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用二分法求方程的近似解 1 提出问题 一元二次方程可以用公式求解 但没有公式可用来求方程 的解 联系函数的 零点与方程的解的关系 能否用函数的有关知识来解呢 2 解决问题 游戏规则 给定1 100这100个自然数 请同学们猜我手中的卡片上写的是哪个自然数 对于大家每次猜测的结果 我的提示是 对了 或 大了 或 小了 如何猜才能以最快的速度猜出这个数 3 在上述游戏中 每次将所给区间一分为二 进行比较后得到新的区间 再一分为二 如此下去 使得所猜数逐步逼近给出的数 能否用这种方法求方程 5 的近似解呢 4 组织探究 例 1 1 3 2 3 1 1 4 3 4 5 5 6 6 7 8 7 9 9 8 12 1 9 14 2 的对应值表与图象 解 借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解 精确到0 01 用计算器或计算机得到函数 4 5 根据二分法 用计算器得出以下表格 6 2 3 f 2 0 2 5 1 f 2 5 0 2 5 3 f 2 5 0 2 75 f 2 75 0 0 5 2 5 2 75 f 2 5 0 f 2 625 0 0 25 2 625 2 5 2 625 f 2 5 0 2 5625 f 2 5625 0 0 125 2 5 2 5625 f 2 5 0 2 53125 f 2 53125 0 0 0625 2 53125 2 5625 f 2 53125 0 f 2 546875 0 0 03125 2 546875 2 53125 2 546875 f 2 53125 0 2 5390625 0 015625 f 2 5390625 0 f 2 53125 0 f 2 53515625 0 0 0078125 2 53125 2 5390625 2 53515625 7 二分法 步骤 2 求区间的中点 8 3 计算 1 若 则就是函数的零点 2 若 则令 此时零点 3 若 则令 此时零点 判断是否达到精确度 即若 则得到 零点近似值 或 否则重复 9 尝试练习 1 用二分法研究函数 的零点时 第一次经计算 可得其中一个零点 第二次应计算 以上横线上应填的内容为 B C D 求函数 在区间 1 2 内的一个正数零点 精确度0 1 用二分法逐次计算的次数至少为 A 4次B 5次C 6次D 7次 B 10 利用计算器 求方程 的近似解 精确到0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 0 7 0 5 1 6 2 7 3 8 4 8 5 9 6 9 若精确到0 01 近似解为多少呢 11 f x 观察表或图象知 在区间 2 3 内有唯一解 根据二分法 用计算器得出以下表格 12 2 3 f 2 0 2 5 f 2 5 0 1 2 5 3 f 2 5 0 2 75 f 1 75 0 0 5 2 5 2 75 f 2 5 0 2 625 f 2 625 0 0 25 2 5 2 625 f 2 5 0 2 5625 f 2 5625 0 0 125 2 5625 2 625 f 2 5625 0 2 59375 f 2 59375 0 0 0625 2 5625 2 59375 f 2 5625 0 2 578125 f 2 578125 0 0 03125 2 578125 2 59375 f 2 578125 0 2 5859375 f 2 5859375 0 0 015625 f 2 578125 0 2 58984375 f 2 58984375 0 0 0078125 2 5859375 2 59375 因为 2 5625 2 625 0 0625 0 1 且2 5625 2 625的近似值均为2 6 所以原方程精确到0 1的近似解为 同理可知方程精确到0 01的近似解为2 59 13 师生小结 通过本节课的学习 明确二分法是一种求一元方程近似解的通法 用二分法求方程的近似解的步骤让我们感受到程序化思想 程序化的方法即算法 是数学及其应用的重要组成部分 算法思想已经成为现代人应具备的一种不可或缺的重要数学素养 鼓励学生尝试对二分法进行编程 通过计算机来求方程的近似解 14 课本第 页第 题 1 借助计算器或计算机 用二分法求方程在区间 0 1 内的近似解 精确