高等几何试题及答案.doc

系 专业 班 学号 姓名 密封线试卷类型： A 高等几何 使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（） 共 6 页题号一二三四五六合计得分一、 填空题（每小题4分，共20分）1、设(1)，(-1)，()为共线三点，则 。2、写出德萨格定理的对偶命题： 。3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=_。4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为： 。5、二次曲线的点坐标方程为，则其线坐标方程为是 。二、 选择题（每小题2分，共10分）1.下列哪个图形是仿射不变图形？( )A.圆B.直角三角形C.矩形D.平行四边形2. 表示( )A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( )A.一次B.两次C.三次D.四次4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( )：A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆5.二次曲线按射影分类总共可分为( )A.4类B.5类C.6类D.8类三、判断题（每小题2分，共10分）1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（ ）2.两直线能把射影平面分成两个区域。（ ）3.当正负号任意选取时，齐次坐标表示两个相异的点。（ ）4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此射影变换一定是对合。（ ）5.配极变换是一种非奇线性对应。（ ）密封线四、作图题（8分）已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使(ab,cd)=-1。（画图，写出作法过程和根据）五、证明题（10分）如图，设FGH是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明： TS与QP的交点M在直线GH上。六、计算题（42分）1. （6分）平面上经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求单比(ABP) 2. （6分）已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求（1）l的齐次坐标方程；（2）l上无穷远点的坐标；（3）l上无穷远点的方程。 密封线3. (8分)在直线上取笛氏坐标为 2，0，3的三点作为射影坐标系的P*,P0, E，(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？4. （8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。5. (6分)求由两个射影线束，所构成的二阶曲线的方程。6. (8分) 试求二次曲线：+2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。密封线一、 填空题（每小题4分，共20分）1、 1（4分） 2、 如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。（4分）3、 2（4分）4、 射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4分）5、 （4分）二、 选择题（每小题2分，共10分）1.( D),2.( C),3.(B),4.( A),5.( B) 三、 判断题（每小题2分，共10分）1.( ),2.( ),3.( ),4.( ),5.( )四、 作图题（8分） 第1页共4页作法过程：1、设a,b,c交于点A，在c上任取一点C, （2分）2、过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D，（2分）3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。（2分）根据：完全四点形的调和共轭性（2分）五、 证明题（10分）证明： 在三点形BTS与三点形DQP中（4分）对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点，（2分）由德萨格定理的逆定理知，（2分）对应边的交点BT与DQ的交点G，TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线，即TS与QP的交点M在直线GH上。（2分）六、计算题（42分）1. （6分）解：设P点的坐标为（x0，yo）（分割比）， （2分） 且P在直线x+3y-6=0上， 解得=1， （2分）即P是AB中点，且（ABP）=1 （2分）密封线1. （6分）（1） （2分）（2）（1，1/2，0） （2分）（3） （2分）2. (8分)解：笛氏坐标 0 2 3 x 射影坐标： P* P0 E （i）由定义 =（P*P0，EP）=（2 0，3x）= （4分）(ii) 若有一点它的两种坐标相等，即x=则有，即3x27x=0，当x=0及x=时两种坐标相等。 （4分）3. （8分）设射影变换的方程为： （2分）由题意知：a+, ,6a+3b+2c+d=0 得到：故射影变换方程为： （4分）二重元素满足： 得=7/3或=1 （2分）（6分）解：由题意： （2分）由上式得： （2分）故所求方程即为（2分）6.(8分)解：二次曲线的齐次方程为：x12+3x1x2-4x22+2x1x310x2x3=0，二次曲线为常态的，设中心 则中心为 （4分）求渐近线方程：a11X2+2a12XY