值13.(1)设f(x)的定义域为R的函数,求证: 是偶函数；是奇函数.(2)利用上述结论，你能把函数表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式14. 在集合R上的映射:,.(1)试求映射的解析式;(2)分别求函数f1(x)和f2(z)的单调区间;(3) 求函数f(x)的单调区间.参考答案：经典例题： 解析：本题可采用三种解法.方法一：直接根据奇、偶函数的定义由f（x）是奇函数得f（a）=f（a），f（b）=f（b），g（a）=f（a），g（b）=f（b），g（a）=g（a），g（b）=g（b）以上四个不等式分别可简化为f（b）0；f（b）0；f（a）0；f（a）0.又f（x）是奇函数又是增函数，且ab0，故f（a）f（b）f（0）=0，从而以上不等式中、成立.故选C.方法二：结合函数图象由下图，分析得f（a）=g（a）=g（a）=f（a），f（b）=g（b）=g（b）=f（b）从而根据所给结论，得到与是正确的.故选C方法三：利用间接法，即构造满足题意的两个函数模型f（x）=x，g（x）=|x|，取特殊值a、b.如a=2，b=1.可验证正确的是与，故选C答案：C当堂练习：B ; 2. D ; 3. B ;4. D ;5. A ; 6. ;7. ;8. ;9. x=-1; 10. ();11. 解: (1)函数，设时， ，所以在区间上单调递增；(2)从而当x=1时，有最小值12. 解:（1）任取，且， 因为，所以，即，故在上单调递增（2）因为在上单调递增，的定义域、值域都是，即是方程的两个不等的正根有两个不等的正根所以，时，取最大值13.解: (1)利用定义易证之； (2)由(1)得= 14. 解: (1)； (2)当时， f1(x)单调递减， 当时， f1(x)单调递增； 当时， f2(z) 单调递减， 当时， f1(x)单调递增(3) 当和时， f(x)分别单调递减；当和分别单调递增2.1.3单元测试1 设集合P=,Q=,由以下列对应f中不能构成A到B的映射的是 （ ）A B C D 2下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=x+1; (3)y=x2-1; (4)y=,其中定义域与值域相同的是（ ） A(1)(2) B(1)(2)(3) C2)(3) D(2)(3)(4)3已知函数,若,则的值为（ ）A10 B -10 C-14 D无法确定4设函数，则的值为（ ）Aa Bb Ca、b中较小的数 Da、b中较大的数5已知矩形的周长为1,它的面积S与矩形的长x之间的函数关系中,定义域为（ ）A B C D 6已知函数y=x2-2x+3在0,a(a0)上最大值是3,最小值是2,则实数a的取值范围是（ ）A0a1 B0f(-1) Bf(-1)f(-2) Cf(1)f(2) Df(-2)f(2)6计算. 7设，求8已知是奇函数，则= 9函数的图象恒过定点 10若函数的图象不经过第二象限，则满足的条件是 11先化简,再求值: (1),其中；(2) ,其中 12(1)已知x-3,2，求f(x)=的最小值与最大值(2)已知函数在0,2上有最大值8,求正数a的值(3)已知函数在区间-1,1上的最大值是14,求a的值13求下列函数的单调区间及值域:(1) ； (2)；(3)求函数的递增区间14已知(1)证明函数f(x)在上为增函数；(2)证明方程没有负数解参考答案：经典例题：解：由题意可知，函数y=3的定义域为实数R设u=x2+2x+3（xR），则f（u）=3u，故原函数由u=x2+2x+3与f（u）=3u复合而成f（u）=3u在R上是增函数，而u=x2+2x+3=（x1）2+4在x（，1）上是增函数，在1，+上是减函数y=f（x）在x（，1）上是增函数，在1，+上是减函数又知u4，此时x=1，当x=1时，ymax=f（1）=81，而30，函数y=f（x）的值域为（0，81）当堂练习：1.A ; 2. C ; 3. B ;4. A ;5. A ; 6. ;7. ;8. ;9. （1，0）;10. ; 11.(1) 原式=(2)原式=12. (1)解：f(x)=, x-3,2, 则当2-x=,即x=1时,f(x)有最小值；当2-x=8,即x=-3时，f(x)有最大值57 (2)解:设,当0,2时,当0a1时,.综上所述,a=2 (3)原函数化为,当a1时，因,得,从而,同理, 当0a1时，f(x) 在上单调递减;当0a1时，f(x) 在上单调递增14.(1)由y=x21(x1)，得y0，且x=，f1(x)= (x0)，即C2：g(x)= ，M=x|x0 (2)对任意的x1，x2M，且x1x2，则有x1x20，x10，x20|g(x1)g(x2)|=|=|x1x2|y=g(x)为利普希茨类函数，其中a=考纲要求：了解幂函数的概念；结合函数的图像，了解他们的变化情况经典例题：比较下列各组数的大小：（1）1.5，1.7，1；（2）（），（），1.1；（3）3.8，3.9，（1.8）；（4）31.4，51.5.当堂练习：1函数y（x22x）的定义域是（）Ax|x0或x2B（，0）（2，）C（，0）2，）D（0，2）3函数y的单调递减区间为（）A（，1）B（，0）C0，D（，）3如图，曲线c1, c2分别是函数yxm和yxn在第一象限的图象，那么一定有（）Anm0 Bmnn0 Dnm04下列命题中正确的是（ ）A当时，函数的图象是一条直线 B幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C幂函数的 图象不可能在第四象限内D若幂函数为奇函数，则在定义域内是增函数5下列命题正确的是（ ）幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数图象不经过（1，1）为点的幂函数一定不是偶函数 如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同 如果一个幂函数有反函数，那么一定是奇函数6用“”连结下列各式： ， 7函数y在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_ _8幂函数的图象过点(2,), 则它的单调递增区间是 9设x(0, 1)，幂函数y的图象在yx的上方，则a的取值范围是 10函数y在区间上 是减函数11试比较的大小12讨论函数yx的定义域、值域、奇偶性、单