第9讲 自相关检验.doc

第9讲 自相关检验9.1 非自相关假定 由第2章知回归模型的假定条件之一是， Cov(ui, uj ) = E(ui uj) = 0, (i, j T, i j), (9.1)即误差项ut的取值在时间上是相互无关的。称误差项ut非自相关。如果 Cov (ui , uj ) 0, (i j)则称误差项ut存在自相关。自相关又称序列相关。原指一随机变量在时间上与其滞后项之间的相关。这里主要是指回归模型中随机误差项ut与其滞后项的相关关系。自相关也是相关关系的一种。9.2 一阶自相关 通常假定误差项的自相关是线性的。因计量经济模型中自相关的最常见形式是一阶自回归形式，所以下面重点讨论误差项的线性一阶自回归形式，即 ut = a1 ut -1 + vt (9.2)其中a1是自回归系数，vt 是随机误差项。vt 满足通常假设。依据普通最小二乘法公式，模型（9.2）中 a1 的估计公式是， = (=) (9.3)其中T是样本容量。若把ut, u t-1看作两个变量，则它们的相关系数是 = (r =) (9.4)对于大样本显然有 (9.5)把上关系式代入（9.4）式得 = (9.6)因而对于总体参数有 r = a1，即一阶自回归形式的自回归系数等于该二个变量的相关系数。因此原回归模型中误差项ut的一阶自回归形式（见模型（9.2）可表示为， ut = r ut-1 + vt. (9.7)r 的取值范围是 -1，1。当 r 0 时，称ut 存在正自相关；当 r 15）DW检验步骤如下。给出假设H0: r = 0 (ut 不存在自相关)H1: r 0 (ut 存在一阶自相关)用残差值计算统计量DW。 DW = (9.8) 其中分子是残差的一阶差分平方和，分母是残差平方和。把上式展开， DW = (9.9) 因为有 , (9.10) 代入（9.9）式， DW = 2 (1 - ) = 2 (1 -). (9.11)因为 r 的取值范围是 -1, 1，所以DW统计量的取值范围是 0, 4。r 与DW值的对应关系见表9.1。 表9.1 r 与DW值的对应关系及意义rDW ut的表现r = 0DW = 2ut 非自相关r = 1DW = 0ut完全正自相关r = -1DW = 4ut完全负自相关0 r 10 DW 2ut有某种程度的正自相关-1 r 02 DW c2(n)，拒绝H0；(4) 直接拟合检验法 回归检验法的优点是，（1）适合于任何形式的自相关检验，（2）若结论是存在自相关，则同时能提供出自相关的具体形式与参数的估计值。缺点是计算量大。回归检验法的步骤如下：用给定样本估计模型并计算残差。对残差序列, (t = 1 ,2 , , T ) 用普通最小二乘法进行不同形式的回归拟合。如= r 1 + vt = r1 1 + r2 2 + vt= r- 12 + v t= r+ vt (3) 对上述各种拟合形式进行显著性检验，从而确定误差项ut存在哪一种形式的自相关。9.5 克服自相关如果模型的误差项存在自相关，首先应分析产生自相关的原因。如果自相关是由于错误地设定模型的数学形式所致，那么就应当修改模型的数学形式。怎样查明自相关是由于模型数学形式不妥造成的？一种方法是用残差对解释变量的较高次幂进行回归，然后对新的残差作DW检验，如果此时自相关消失，则说明模型的数学形式不妥。如果自相关是由于模型中省略了重要解释变量造成的，那么解决办法就是找出略去的解释变量，把它做为重要解释变量列入模型。怎样查明自相关是由于略去重要解释变量引起的？一种方法是用残差对那些可能影响因变量但又未列入模型的解释变量回归，并作显著性检验，从而确定该解释变量的重要性。如果是重要解释变量，应该列入模型。只有当以上两种引起自相关的原因都消除后，才能认为误差项ut “真正”存在自相关。在这种情况下，解决办法是变换原回归模型，使变换后的随机误差项消除自相关，进而利用普通最小二乘法估计回归参数。这种变换方法称作广义最小二乘法。下面介绍这种方法。设原回归模型是 yt = b0 + b1x1 t + b2 x2 t+ + b k x k t + ut (t = 1, 2, , T ) (9.16)其中ut具有一阶自回归形式 ut = r ut-1 + vt 其中vt 满足通常的假定条件，把上式代入（9.16）式， yt = b0 + b1 x1 t +b2 x2 t + + b0 xk t + r ut - 1 + vt 求模型（9.16）的 (t - 1) 期关系式，并在两侧同乘 r， r yt -1= r b0 + r b1 x1 t -1 + r b2 x2 t -1 + + r bk xk t - 1 + r ut - 1 用（9.16）式与上式相减得 yt - r yt -1 = b0 (1 - r) + b1 (x1t - r x1 t-1) + + bk ( xk t - r xk t -1) + vt (9.17)令 yt* = yt - r yt -1 , xj t* = xj t - r xj t - 1, j = 1 , 2 , k b0* = b0 (1 - r ), 则模型（9.17）表示如下， yt* = b0*+ b1 x1 t* + b2 x2 t* + + bk xk t* + vt ( t = 2 , 3 , T ) (9.18)上述变换称作广义差分变换。上式中的误差项vt是非自相关的，满足假定条件，所以可对上式应用最小二乘法估计回归参数。所得估计量具有最佳线性无偏性。上式中的 b1 bk 就是原模型（9.16）中的 b1 bk，而 b0* 与模型（9.16）中的 b0 有如下关系， b0* = b0 (1 - r), b0 = b0* / (1 - r) (9.19)注意：（1）对（9.16）式进行OLS估计得到的b0, b1, , b k的估计量称作普通最小二乘估计量；对（9.18）式进行OLS估计得到的b0, b1, , , b k的估计量称作广义最小二乘估计量。（3）当误差项ut 的自相关具有高阶自回归形式时，仍可用与上述相类似的方法进行广义差分变换。比如ut具有二阶自回归形式， ut = r1 ut- 1 + r 2 ut 2 + vt ,则变换过程应首先求出原模型（t-1）期与（t-2）期的两个关系式，然后利用与上述相类似的变换方法建立符合假定条件的广义差分模型。若ut具有k阶自回归形式，则首先求k个不同滞后期的关系式，然后通过广义差分变换使模型的误差项符合假定条件。需要注意的是对二阶自回归形式，作广义差分变换后，要损失两个观测值；对k阶自回归形式，作广义差分变换后，将损失k个观测值。 （4）当用广义差分变量回归的结果中仍存在自相关时，可以对广义差分变量继续进行广义差分直至回归模型中不存在自相关为止。9.6 自相关系数的估计 上一节介绍了解决自相关的方法。这种方法的应用还有赖于知道 r 值。下面介绍三种估计 r 的方法。 (1) 用DW统计量估计r。由（1.17）式，DW = 2 (1 -)，得= 1 -（DW / 2） 首先利用残差求出DW统计量的值，然后利用上式求出自相关系数 r 的估计值。注意：用此法时样本容量不宜过小。此法不适用于动态模型（即被解释变量滞后项做解释变量的模型）。(2) 用残差进行自回归的方法估计r（特别对高阶自回归形式）。9.7 案例分析。【案例1】（file:AUTOCO6）天津市城镇居民人均消费与人均可支配收入的关系改革开放（19782000）以来，天津市城镇居民人均消费性支出（CONSUM），人均可支配收入（INCOME）以及消费价格指数（PRICE）数据见下表。现在研究人均消费与人均可支配收入的关系。先定义不变价格（1978=1）的人均消费性支出（Yt）和人均可支配收入（Xt）。令Yt = CONSUM / PRICEXt = INCOME / PRICE得散点图如图9.5。显然Yt和Xt服从线性关系。 图9.5 Yt和Xt散点图 图9.6 残差图 （1）估计线性回归模型并计算残差用普通最小二乘法求估计的回归方程，得结果如下。= 111.44 + 0.7118 Xt (6.5) (42.1) R2 = 0.9883, s.e. = 32.8, DW = 0.60, T = 23（2）检验误差项 ut是否存在自相关已知DW = 0.60，若给定a = 0.05，查附表，dL = 1.26，dU = 1.44。因为 DW = 0.60 3.84，所以BG（LM）检验结果也说明(1)式存在自相关。（3）用广义最小二乘法估计回归参数首先估计自相关系数。依据式，= 1 - = 1 - = 0.70对原变量做广义差分变换。 GDYt = Yt - 0.70 Yt -1 GDXt = Xt - 0.70 Xt 1以GDYt, GDYt，t = 2 , 3 , 22, 为样本再次回归，得 GDYt = 45.2489 +0.6782 GDXt (9.20) (3.7) (20.0) R2 = 0.95, s.e. = 23.2, DW = 2.31, (1979-2000)查附表4，dL = 1.26，dU = 1.43，因为DW = 2.31 (4 -1.43) = 2.57，依据判别规则，已消除自相关。残差图见图9.7。图9.7 残差图由（9.20）式，* = 45.2489。依据（9.19）式， =*(1- ) = 45.2489/(1-0.70) = 150.8297则原模型的广义最小二乘估计结果是 = 150.8297 + 0.6782 Xt (9.21)用普通最小二乘估计结果是= 111.44 + 0.7118 Xt (9.22) (6.5) (42.1) R2 = 0.9883, s.e. = 32.8, DW = 0.60, T = 23注意：（1）回归方程（9.20）与（9.22）相比， R2值有所下降。不应该因此不相信（9.20）式的结果。原因是（9.20）式中的变量是广义差分变量，而不是原变量，所以致使R2值下降。两个回归式所用变量不同，不可直接比较确定系数R2的值。（2）（9.20）式中的回归系数与（9.22）式中的回归系数有差别。计量经济理论认为用广义差分变换模型得到的回归系数估计量的特性优于误差项存在自相关的模型。所以模型（9.20）中的回归系数的统计特性更好，0.6782比0.7118更可信。从实际情形分析，特别是最近几年，消费的收入边际系数0.6782更可信，0.7118偏高。（3）用EViews生成新变量。假设已经建立关于CONSUM，INCOME和PRICE的工作文件。假设变量Yt和Xt分别用Y和X表示，从工作文件主菜单中点击Quick键，选择Generate Series 功能。这时会打开一个生成序列（Generate Series by Equation）对话框。在对话框中输入如下命令（每次只能输入一个命令），Y = CONSUM / PRICEX = INCOME / PRICE按OK键。变量Y和X将自动保存在工作文件中。EViews的OLS估计方法见第2章。（4）用EViews进行BG（LM）自相关检验。在回归窗口中点击View键，选择Residual Tests/Serial Correlation LM Test 功能，会弹出一个设定滞后期（Lag Specification）对话框。输入1，点击OK键，就会得到LM = T R2 = 9.89的一阶自相关BG（LM）检验结果。 【案例2】（file:autoco5）天津保费收入和人口的回归关系（二阶广义差分）1967-1998年天津市的保费收入（万元）和人口（万人）散点图如下。 Lnyt = -11.18 + 0.0254 xt (-20.9) (37.2) R2 = 0.9788, s.e. = 0.34, DW = 0.36 (1967-1998) 模型残差图 (9.27) 式残差图对残差进行二阶回归= 1.186 - 0.467+ vt(6.9) (-2.5) R2 = 0.71, s.e. = 0.19, DW = 1.97 (1969-1998)推导二阶自相关ut = f1ut 1+f2ut 2 + vt的广义差分变换式。设模型为 yt = b0 + b1 xt + ut (9.23)写出上式的滞后一期、二期表达式并分别乘f1、f2： f1 yt-1 = f1b0 + f1b1 xt-1 + f1ut -1 (9.24) f2 yt-2 = f2b0 + f2b1 xt-2 + f2ut -2 (9.25)用以上三式做如下运算， yt -f1 yt-1 -f2 yt-2 = b0 -f1b0 - f2b0 + b1 xt - f1b1 xt-1 - f2b1 xt-2 + ut -f1ut - 1-f2ut -2 (yt -f1 yt-1 -f2 yt-2) = b0 (1- f1 - f2) + b1 (xt - f1 xt-1- f2 xt-2) + vt (9.26)作二阶广义差分。GDLnyt = Lnyt -1.186 Lnyt-1 +0.467 Lnyt-2GDxt = xt -1.861 xt-1 + 0.467 xt-2广义最小二乘回归GDLnyt = -3.246 +0.0259 GDxt (9.27)(-10.0) (17.9) R2 = 0.92, s.e. = 0.19, DW = 1.99 (1969-1998)由(9.23)式，因为 b0 (1 -1.186 + 0.467) = -3.246 b0 = -11.55所以，原模型的广义最小二乘估计是 Lnyt = -11.55 + 0.0259 xt 【案例3】（file:china）中国宏观消费分析下面通过建立宏观消费计量经济模型进一步分析我国消费与国民收入的定量关系。（以下所用数据（1952-2002）均以不变价格（1952 = 1）计算。）1952-2002年国内生产总值与消费额散点图见图2.1。说明消费与国内生产总值之间存在高度的线性关系。用CPt表示消费额（不变价格），GDPt表示国内生产总值（不变价格），用1952-2002年数据得消费函数的OLS估计结果如下：= 164.0124 + 0.5919GDPt (9.28) (5.2) (159.9) R2 = 0.998, DW = 0.67, s.e. = 167.45以上模型的DW值很小，严格地说模型存在自相关。为消除自相关（r = 0.67），对变量进行广义差分。定义 GCPt = CPt - 0.665 CPt-1 GGDPt = GDPt - 0.665 GDPt-1 得估计的回归模型为， = 45.4845 + 0.