第2章 泛函的极值.doc

第2章 泛函的极值在讨论泛函的极值以前, 我们先来回顾一下函数的极值问题。2.1函数的极值性质2.1.1 函数的连续性任意一个多元函数, , 如果, 当 (或者说)时, 有那么, 我们称在处是连续的, 记为。2.1.2 函数的可微性更进一步, 如果存在, 使得那么我们称在处是可微的, 或者说存在(一阶)导数,记为或者记为其中为梯度算子(或者Hamilton算子, 见附1)。同理, 可以定义该函数的两阶导数及更高阶导数。 这里也称为Jacobi矩阵。如果函数在某点足够光滑, 那么我们就可以在该点附近把函数作以下的展开其中为高阶小量, 分别为函数的一阶微分和两阶微分。换个角度来看, 如果其中为的线性函数, 而为的两次函数, 那么为的一阶微分, 为的两阶微分。2.1.3 函数的极值对于足够小的, 如果，总有, 那么我们称在有极大值。 如果，总有, 那么我们称在有极小值。这里为的邻域。如果在某一点附近足够光滑, 那么在有极值的必要条件为或者说更进一步, 如果, 那么在有极大(小)值的充分条件为或者说是其中表示是负定矩阵。2.2泛函的极值2.2.1函数的邻域定义在区间上的函数的一阶邻域定义为: 对于, 始终满足我们称同时满足上述两式的函数的集合是的一阶邻域。同样可以定义函数的高阶邻域。2.2.2泛函的极值变分引理: 如果函数, 对于在上满足的、足够光滑的任意函数, 如果总是成立 那么在必有 证明: 用反证法。 假设有使得, 不失一般性设 。由, 一定存在, 使这样我们总可以构造下面一个连续函数 其中 可以证明 这样 显然与引理条件矛盾, 所以对于任意的都有 以上结果容易推广到二维或更高维的情形。如果泛函在的一阶邻域内都不大(小)于, 那么我们称泛函在有极大(小)值。 也就是说, （2.2.1）使取到极值的函数称为极值函数。下面从最简单的泛函来讨论使泛函取到极值的必要条件。 如果使取到极值, 则对于的一阶邻域内的函数应有或者现在用变分引理导出泛函取极值的必要条件。取由于, 因此当足够小的时候, 属于的邻域。当以及给定以后, 应该是关于的函数因为在处取极值, 应该是的极值点。根据函数极值的必要条件这就意味着如果令那么有考虑到的任意性，根据变分引理有 （2.2.2）这就是该泛函极值问题的Euler方程。 如果只限定、而放松处的要求，则定义域 （2.2.3）若是泛函在上的极值，限定则必是泛函在上的极值，根据（2.2.2）有 (2.2.4)代入（2.2.3）并考虑的任意性可得 (2.2.5)要使在处取极值, 那么意味着必须同时满足（2.2.4）和（2.2.5）对于更一般的泛函我们同样可以得到下面的泛函极值定理。定理2.1 如果泛函在上达到极值，那么泛函在上的一阶变分满足证明：根据泛函极值的定义，如果泛函在上达到极大值, 那么必定存在的一个领域, 对于该领域内的任何一个函数, 使得泛函的增量不变号, 由前面的推导(1.4.6)其中显然, 当充分小时, 的符号由部分确定。如果, 我们总是可以调整的符号使得改变符号, 这与假设矛盾。 因此是泛函有极值的必要条件。尽管不是泛函有极值的充分条件，但往往仍有意义。对于仅仅满足的泛函，我们称在该点取驻值。2.2.3 泛函的Euler方程由泛函所得到的微分方程（包括边界条件）称为泛函的Euler方程。例2.1的Euler方程为例2.2得到上式称为Sturm-Liouville方程。结合边界条件, 构成第一边值问题的Sturm-Liouville问题。例2.3上述泛函可以写成 其一阶变分为 根据格林公式有 当边界上值给定时, ，可以得到相应的Euler方程 这是一个Laplace 方程。如果只在部分边界上给定函数值，这里，则除上述的Laplace 方程外还应满足例2.4 其中及其法向导数在的边界上给定。泛函的一阶变分为 由于 根据格林公式, 由于及其法向导数在的边界上给定, 即，所以有 从而当泛函取极值时, 根据变分引理1得到 也就是这是一个双调和方程。例2.5其中在一部分边界（）上给定：。泛函可以写成 其一阶变分为 当泛函取极值时, 根据变分引理2得到对应的Euler方程为 这是一个Poisson 方程。2.3 泛函的条件极值问题2.3.1 函数的条件极值问题与Lagrange乘子假设求极值的函数为 相应的约束条件为 （2.3.1）首先, 自变量的微分必须满足约束条件, 也就是说 这意味着 （2.3.2）也就是说必须与每个约束函数的梯度正交。对于极值函数, 如果在某点的梯度满足 那么, 沿着满足约束条件的方向有该点也就是条件极值点。反之, 如果要求沿着满足约束条件的方向有必须有 这样, 就有 （2.3.3）而 （2.3.4）所以对于约束极值问题, 我们可以通过引进拉格朗日乘子来构造一个新的函数，可以把原来的条件极值问题转化为新函数的无条件极值问题。2.3.2 存在代数约束下的泛函极值泛函为 （2.3.5）约束条件 （2.3.6）注意上述约束是上的恒等式，所以引入的是Lagrange函数、而不是Lagrange乘子。可以通过引进Lagrange函数,把它转化成下面新泛函的无条件极值问题 （2.3.7）这里Lagrange函数是新泛函的自变函数，相应的Euler方程为 , （2.3.8）以及 , 这样共有个方程(恒等式)来决定个未知函数。例3.6 第1章的短程线问题 , 新的泛函为 相应的Euler方程为 2.3.3 存在微分约束下的泛函极值泛函为约束条件 （2.3.9）上述约束仍是上的恒等式，通过引进Lagrange函数, 把它转化成下面新泛函的无条件极值问题 （2.3.10）这里Lagrange函数是新泛函的自变函数. 相应的Euler方程为 , （2.3.11）以及 , 2.3.4 存在积分约束下的泛函极值泛函为约束条件为 （2.3.12）注意：与前面不同，这里约束条件为个数值等式，而不是恒等式。从而可以通过引进Lagrange乘子（而不是函数）, 把它转化成下面新泛函的无条件极值问题 （2.3.13）与新变分问题对应的Euler方程为 , （2.3.14）以及 注意，现在有个微分方程(恒等式)和个数值等式, 去决定个未知函数和个未知数。例2.7 悬索问题。 已知空间两点A, B以及一条长为的绳索, 假定绳索的长度不可改变, 而弯曲刚度是可以忽略不计。现把绳索的两端悬挂在AB两点, 求平衡时候绳索的形状。取和最速降线问题一样的坐标系（图1.2）, 记绳索的方程为 那么边界条件为 绳索的长度满足 根据最小势能定理, 在平衡状态下绳索的势能最小 其中是绳索单位长度的质量。也就是说 为了求得上述的条件极值问题, 我们引入新的泛函 由新泛函的极值条件得到 例2.8 等周问题为一积分约束下的变分问题. 例2.9 在约束条件 下使泛函 取极值的函数满足Euler方程 当时，Euler方程为 这是个特征值问题。 约束条件表示的是一个归一化条件。在后面我们会详细讨论该问题。2.4 变分问题中的边界条件图2.1可动边界下面我们讨论泛函 极值问题中的边界条件。如果该泛函自变函数的边界位置为，那么相应的边界条件可以分为：(1) 固定边界: 边界位置固定，边界上函数值固定，；(2) 自由边界: 边界位置固定，边界上函数值自由，固定，自由；(3) 可动边界: 边界位置不定，边界上函数值不定，不定，也不定；(4) 约束边界: 边界在固定的曲线(或者曲面)上，。自由边界条件可视为特殊的约束边界条件：。也可以考虑混合组合，譬如一端是固定的、另一端是自由的，等等。为简单起见，假设在处是固定边界，是自由、可动或约束边界，而泛函为这里表示泛函自变量为自变函数y和边界的位置。计算 (2.4.1)由可得 (2.4.2) (2.4.3) (1) 是自由边界此时，(2.4.3)式变成 (2.4.4)(2) 是可动边界:注意到 (见图2.1) 代入(2.4.3)，则边界条件变为 (2.4.5)这样可得处的边界条件 (2.4.6) (3) 是约束边界: 边界在固定的曲线(或者曲面)上，, 此时 考虑到(2.4.5), 可得(约束)边界条件 (2.4.7)加上约束边界函数 (2.4.8)即得处的完整的边界条件。象自由边界条件(2.4.4)、可动边界条件(2.4.6) 和约束边界条件中(2.4.7) 可以通过泛函取驻值()得到，我们称为自然边界条件。反之，固定边界条件和约束边界条件中(2.4.8) 是泛函定义域中规定了的，我们称为固定边界条件。控制方程(2.4.2) 和自然边界条件合称为Euler方程。例2.10 其一阶变分为根据得到Euler方程 及自然边界条件 例2.11 左端在处固定, 右端在上移动。在右端要求满足 所以在右端有 例2.12 ；左端，而右端在上移动 （a）控制方程为所以极值曲线为 (b)由于 在右端边界上满足条件考虑到 所以有 (c)由(a) 、(b) 和(c) 可解答即a为满足上述三次方程的一个实根，从而可以得到。也可以通过引进Lagrange乘子把固定边界问题转换成自由边界问题，如 新泛函为 2.5 Hamilton原理以相空间作为描述对象，一个力学系统的动能可以表示为其中，为广义坐标，为广义速度。势能可以表示为定义Lagrange函数为 （2.5.1）定义Hamilton泛函为 （2.5.2）Hamilton原理：给定初始时刻以及终止时刻的状态（位置），在所有可能的运动中，真实的运动应该使得Hamilton泛函取极小值，也就是说 （2.5.3） （2.5.4）例2.13 弹簧的自由振动问题 Hamilton泛函的变分为 由极值条件得到运动方程为例2.14 单摆。为均匀摆杆的（线）密度，是小球的质量，是摆杆长。图2.2单摆和双摆左图中单摆 至于右图中的双摆问题，留作读者自行解决。例2.15：Euler-Bernouillie梁