门式刚架内力图画法.doc

门式刚架内力图画法研究摘 要：针对经典力学中刚架内力图画法的局限性，文章根据直梁上弯矩、剪力与荷载集度间的微分与积分关系，得出了一种静定门式刚架内力图的实用画法，现提出供同仁参考。关键词：门式刚架；弯矩图；剪力图；轴力图结构力学是土木工程、水利工程和桥梁等专业的一门重要专业基础课，其教学内容与工程实践联系紧密。该门课程的重点之一是画门式刚架的内力图。门式刚架为一种传统的结构体系，门式刚架结构具有受力简单、传力路径明确、构件制作快捷、施工周期短等特点，因此广泛应用于工业、商业及文化娱乐公共设施等工业与民用建筑中。实际工程中，刚架中各构件截面上一般有弯矩、剪力与轴力的作用，刚架上弯矩、剪力与轴力的最大值直接影响到结构的设计、材料的选择以及配筋的计算。根据内力图找出结构中可能的危险截面是结构强度分析中最直观有效的方法，因此，快速而准确地画刚架的内力图，就成为每个设计者必须具备的能力。1 经典理论弯矩、剪力和分布荷载集度间的微积分关系为：dq（x）/dxq（x） （1）dm（x）/dxq（x） （2）d2m（x）/dx2q（x） （3）qbqa （4）mbma （5）式中，m（x）、q（x）分别是坐标x处横载面上的剪力、弯矩，q（x）为该处的荷载集度，规定向上为正，b、a为某梁段的杆端载面。（1）式的几何意义为剪力图在某载面处的切线斜率等于该截面荷载集度的大小。（2）式的几何意义为弯矩图在某载面处的切线斜率等于该截面的剪力。（3）式的几何意义为分布荷载的正负可以确定弯矩图的凹凸方向。（4）式的几何意义为b、a两横截面的剪力之差，等于这两横载面间梁段上的荷载图面积。（5）式的几何意义为b、a两横截面的弯矩之差，等于这两横截面间剪力图的面积1。由此可得，对水平直梁，从左往右看，无荷载作用梁段的剪力图为与基线平行的直线，弯矩图为一倾斜直线，斜直线上升或下降的铅直高度等于该段剪力图的面积（本文中面积从此处开始一律取正），剪力为正时，弯矩图下斜（），剪力为负时，弯矩图上斜（/）；均布荷载作用梁段，剪力图为一倾斜直线，该斜线上升或下降的铅直高度等于该梁段分布荷载图的面积，倾斜方向与荷载集度指向一致，弯矩图为二次曲线，对剪力为正的梁段，弯矩图为下降曲线，曲线下降的铅直高度等于该梁段剪力图的面积，对剪力图为负的梁段，弯矩图为上升曲线，曲线上升的铅直高度为该梁段剪力图的面积，二次曲线的凸向与荷载集度指向一致；集中力作用截面，其剪力图有突变，突变的绝对值等于集中荷载大小，突变方向与集中荷载指向一致；集中力偶作用截面，剪图无变化，弯矩图有突变，突变的绝对值等于该集中力偶的力偶矩大小，力偶顺转，则向下突变，力偶逆转，则向上突变（记为：“顺流而下，逆流向上”）。2 水平直梁内力图的简便画法2.1 剪力图的简便画法根据以上理论，对水平梁，从左到右，由第一个集中荷载（含支座反力）作用截面的基线开始，按垂直于基线的荷载的指向画基线的垂直线（按力的比例尺确定线长，下同），从该线的终点（图上用箭头表示，下同）向右画平行于基线的直线，得该集中荷载作用截面及右端梁段的剪力图轮廓线；当遇第二集中荷载时，从该截面左边剪力图轮廓线的终点按荷载指向画垂直线，垂直线的长度与集中荷载的大小相等，再过垂直线的终点向右画平行于基线的直线，直到遇到下一个荷载为止，便得该集中荷载作用截面及其右边梁段的剪力图轮廓线；如遇倾斜集中荷载，则先将荷载分解成与基线平行和垂直的两个分量，取垂直分量按上述方法画线（因与基线平行的分量不产生剪力，故画剪力图时不必考虑）；若遇均布荷载，则以均布荷载起始截面的左端剪力图轮廓线的终点为起点。按均布荷载箭头指向画斜直线，画至分布荷载终止截面处，斜线上升或下降的铅直高度等于均布荷载图的面积，这样便得均布荷载作用梁段剪力图的轮廓线；若遇集中力偶，因力偶对剪力图无影响，故不考虑。由以上方法画出的轮廓线与基线所围图形加上正负号，即得梁的剪力图。2.2 弯矩图的简便画法根据以上理论，对水平梁，从左到右，假设开始梁段的剪力图为位于基线上方的水平直线，则从基线开始画一条斜直线至集中力偶作用截面或剪力图开始发生变化的截面为止（下同），下斜直线下降的铅直高度等于该段剪力图的面积；若第二梁段剪力图为位于基线下方的水平直线，则从开始梁段弯矩图轮廓线的终点画一条上斜直线，上斜直线上升的铅直高度等于该段剪力图的面积；若第三梁段剪力图为位于基线上方的斜直线，则从左边梁段弯矩图轮廓线的终点画一条下降曲线，曲线的凸向与荷载集度指向一致，曲线下降的铅直高度等于该梁段剪力图的面积；若第三梁段剪力图为位于基线下方的斜直线，则从左边弯矩图的轮廓线终点画一条上升曲线，曲线的凸向与荷载集度指向一致，曲线上升的铅直高度等于该梁段剪力图的面积；对斜直线剪力图，如果既有正面积又有负面积，可以作为一段来画弯矩图，正面积大曲线弯矩图终点比起点低，负面积大的曲线弯矩图终点比起点高，曲线弯矩图两端的铅直高度等于斜直线剪力图正负面积差的绝对值。该值等于该杆段两端的剪力的代数和的绝对值，然后乘该段杆长除以2；若遇集中力偶作用截面，力偶顺时针转时，则从左边弯矩图轮廓线的终点向下画铅直线，力偶逆时针转时，则向上画铅直线，铅直线的长度等于该集中力偶的力偶矩。由以上方法画得的轮廓线与基线所围图形加上正负号，即得梁的弯矩图2。算例：试画图1（a）所示梁的剪力图和弯矩图。第一步，求出图1（a）中a、b端支座反力，并按反力的实际方向标在图上。第二步，先画一条与梁轴线等长且平行的直线作为基线，然后从基线的a点出发，向上画长度为24 kn的铅直线段aa（按力的比例尺确定线长，下同）；过a点向右画水平直线段ac1；过c1点向下画长度为20 kn的铅直线段c1c2；过c2点向右画水平直线段c2e；过e点画铅直高度为20 kn的下斜直线段eb；过b点向上画长度为16 kn的铅直线段bb。经过aac1c2ebb，得图1（b）所示剪力图轮廓线，轮廓线与基线所围图形加上正负号，即得梁的剪力图（由相似三角形的对应边成比例可以确定剪力等于零的截面位置为f）。第三步，先画基线，然后从基线上a点出发画铅直高度为24 knm的下斜直线段ac（按力矩的比例尺确定线长，下同）；过c点画铅直高度为4 knm的下斜直线段cd1；过d1点向上画上长度为20 knm的铅直线段d1d2；过d2点画铅直高度为4 knm的下斜直线段d2e；过e点画铅直高度为0.8 knm的下凸下降曲线段ef；过f点画铅直高度为12.8 knm的上升下凸曲线段fb。经过acd1d2efb得到图1（c）所示弯矩图的轮廓线，轮廓线与基线所围图形加上正负号，即得梁的弯矩图。结构力学作刚架内力图顺序为“先区段叠加作m图，再由m 图作fq图，最后fq作fn图”。画3种内力图，均需取杆件或结点为分离体，画其受力图，然后由静力平衡方程求出杆端内力，最后按材料力学知识画出内力图。由于此种方法要取多个分离体，画多个受力图及列多个平衡方程，最后还要解方程，所以计算量大，易出错。本文根据直梁上弯矩、剪力与荷载集度间的微分与积分关系，不取分离体及不用静力平衡方程便可作刚架内力图。该法与传统方法顺序刚好相反，下文将有所提及。3 静定门式刚架内力图的实用画法（只讨论常见情况，即力的作用线垂直杆轴线及无斜杆情况）3.1 静定门式刚架轴力图的画法竖杆杆端轴力的绝对值等于该竖杆的竖向反力，轴力的正负号由竖杆的竖向反力指向定，即竖杆的竖向反力背离该竖杆，轴力为正，反之为负；水平杆杆端轴力的绝对值等于左边或右边竖杆上水平力的合力，轴力的正负号由水平力的合力的指向定，即水平力的合力背离水平杆，轴力为正，反之为负。在常见荷载作用下，刚架各杆轴力为常数，据上述方法确定的各杆杆端轴力，即可画出轴力图。3.2 静定门式刚架剪力图的画法先把左边、右边竖杆当作水平杆的竖向连杆支座，竖杆下端的竖向反力当作水平杆左、右两端的外力，由水平直梁剪力图的简便画法画出水平杆剪力图；然后把刚架连同荷载顺转90，使刚架开口向左（注：学生做作业时只需把作业本进行旋转，而不必另外画图），由水平直梁剪力图的简便画法画出竖杆的剪力图。3.3 静定门式刚架弯矩图的画法将刚架竖杆剪力图左顺时针转、右逆时针90，使其与水平杆剪力图的基线共线，然后，由水平直梁弯矩图的简便画法画出刚架的弯矩图。4 应用举例例：画图2（a）所示静定门式刚架的内力图。第一步：求出全部支座反力，见图2（a）。第二步：由外力画轴力图。按上述方法3.1得ad、be竖杆的轴力为nad40 kn，nbe80 kn；de水平杆杆端轴力nde30 kn。画出轴力图，见图2（c）。第三步：由外力画剪力图。4.1 画水平杆的剪力图过d点向上画40 kn的铅直线；从铅直线终点画铅直高度为120 kn的下斜直线；从下斜直线终点向上画80 kn的铅直线，并按水平直梁剪力图正负号规定标出正负号，最后得到水平杆的剪力图，见图2（d2）de段。4.2 画竖杆的剪力图先把刚架连同荷载顺转90，使刚架开口向左，见图2（b），对ad杆：过a点画水平线到c；过c点向下画30 kn的铅直线；过铅直线终点画水平线到d，最后标出正负号，得到竖杆ad的剪力图，见图2（d1）ad段。对be杆：过b点向上画30 kn的铅直线；过铅直线终点画水平线到e，标出正负号，得到竖杆be的剪力图，见图2（d1）be段。最后原刚架各杆的剪力图，见图2（c）。第四步：由剪力图画弯矩图。将图2（d2）刚架两竖杆剪力图左顺时针转、右逆时针90，使其与水平杆剪力图的基线共线，见图2（d3）所示。然后过a点画水平线到c；过c点画铅直高度为60 knm的上斜直线到d；过上斜直线终点画铅直高度为120 knm的下凸上升曲线到e；过上升曲线终点画铅直高度为180 knm的下斜直线到b，见图2（e1），最后将图2（e1）中的竖杆变回原来位置，得到刚架弯矩图，见图2（e2）。5 结束语本文介绍的方法，其特点是不用截面法求内力，只需计算某些梁段荷载图、剪力图的面积，便可画出静定门式刚架的内力图。如果刚架有外伸部分，外伸部分作为悬臂梁单独画内力图。根据笔者多年来的教学实践证明，采用本文介绍的方法比用其它方法作图的效率高、速度快，过程简单，不易出错，学生更容易接受与掌握，是一种值得推广的方法。参考文献：1刘寿梅.建筑力学m.北京：高等教育出版社，2001.2陈德先.水平直杆内力图的简便画法j.内江科技，2006.（6）：50.abstract: in classical mechanics picture frame internal force of law, limitations, this paper straight beams under bending, shear