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第一章 行列式1. 1. 排列的逆序数是，那么如何来确定它的奇偶性?解答：我们可以看一下这个排列的奇偶性随着的变化情况，然后找出规律。0，偶排列；，奇排列；，奇排列；，偶排列；，偶排列；，奇排列可以看出，奇偶性的变化以4为周期，因此我们可以总结如下：当或时, 是偶数，所以排列是偶排列,当或时, 是奇数，所以排列是奇排列.2行列式定义最基本的有哪些？答：行列式定义最基本的有以下两种：第一种方式：用递推的方式给出，即当时，规定；当时，规定其中为中去掉元素所在的行和列后得到的阶行列式，称为中元素的余子式，称为的代数余子式。第二种方法：对阶行列式用所有项的代数和给出，即其中为自然数的一个排列，为这个排列的逆序数第一种方式的思想是递推，其实质也是“降阶” ，在实际计算行列式中有着重要的应用。第二种方式的思想是对二阶、三阶行列式形式的推广，更利于理解行列式的性质。3行列式的主要问题是什么？答：行列式的主要问题就是计算行列式的值，其基本方法是运用行列式性质，化简所给行列式而计算之。4对阶行列式的计算，常用的方法有哪些？答：对于阶行列式的计算，其基本方法和技巧是“化零”和“降阶”。常用的方法有：(1) (1) 定义法：直接利用行列式的定义进行计算；(2) (2) 利用行列式的基本性质化为三角形行列式计算法，包括上、下三角行列式；(3) (3) 降阶法：利用按行（列）展开定理化行列式为较低阶行列式的计算；(4) (4) 数学归纳法：应用行列式的性质，把一个阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式，再根据此关系式应用数学归纳法，递推求得所给阶行列式的值；(5) (5) 公式法：利用已知行列式进行计算，其中最重要的已知行列式是范德蒙行列式.(6) (6) 升阶法：对于某些特殊类型的行列式，采用升阶的方法更易于计算或证明。这种方法应用的不是很多。以上方法中，前4种方法应用的比较多，也是最基本的方法，同学们应该在实际的练习过程中，认真体会，掌握要领。5三阶行列式，那么四阶行列式为什么就不对呢？解答：对于二阶和三阶行列式，所谓的对角线法则可以应用，但是对于四阶及其更高阶的行列式，对角线法则就不适用了，其错误就在于将对角线法则应用到四阶行列式上去了。按照行列式的定义，该行列式中除这一项外，其余的项全为零，而这一项的符号应该是，因此这个行列式应等于。6克莱姆法则适用于什么样的线性方程组？答：克莱姆法则适用于方程的个数与未知数的个数相等的线性方程组。对于元非齐次线性方程组，当系数行列式时，有唯一解，当系数行列式时，该法则失效，此时方程组可能有解，也可能无解；而对于元齐次线性方程组，当系数行列式时，有唯一零解，当系数行列式时，齐次线性方程组有无穷多解。克莱姆法则在理论上的意义重大，但是对于具体的线性方程组求解，需要计算个阶行列式，计算量较大，往往用初等变换的方法更为有效。行列式典型例题分析1设排列的逆序数为r，试计算的逆序数。解答：任取两个数和，如果它们在中构成逆序，则在中就不构成逆序，反之亦然，在个数中任意取两个不同的数共有种取法，因此因此，2设四阶方阵，其中E是4阶单位矩阵。求： 的系数；的系数； 常数项。解答：为4阶行列式， 它的每一项应是取自不同行和不同列的四个元素的乘积，因此 含的项为：，因此的系数为1。含的项为：可见的系数为。 常数项即为时的值：。 3计算n阶行列式 解 因为在行列式Dn中除了第n行外，其余的每一行只有一个非零元素，由n阶行列式的定义可知，Dn只含一项，其中元素的下标（第n个数的第一个下标）正好是它们的行指标，已是一个标准的排列，而它们所在列的下标构成的排列为；这个排列的逆序数；故4计算行列式（1） （2）解答：计算行列式的关键是观察所给行列式的特点，然后利用行列式的性质，化简该行列式，使之出现较多的零，以利于计算。（1） （1） 最后一行乘加到第三行，然后第三行乘加到第二行，然后第二行再乘加到第一行，得到第一行加到第三行，然后第四行再乘加到第三行上，得到，第一与第二行互换，第三行与第四行互换，得到（2）第一行乘加到第二行，第三行乘加到第四行，得到5设四阶行列式、中第一列的元素不同，而其余三列的元素完全相同，并且，求行列式的值。解：设、，于是406算阶行列式解答：该行列式的特点所有的列相加后得到一个相同的值。将第2列至第列加到第一列，然后提出共因子，则类似地，常见的计算题，如，7计算阶行列式解：把所有第列的倍加到第一列，得这一类行列式的特点是通过某一列（行）乘上一个适当的数加到另一列（行）上去，可以得到一个上（下）三角形行列式。例如，都可以经过简单变形，化简为具有上述特点的行列式。8计算阶行列式解答：利用行列式拆行（列）的方法。对第一个行列式把第行的倍加到第行，则有 （1）由的对称性，可得 （2）当时，由（1），（2）得 当时，直接由（1）递推得 类似地，形如行列式 等等，均可由上例导出。 9. 证明下列各式（1） （2）证（1）第一行乘加到第二行，然后第二行再乘加到第三行，依此类推，得到注：本题也可以采用数学归纳法来证明，具体证明过程可参考（2）的证明过程。（2）利用数学归纳法来证明 当n = 1时，结论成立. 假设当时，结论也成立，即 设时，将行列式按第行展开，有10. 计算阶行列式解：将行列式与范德蒙行列式的形式加以比较得，缺少，而多了。如果适当地加上一行，再适当地加上一列就可构成一个范德蒙行列式。考虑阶范德蒙行列式中元素的余子式即为原行列式。又 由于只在中出现，并且与无关，所以的系数为：，故11计算下列2n阶行列式其中未写出的元素均为零.解答：利用行列式按行展开公式，将第一行展开，有显然，再由上面的递推公式，可以得到12设是个互不相同的数，是任一组给定的数，用克莱姆法则证明：存在唯一的多项式使证明：我们只要能够证明满足条件的多项式的系数唯一即可。考虑线性方程组 （1）它是关于这这个未知数的方程组，其系数行列式为：为范德蒙行列式的转置行列式，故，由于互不相同，因此方程组（1）有唯一解，从而存在唯一的多项式使13某工厂生产甲、乙、丙三种钢制品，已知甲、乙、丙三种钢材利用率分别为：60%、70%与80%，年进货钢材总吨位为100吨，年产品总吨位为67吨，此外甲、乙两种产品必须配套生产，乙产品成品总重量是甲产品成品总重量的7