【志鸿优化设计】（湖北专用）高考数学一轮复习 第七章不等式7．2一元二次不等式及其解法教学案 理 新人教A版 .doc

7.2一元二次不等式及其解法1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图4理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.5会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c.1一元二次不等式的解法一元一次不等式axb(a0)的解集为(1)当a0时，解集为_(2)当a0时，解集为_2一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集_ax2bxc0(a0)的解集_3用程序框图来描述一元二次不等式ax2bxc0(a0)的求解的算法过程为：4上述不等式ax2bxc0(0)中的a均大于0.若a0，则可先进行转化，使x2的系数为正，但一定要注意在转化过程中不等号的变化5绝对值不等式(1)含_的不等式叫做绝对值不等式(2)解含有绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：分段讨论：根据|f(x)|去掉绝对值符号利用等价不等式：|axb|c(c0)_；|axb|c(c0)_.两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号(3)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当_时，等号成立(4)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当_时，等号成立(5)|xa|的几何意义：数轴上表示数x与a的两点间的_(6)形如|xa|xb|c(ab)与|xa|xb|c(ab)的绝对值不等式的解法主要有三种：运用绝对值的几何意义；零点分区间讨论法；构造分段函数，结合函数图象求解(7)重要绝对值不等式：|a|b|ab|_.使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件，即|ab|a|b|ab0；|ab|a|b|ab0；|a|b|ab|b(ab)0；|a|b|ab|b(ab)0；注：|a|b|ab|a|ab|b|(ab)b|ab|b|b(ab)0.同理可得|a|b|ab|b(ab)0.1不等式x2x的解集是()a(，0) b(0,1)c(1，) d(，0)(1，)2(2012重庆高考)不等式0的解集为()a(1，) b(，2)c(2,1) d(，2)(1，)3若a0，则关于x的不等式x24ax5a20的解是()ax5a或xabxa或x5ac5axadax5a4若关于x的不等式x22xmx的解集是x|0x2，则实数m的值是_5(2012天津高考)集合a中的最小整数为_6设函数f(x)|x1|xa|(a0)若不等式f(x)5的解集为(，23，)，则a的值为_一、一元二次不等式的解法【例1】 解下列不等式：(1)2x24x30；(2)3x22x80；(3)12x2axa2(ar)方法提炼1解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2bxc0(a0)，ax2bxc0(a0)；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集2对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(4)判断二次不等式两根的大小特别强调：当a0时，axb不是一元一次不等式；当a0，b0时，它的解集为；当a0，b0时，它的解集为r.请做演练巩固提升2二、分式不等式的解法【例2】 (2012江西高考)不等式0的解集是_方法提炼对于形如0(0)可等价转化为f(x)g(x)0(0)来解决；对于0(0)可等价转化为当然对于高次不等式可用“穿根法”解决请做演练巩固提升1三、一元二次不等式的实际应用【例3】 某产品按质量可分成6种不同的档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件，如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品(1)若最低档次的产品每件利润为16元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？(2)若最低档次的产品每件利润为22元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？方法提炼解不等式应用题的步骤请做演练巩固提升5四、含有绝对值的不等式的解法【例41】(2012辽宁高考)已知f(x)|ax1|(ar)，不等式f(x)3的解集为x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范围【例42】设函数f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xr，f(x)2，求a的取值范围方法提炼1解含绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号对于只含有一个绝对值的不等式，可先将其转化成形如|axb|c，|axb|c的形式，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组)求解；也可利用绝对值的几何意义或函数图象法求解2已知不等式的解集求字母的值，可先用字母表示解集，再与原解集对比即得字母的值请做演练巩固提升3与一元二次不等式有关的恒成立问题【典例】 (12分)设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围分析：(1)对于xr，f(x)0恒成立，可转化为函数f(x)的图象总是在x轴下方，可讨论m的取值，利用判别式求解(2)含参数的一元二次不等式在某区间内的恒成立问题，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理一般方法二比较简单规范解答：(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10；若m0，则4m0.综上有4m0.(4分)(2)要使f(x)m5在1,3上恒成立，即m2m60在x1,3上恒成立(6分)有以下两种方法：方法一：令g(x)m2m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，(8分)所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，则0m；(10分)当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是.(12分)方法二：因为x2x120，又因为m(x2x1)60，所以m.(8分)因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可(10分)所以，m的取值范围是.(12分)答题指导：1.与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值2解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数3对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方4本题考生易错点：忽略对m0的讨论这是由思维定势所造成的1不等式0的解集为()ax|1x2bx|1x2cx|1x2dx|1x22已知不等式x2x0的解集为m，且集合nx|1x1，则mn为()a0,1) b(0,1)c0,1 d(1,03(2012陕西高考)若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_4当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_5某种商品，现在定价p元，每月卖出n件，设定价上涨x成，每月卖出数量减少y成，每月售货总金额变成现在的z倍(1)用x和y表示z；(2)设x与y满足ykx(0k1)，利用k表示当每月售货总金额最大时x的值；(3)若yx，求使每月售货总金额有所增加的x值的范围6设函数f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式f(x)2；(2)若关于x的不等式af(x)有解，求实数a的取值范围参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)(2)2x|xx1或xx2x|xx1x|xrx|x1xx230？(，x2)(x1，)(，)5(1)绝对值符号(2)caxbcaxbc或axbc(3)ab0(4)(ab)(bc)0(5)距离(7)|a|b|基础自测1d解析：x2xx(x1)0x1或x0.2c解析：不等式0，解不等式得其解集为(2,1)，故选c.3b解析：由x24ax5a20，得(x5a)(xa)0，a0，x5a或xa.41解析：由x22xmx，得x24x2mx0，即xx(42m)0，不等式的解集为x|0x2，42m2.m1.53解析：|x2|5，5x25，3x7，集合a中的最小整数为3.62解析：由题意，知f(2)f(3)5，即1|2a|4|3a|5，解得a2.考点探究突破【例1】 解：(1)424230，方程2x24x30没有实根二次函数y2x24x3的图象开口向上，与x轴没有交点，即2x24x30恒成立，不等式2x24x30的解集为r.(2)原不等式可化为3x22x80，1000，方程3x22x80的两根为2，.结合二次函数y3x22x8的图象可知，原不等式的解集为.(3)由12x2axa20(4xa)(3xa)00，a0时，解集为；a0时，x20，解集为x|xr且x0；a0时，解集为.【例2】 (3,2)(3，)解析：不等式0可化为(x2)(x3)(x3)0，由穿根法(如图)得，所求不等式的解集为(3,2)(3，)【例3】 解：(1)设生产第x档次产品时，所获利润最大，则生产第x档次产品时，每件利润为16(x1)1元，生产第x档次产品时，每天生产402(x1)件，所以生产第x档次产品时，每天所获利润为：y402(x1)16(x1)2(x3)2648.当x3时，y最大，即生产第三档次产品利润最大(2)若最低档次产品每件利润为22元，则生产第x档次产品时，每天所获利润为：y402(x1)22(x1)2x2882.因为x1,6，且xn，所以当x1时，y最大，即生产第一档次产品利润最大【例41】 解：(1)由|ax1|3得4ax2.又f(x)3的解集为x|2x1，所以当a0时，不合题意当a0时，x，得a2.(2)记h(x)f(x)2f，则h(x)所以|h(x)|1，因此k1.【例42】 解：(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，由f(x)3得|x1|x1|3，(方法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为.(方法二)不等式可化为或或所以不等式的解集为.(2)若a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件；若a1，f(x)f(x)的最小值为1a；若a1，f(x)f(x)的最小值为a1.所以对于xr，f(x)2的充要条件是|a1|2，从而a的取值范围为(，13，)演练巩固提升1b解析：原不等式1x2.2a解析：由x2x0，得0x1，所以mn为0,1)选a.32a4解析：由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点x到a点与1点的距离的和小于等于3.由图可得2a4.4(，5解析：设f(x)x2mx4，由题意，得即m5.5解：(1)按现在