矩阵力学的发展.doc

矩阵力学的发展1925年， Werner Heisenberg, 出生的最大和 Pascual乔丹 公式化了量子力学的矩阵力学表示法。突然显现在Heligoland1925年Werner Heisenberg工作， Gttingen在计算的问题 鬼线 氢. 在1925年5月前Heisenberg开始设法描述原子系统 可测 只。 在6月7日，逃脱一次坏攻击的作用 花粉症Heisenberg动身去花粉自由 北海 海岛 Heligoland. 当那里Heisenberg，在登山和学会由心脏诗之间从时 Goethes 西部stlicher Diwan继续考虑鬼问题和最终体会采取的那 非通勤 可测也许解决问题，并且他以后写了1当演算的决赛成绩在我之前时，放置“它是大约三时在晚上。 起初我深深地被震动了。 我是很激动的我不可能认为睡眠。 如此我在岩石的上面离开了房子并且等候日出。“三张纸在Heisenberg以后返回 Gttingen他显示了 Wolfgang Pauli 他的演算，评论：2“一切是隐晦和不明的对我，但它似乎，好象电子在轨道不愿没有其他移动”。在7月9日Heisenberg给了他的演算同一张纸最大负担，说：他写了一张疯狂的纸，并且不敢为出版物送它，并且出生应该读它和劝告他对此。在出版物之前。 Heisenberg有一阵子然后离去了，留给被负担分析本文。3在本文， Heisenberg公式化了量子论，不用锋利的电子轨道。 Hendrik Kramers 在及早计算了相对强度鬼线 Sommerfeld模型 通过解释 傅立叶系数 轨道作为强度。 但他的答复，象其他演算在 老量子论只是正确的为 大轨道.Heisenberg，在与Kramers的合作以后，开始了解蜕变概率不是相当古典数量，因为出现于的唯一的频率 傅立叶系列 应该是在巨大突破被观察的那个，不是来自傅立叶分析的锋利的古典轨道的虚构部分。 他用系数矩阵，傅立叶系列的一个fuzzed量子类似物替换古典傅立叶系列。 古典地，傅立叶系数给散发的辐射的强度，因此在量子力学矩阵元的巨大是强度鬼线。数量在Heisenberg的公式化是古典位置和动量，但他们尖锐不再现在被定义了。 每个数量由收藏品代表 傅立叶系数 以二个索引，对应于最初和最终状态。4 当出生读本文，他认可了公式化作为可能被抄录和延伸到矩阵系统的语言的一个，5 哪些他从他的研究学会了在Jakob Rosanes之下6 在 Breslau大学. 出生，在他的助理和从前的学生帮助下 Pascual乔丹立刻开始做副本和引伸，并且他们为出版物递交了他们的结果; 本文为出版物被接受了60天在Heisenberg的纸以后。7 第二代产品纸为出版物递交了在年底之前由所有三位作者。8 (出生角色A简要的回顾在发展的 矩阵力学 量子力学的公式化与介入可能性高度的non-commutivity的关于关键惯例的讨论一起在文章上可以被发现由杰里米 Bernstein。9 一个详细的历史和技术帐户在Mehra和Rechenberg的书可以被发现 量子论的历史发展。 容量3。 矩阵力学的公式化和它的修改1925-1926。10)直到这时间，物理学家很少使用矩阵，他们被考虑属于理论数学领土。 Gustav Mie 1912年在一张纸在电动力学使用了他们1921年，并且负担在他的在水晶的格子理论的工作使用了他们。 当在这些情况下时使用了矩阵，矩阵代数以他们的增殖没有进入图片，他们在量子力学的矩阵公式化做了。11 出生，然而，学会了矩阵代数从Rosanes，如已经被注意，但负担也学会了积分方程和二次方形式的Hilbert的理论为可变物的一个无限数字象从引证明显的由出生Hilbert的工作 Grundzge einter allgemeinen Theroire der Linearen Integralgleichungen 1912年出版。12 13 乔丹，太为任务是装备精良的。 几年，他是助理 理查Courant 在Gttingen在Courant的准备和 大卫Hilbert的 书 Methoden der mathematischen Physik I被出版 1924.14 这本书，偶然性地，包含了一伟大许多数学工具必要为量子力学的持续的发展。 1926年， John Von Neumann 变得辅助 大卫Hilbert和他会形成术语 希耳伯特空间 描述用于量子力学的发展的代数和分析。15 16Heisenberg的推理在矩阵力学之前， 老量子论 由一条古典轨道描述了微粒的行动 x(t),P(t) 以制约时间积分式在一动量的T计时速度必须是正面整数倍数 Planck的常数当这个制约正确地选择轨道与或多或少权利能量价值时 En老量子机械形式主义没有描述非定常过程，例如辐射的放射或吸收。当一个古典微粒微弱地被结合对辐射圃，因此辐射性阻止可以被忽略，它将散发 辐射 在重覆自己每个轨道周期的样式。 组成辐射波的频率是然后轨道频率的整数倍数和这是事实的反射X (t)是周期性的，因此它 傅立叶表示法 有频率 2n / T 只。系数 xn 是复杂形势。 那个以消极频率必须是那个的复杂共轭以正面频率，因此X (t)总将是真正的，. 量子机械微粒，另一方面，不可能连续散发辐射，它可能只散发光子。 假设，量子微粒在轨道数字n开始了，散发光子，然后结束在轨道数字m，光子的能量是 En Em，因此它意味着它的频率是 (En Em) / h.为大n和m，但以n-m相对地小，这些是古典频率 Bohrs 对应原理在上面惯例， T 是任一条轨道的古典期间 n 或轨道 m，因为他们之间的区别高次 h. 但为 n 并且 m 小，或者，如果 n m 是大，频率不是整数倍数的其中任一单频率。因为微粒散发的频率是相同象频率在它的行动的傅立叶描述，这建议那 某事 在微粒的非定常描述摆动以频率 (En Em) / h . Heisenberg告诉这个数量 xnm和要求它应该减少到古典 傅立叶系数 在古典极限。 为n的大价值， m，但以n-m相对地小， xnm 古典行动的(n-m) th傅立叶系数在轨道n。 从那以后 xnm 有在频率对面 xmn情况X是真正的成为：. 由定义， xnm 只有频率 (En Em) / h，因此它的时间演变是简单的：. 这是Heisenberg的运动方程的原始的形式。给出二个列阵 xnm 并且 Pnm 描述二个物理量， Heisenberg可能通过结合期限形成同一个类型的新的一些 xnkPkm也摆动以正确的频率。 从 傅立叶系数 二个数量产品是 卷积 分开每一个的傅立叶系数，书信以傅立叶系列允许Heisenberg推论应该乘的规则列阵：被指出的出生这是矩阵增殖法律，因此位置，动量，能量，所有可测的数量在理论上，被解释作为矩阵。 由于增殖规则，产品取决于命令： XP是与PX不同。X矩阵是量子机械微粒的行动的一个圆满的描述。 由于频率在量子行动不是一个共同的频率的倍数，矩阵元不可能被解释作为 傅立叶系数 一条锋利的古典弹道。 然而，作为矩阵， x(t) 并且 P(t) 满足古典运动方程。进一步讨论当介绍了它 Werner Heisenberg, 出生的最大 并且 Pascual乔丹 1925年，矩阵力学立刻未被接受并且是巨大争论的来源。 Schrdinger的最新介绍 波动力学 倾向了。一部分的原因是Heisenberg的公式化在一种奇怪的新的数学语言，而Schrdinger的公式化根据熟悉的波动方程。 但也有一个更加深刻的社会学原因。 量子力学由二个道路，一在爱因斯坦指导下和其他开发在Bohr指导下。 而Bohr强调了分离能态和巨大突破，爱因斯坦强调了挥动微粒双重性。 DeBroglie在爱因斯坦的框架显示了如何再生产分离能态- 量子情况是定波情况，并且这给了希望那些在爱因斯坦学校量子力学的所有分离方面将被归入入一个连续波机械工。矩阵力学，另一方面，来自Bohr学校，与分离能态和巨大突破有关。 Bohr的追随者根本没有赞赏生动描述电子作为波浪的物理模型，或者作为任何东西。 他们喜欢集中于直接地连接到实验的数量。在原子物理， 分光学 给了关于出现从原子的互作用的原子转折的观察上的数据与光 量子. Bohr学校要求原则上可测量由分光学仅的那些数量在理论上应该出现。 这些数量包括能级和他们的强度，但他们在它的Bohr轨道不包括微粒的确切的地点。 想象可能确定的实验是非常坚硬的一个电子在氢原子的地面情况是否是在右边或在中坚力量左边。 它是深信这样问题没有一个答复。矩阵公式化在所有物理的前提被建立了 可测 由二个不同能级标注元素的矩阵代表。 套 本征值 矩阵最终被了解是可测可能有的套所有可能的价值。 因为Heisenberg的矩阵是 厄米本征值是真正的。如果可测被测量，并且结果是某一本征值，对应 特征向量 是系统的状态在测量之后。 测量行动在矩阵力学崩溃系统的状态。 如果您同时测量二可测，系统的状态应该崩溃到二可测的一个共同的特征向量。 因为多数矩阵没有任何特征向量共同兴趣，多数可测不可能精确地同时被测量。 这是 不确定原理.如果二个矩阵分享他们的特征向量，他们可以同时diagonalized。 在依据，他们是都对角线，它是确切他们的产品不取决于他们的顺序，因为对角矩阵的增殖是数字的正义增殖。 不确定原理然后是事实二个矩阵A和B总不通勤， B到B A的后果必要不均等0。 矩阵力学的著名交换关系：表示，没有状态哪些同时有确定位置和动量。 但不确定性的原则(也叫 互补性 由Bohr)为多数其他对可测也是举行。 例如，能量不通勤以位置，因此精确地确定电子的位置和能量在原子是不可能的。1925年， Werner Heisenberg不是24年。诺贝尔奖1928年， Albert Einstein 被提名的Heisenberg，出生和乔丹为 诺贝尔奖在物理,17 但它不是。 诺贝尔奖的公告在物理为 1932 被延迟了直到11月 1933.18 那时是它是宣布的Heisenberg赢取了奖在1932年“为量子力学的创作，应用，其中，特别，导致了在氢的营业异常的形式的发现上”19 并且 Erwin Schrdinger 并且 保罗Adrien Maurice Dirac 分享了1933奖“为在原子学说的新的有生产力的形式的发现上”。20 一能确实问1932年为什么出生未与Heisenberg一起被授予奖？ Bernstein在这个问题上给一些猜想。 他们中的一个与乔丹加入有关 纳粹 在 5月1日, 1933 并且成为的a 突击队员.21 因此，乔丹的党籍和出生的乔丹的链接也许那时影响了出生的机会在奖。 Bernstein也注意到，当1954年出生赢取了奖，乔丹活，并且奖为量子力学的统计解释单独被授予了，可归属对出生。22Heisenberg的反应对出生为接受奖在1932年的Heisenberg和对出生为出生接受奖在1954也是教育的在评估出生是否应该与Heisenberg分享了奖。 在11月25日， 1933出生从他说的Heisenberg收到了一封信他在文字在合作被延迟了由于“坏良心”那他们独自接受了奖“为在Gttingen完成的工作-您，乔丹和I.” Heisenberg认为对量子力学的出生和乔丹的贡献不可能被“一个错误决定改变从外面”。23 1954年， Heisenberg写了一文章尊敬 最大Planck 1900年为他的洞察。 在文章， Heisenberg相信出生和乔丹为矩阵力学和Heisenberg的最后的数学公式化注重多么伟大他们的贡献是对量子力学，不“充分地被承认的公众熟悉”。24数学发展一旦Heisenberg介绍了矩阵为X和P，他可能由猜测在特殊情况下发现他们的矩阵元，引导由 对应原理. 因为矩阵元是量子机械类似物 傅立叶系数 古典轨道，最简单的案件是 泛音振荡器X (t)的地方和P (t)是正弦的。泛音振荡器在单位，振荡器大量和频率是相等的到一个，振荡器的能量水平集合 H是轨道，并且他们是被筑巢的圈子。 古典轨道以能量E是：老量子情况 说P dX积分式在轨道，是圈子区域在拓扑空间，必须是整数倍数 Planck的常数. 半径圈子的区域 是 2E 如此或者，在长度单位， 是你，能量是整数。傅立叶组分 x (t) 并且 P (t) 如果他们被结合入数量，是非常简单的，更加：两个 并且 有一只单频率，和 x 并且 P 能从他们的总和和区别恢复。从那以后 A(t) 有一个古典傅立叶系列以仅最低的频率和矩阵元 Amn 是古典轨道，矩阵的(m-n) th傅立叶系数为 是仅非零的在线上面对角线，在哪里它是相等的 . 矩阵为 只同样是非零的在线在对角线之下，与同样元素。 重建X和P从 并且 :哪些，由单位决定选择，是Heisenberg矩阵为泛音振荡器。 注意两个矩阵是 厄米，因为他们从真正的数量傅立叶系数被修建。 发现 x(t) 并且 P(t) 是简单的，因为他们是量子傅立叶系数，因此他们简单地演变以时间。矩阵积 x 并且 P 不厄米，而是有真正和虚构的part。 真正的部分是一个一半相称表示 (xP + Px)，而虚构部分与换向器是比例 x,P = (xP Px). 明确地核实那是容易的 (xP Px) 在泛音振荡器情况下，是 i乘以 身分. 核实矩阵也是容易的是a 对角矩阵与 本征值 E_i.能源节约泛音振荡器是太特别的。 以至于不能确切地发现矩阵是太容易的，并且以至于不能发现普通保险条款从这些特殊格式是太坚硬的。 为此， Heisenberg调查了非谐和性的振荡器，与 汉密尔顿在这种情况下， x 并且 P 矩阵不再是简单的对角矩阵，因为对应的古典轨道轻微地被压并且被偏移，因此他们有 傅立叶系数 以每个古典频率。 要确定矩阵元， Heisenberg要求古典运动方程被服从当矩阵等式：他注意了，如果这可能是然后完成的H被考虑作为X和P的矩阵作用，将有起始瞬间衍生物。那里 A * B 是 相称产品. 假设所有对角元素有一个非零频率; H是恒定的暗示H是对角的。 它是确切对在这个系统，能量在一个任意量子系统可能确切地被保存的Heisenberg，一个非常鼓励信号。放射的光子的过程和吸收似乎要求能源节约将举行最好平均。 如果确切地包含一个光子的波浪通过在有些原子，并且他们中的一个吸收它，原子需要告诉其他他们不可能再吸收光子。 但，如果原子是远单独的，任何信号不可能到达其他原子及时，并且他们也许导致无论如何吸收同一个光子和消散能量对环境。 当信号到达了他们，其他原子会莫名其妙地必须 回忆 那能量。 这个矛盾带领了 Bohr、Kramers和铺瓦工 摒弃确切的能源节约。 Heisenberg的形式主义，当延伸包括电磁场时，明显地打算横跨一步这个问题，理论解释将介入的提示 wavefunction崩溃.分化把戏-标准交换关系要求古典运动方程被保存不是确定矩阵元的一个足够强的情况。 Planck的常数没出现于古典等式，因此矩阵能为许多不同的价值被修建 并且仍然满足运动方程，但用不同的能级。如此为了实施他的节目， Heisenberg需要使用 老量子情况 要修理能级，然后填装矩阵与 傅立叶系数 古典等式，然后修改矩阵系数，并且确定古典等式的轻微能级是满意的。 这不清楚地是令人满意的。 老量子条件提到锋利的古典轨道附寄的区域，不存在于新的形式主义。Heisenberg发现的最重要的事是如何翻译 老量子情况 入一个简单语句在矩阵力学。 要做此，他调查作用积分作为矩阵数量：有几个问题以这个积分式，所有源于矩阵形式主义的不协调性与轨道的老图片。 T您应该使用哪个期间？ Semiclassically，它应该是二者之一 m 或 n，但是区别是命令 h 并且我们要答复命令 h. 量子情况告诉我们那 Jmn 是 2n 在对角，事实J是古典地常数然后告诉我们对角元素是零。他关键的洞察是区分量子情况关于 n. 这个想法在古典极限只有完全道理， n 是没有整数，而是连续的 作用变数 J，但是Heisenberg进行了近似操作与矩阵，中间表示是有时分离区别和有时衍生物。 在以下讨论中，为清晰，分化在古典可变物将进行，并且与矩阵力学的转折使用对应原理之后完成。在古典设置，衍生物是衍生物关于定义了J积分式的J，因此它是tautologically相等的到1。那里在附近的轨道应该解释衍生物dp/dJ dx/dJ作为区别关于J在对应的时刻，确切地什么您会得到，如果您区分了 傅立叶系数 轨道行动。 这些衍生物是symplectically正交的在拓扑空间对时间衍生物dP/dt dX/dt。 最后的表示是通过介绍可变物标准共轭澄清的到J，称 角度可变物 . 衍生物关于时间是衍生物关于 由因素决定 2/ T.如此量子情况积分式是平均值一个周期的 泊松托架 X和P。 P dX傅立叶系列的一个近似分化显示出，泊松托架的对角元素是全部零。 二标准地共轭可变物泊松托架，例如X和P，是恒定的价值1，因此这个积分式真正地是平均值的1，因此它是1，如同我们一直知道，因为它终究是dJ/dJ。 但Heisenberg，出生和乔丹没有熟悉泊松托架的理论，因此为他们，在J有效地评估的X， P分化 座标。泊松托架，不同于作用积分，有一个简单转换对矩阵力学- 它是二可变物产品，换向器的虚构部分。 要看此，审查二个矩阵A和B产品在书信极限，矩阵元慢慢地变化索引的作用，记住答复是零古典地。在书信极限，当索引 m n 大和附近，当时 k,r 是小的，矩阵元的变动的率在对角方向是矩阵元的 J 对应的古典数量的衍生物。 如此我们可以使用惯例转移所有矩阵元对角地：那里右边是真正地仅(m-n) th傅立叶组分(dA/dJ)在轨道在m附近到这准古典式顺序，不是一个充分的明确定义的矩阵。矩阵元的准古典式时间衍生物获得由i决定因素通过乘以从对角线的距离，从系数 Am(m + k) 是semiclassically mth古典轨道的kth傅立叶系数。A和B产品的虚构部分可以通过转移矩阵元以便再生产古典答复评估，是零。 转移整个地然后给主导的非零残余。 因为所有矩阵元在安排一小与大索引位置疏远的索引 (m,m)它帮助介绍二个临时记法： Ar,k = A(m + r)(m + k)为矩阵，和 (dA / dJ)r 为古典数量rth傅立叶组分。翻转总和可变物在第一个总和从r到r= k-r，矩阵元成为：并且它确切主要部分取消。 主导的量子零件，忽略衍生物高次产品，是哪些可以被辨认当i时间泊松托架的kth古典傅立叶组分。 Heisenberg的原始的分化把戏最终延伸到量子情况的充分的准古典式派生与出生和乔丹合作。一旦他们能建立那：这个情况被替换的和延伸的 老量子化 统治，允许P和X的矩阵元为了从形式能将简单地确定的一个任意系统的汉密尔顿。 新的量子化规则假设是普遍地真实的，即使派生从 老量子论 必需的准古典式推理。状态向量-现代量子力学要做与现代量子力学的转折，最重要的进一步加法是 量子态传染媒介现在写 是传染媒介矩阵行动。 没有状态向量，特殊行动Heisenberg矩阵描述的它不是确切，因为他们包括所有行动某处。状态向量的解释，组分被写 m给出生。 解释是统计的： 物理量的测量的结果对应于矩阵A的是任意的，以平均值相等二者择一地和等效地，状态向量给 可能性高度 i 为量子系统在能态i。 一旦介绍了状态向量，矩阵力学可能被转动到所有依据， H矩阵不再是对角线。 Heisenberg运动方程以它的原物形式声明那 Amn 及时演变象傅立叶组分哪些可以被重铸以有差别的形式并且它可以被再声明，以便它是真实的在一个任意依据通过注意到， H矩阵是对角的以对角价值 Em:这现在是矩阵等式，因此它在所有依据举行。 这是Heisenberg运动方程的现代形式。 正式解答是：运动方程的所有形式上面认为同一件事，那A (t)与A (0)是相等的由依据自转决定由 单一 矩阵 eiHt. 通过转动为状态向量的依据在每次 eiHt您在矩阵能解开时间相依。 矩阵现在是时间独立，但状态向量转动：这是 Schroedinger等式 为状态向量和依据的非定常变动是变革对 Schroedinger图片.在 量子力学 在 Heisenberg图片 状态向量, 不改变以时间和可测 A 满意额外期限是为操作员象 A = (x + t2P) 哪些有明确时间相依除时间相依之外从单一的演变。 Heisenberg 图片与空间不区别时间，因此好为 相对论性 理论。而且，相似性 古典物理 是更加显然的： 汉密尔顿的运动方程为经典力学通过替换恢复 换向器 在由之上 泊松托架.由 石头冯Neumann定理Heisenberg图片和 Schrdinger图片 单一地是等值。参见 Schrdinger图片.进一步结果矩阵力学在范围迅速地开发了成现代量子力学，并且给了兴趣的物理结果原子。波动力学乔丹注意到，交换关系保证p作为一微分算子，并且来了非常紧挨公式化Schrdinger等式。 身分允许p换向器的评估以x的所有力量，并且它暗示那哪些，与线性一起，暗示p换向器区分x.的所有分析矩阵作用。 傲慢的极限易察觉地被定义，这将延伸到任意作用，但引伸不需要使成为明确，直到需要某一程度数学严厉。因为x是一个厄米的矩阵，它应该diagonalizable，并且它从每个实数可以是本征值p的最后的形式将是清楚的。 因为有一个分开的特征向量为每点在空间，这使一些数学微妙。 在依据， x是对角的，一个任意状态可以被写作为状态的叠置以本征值x ：并且操作员x乘每个特征向量以x。定义区分的一个线性操作符D :并且注意那：因此操作员- iD服从交换关系和p.一样。 p之间的区别和- iD必须通勤与x。如此它也许同时diagonalized以x ： 它的行动在x所有eigenstate的价值是本征值X.的某一作用f。 这个作用一定是真正的，因为p和- iD厄米：转动每个状态 |x 在阶段f (x)以前，即，重新解释wavefunction的阶段：操作员iD是由数额重新解释的：哪些意味那在被转动的依据， p与- iD.是相等的 因此总有为x本征值的一个依据， p行动在所有wavefunction被知道：并且汉密尔顿在这个依据是线性微分算符在状态向量组分：因此运动方程为状态向量是微分方程：因为D是一微分算子，为了它能易察觉地被定义，必须有邻居每特定价值x的本征值。 这建议唯一的可能性是x所有本征值空间是所有实数，并且p是iD由相位旋转决定。 要做这严谨要求关于作用限制的空间的一次易察觉的讨论，并且在这空间这是 石头冯Neumann定理- 服从交换关系的所有操作员x和p在wavefunctions空间可以被制作行动，以p一名衍生物操作员。 这暗示a Schrdinger图片 总是可利用的。不同于Schrdinger方法，矩阵力学可能延伸到许多自由程度用一个明显的方式。 每个自由程度有一名分开的x操作员和一分开的微分算子p，并且wavefunction是独立通勤的x可变物的所有可能的本征值的作用。特别是，这意味着N互动的微粒系统在3个维度是由组分在依据所有X是对角的是3N尺寸空间的一个数学函数描述所有他们可能的位置，比N三尺寸wavefunctions是价值的一件更大的收藏品在物理空间的一传染媒介描述的。 Schrdinger独立地得出了同一个结论和最终证明了他自己的形式主义的相等对Heisenberg的。因为wavefunction是整体系统的物产，不任何一个部分，描述在量子力学不是整个地地方的。 几个微粒的描述可以quantumly被关联或者 卷入. 这缠结导致违犯古典的遥远的微粒之间的奇怪的交互作用 响铃的不平等.即使微粒可能只在二个位置， wavefunction为N微粒要求 2N 复杂形势，一为位置的每种配置。 这是指数地许多数字在N，因此模仿量子力学在计算机要求指数资源。 这建议发现完全计算答复到问题古典地要求大小N的量子系统也许是可能的 2N 解决的位，是刺激 量子计算.变换理论在经典力学，拓扑空间座标的标准变革是保存泊松托架的结构的一个。 新的可变物x， p有互相的同样泊松托架象原始的可变物x， p。 时间演变是标准变革，从拓扑空间任何时候在其他时候是正好可变物选择象拓扑空间。汉密尔顿的流程是然后 标准 标准变革：因为汉密尔顿可以是x和p的一个任意作用，有对应于每个古典数量G的无穷小的标准变革， G在拓扑空间用于，因为汉密尔顿引起点流程为时间s.的增加。为一个一般作用A (x， p)在拓扑空间，无穷小的变动在每步ds在地图之下是：数量G称标准变革的无穷小的发电器。在量子力学， G是一个厄米的矩阵，并且运动方程是换向器：正Heisenberg运动方程联合，无穷小的canonial行动可以正式集成：那里 U = eiGs 并且s是一个任意参数。 标准变革的定义是依据的任意单一的变动在所有状态向量空间。 U是一个任意单式矩阵，复杂自转在拓扑空间。这些变革留给wavefunction组分的绝对正方形的总和不变式，并且采取是虚构的倍数的彼此)对状态是同样倍数的彼此。的倍数的彼此的状态(包括状态矩阵的解释是他们在状态空间作为行动发电器。 P引起的行动可以通过解决Heisenberg运动方程发现使用P作为汉密尔顿：他们是增加身分的倍数矩阵x的翻译： . 这也是衍生物操作员D的解释 eiPs = eD指数一名衍生物操作员是翻译。 X操作员在P.同样引起翻译。 汉密尔顿引起翻译及时，角动量在物理空间引起自转和操作员 x2 + P2 在拓扑空间引起自转。当变革，象自转在物理空间，通勤与汉密尔顿时，变革称a 对称. 汉密尔顿被表达根据被转动的座标是相同象原物汉密尔顿。 这意味着在汉密尔顿上的变化在无穷小的发电器L之下是零：因而断定在发电器上的变化在时间翻译之下也零：因此矩阵L及时是恒定的。 无穷小的对称发电器和守恒定律的一对一协会首先被发现了 Emmy Noether 为经典力学，换向器是泊松托架，但论据是相同的。在量子力学，如果矩阵U有物产那，所有单一的对称变革给一个守恒定律，从那以后它跟随那 UH = HU 并且U时间衍生物是零。单式矩阵本征值是纯净的阶段，因此一个单一的被保存的数量的价值是单位巨大的一个复杂形势，不是一个实数。 另一个方式说此是一个单式矩阵只是指数的i时间每厄米的矩阵，因此添加剂保存了真正的数量，阶段，是仅明确定义的由整数倍数的2决定 pi。 只有当单一的对称矩阵是任意地来紧挨身分家庭时的一部分是唯一被重视的被保存的真正的数量，需求他们被保存然后成为更多横征暴敛的限制。可以连续连接到身分的对称叫 连续和翻译、自转和助力是例子。 不可能连续连接到身分的对称是 分离和空间反向的操作或者 同等和 充电结合 是例子。矩阵的解释作为标准trasformations发电器归结于 保罗Dirac25. 书信在对称和矩阵之间显示了 Eugene Wigner 是完全的，如果 antiunitary 描述对称包括时间逆转的矩阵是包括的。选择规则它是完全清楚对Heisenberg X的矩阵元的绝对正方形，是动摆的傅立叶系数，是电磁辐射放射的率。在大轨道古典极限，如果充电以位置x (t)和充电q在相等和相反充电旁边摆动在位置0，瞬间偶极矩是qX (t)，并且片刻的时间变化翻译直接地成传染媒介潜力的时空变异，生产被筑巢的外出的球面波。 为原子散发的光的波长约为10,000乘原子半径，偶极矩是对辐射性领域的唯一的贡献，并且原子电荷分布的其他细节可以被忽略。忽略反应，在每个外出的方式下放热的力量是分开的贡献的一个总和从d每个独立时间傅立叶方式正方形：并且在Heisenberg的表示法，偶极矩的傅立叶系数是X.的矩阵元。 书信允许Heisenberg为转折强度提供规则，时间的分数，从初始状态i开始，光子散发和原子跃迁给一个最终状态j ：这允许矩阵元的巨大统计地被解释- 他们给鬼线的强度，可能性为巨大突破从偶极辐射放射。因为转折率由X的矩阵元给， xij 是零，对应的转折应该是缺席。 这些称 选择规则和他们是难题在矩阵力学之前。氢原子的一个任意状态，忽略旋转，被标记 |n; l， m， l的价值是总轨道角动量和m的措施是它的z组分，定义了轨道取向。角动量的组分 pseudovector 是：因为x和p不同的组分通勤，并且产品在这个表示是秩序的独立和真正的。L的交换关系以x (或以任何传染媒介)是容易发现：这核实L引起自转在传染媒介之间X.的组分。从此， L_z和同等的矩阵换向器x， y， z可以读，哪些意味着数量x+iy， x-iy有一个简单的换向规则：象x+ip和xip的矩阵元为泛音振荡器汉密尔顿，这换向法律暗示这些操作员只有确定对角矩阵元素在确定m.状态。意味矩阵(x+iy)采取特征向量 Lz 以本征值m到一个特征向量以本征值m+1。 同样， (x-iy)减退m由一个单位和z不改变m.的价值。如此在依据 |l， m 状态 L2 并且 Lz 有确定价值的矩阵元任何位置的三个组分是零除了，当 m 是同样或由一个单位改变。这在总角动量上的变化安置一个限制。 所有状态可以被转动，以便它的角动量尽量在z方向， m=l.的地方。 位置的矩阵元行动 |l， m 罐头由一个单位是大m的仅的产物价值，因此，如果座标被转动，以便最终状态是 |l， l， l的价值在初始状态发生l的最大的价值可以是至多一个大于。 如此l在多数l+1。 矩阵元为l l+1消失，并且反向矩阵元取决于Hermiticity，因此这些也消失，当l l-1时。 偶极跃迁禁止与在超过一个单位上的角动量的一个变化。求和定则Heisenberg运动方程在Heisenberg依据确定p的矩阵元从x.的矩阵元。哪些把交换关系变成的对角部分一求和定则为矩阵元的巨大：这给联系为分光镜强度的总和到/从所有特定状态，虽然是绝对正确的，在总和必须包括贡献从辐射俘获可能性为未捆绑的驱散状态：三张公式化的纸 W. Heisenberg， ber quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, Zeitschrift fr Physik, 33 879-893， 1925年(被接受1925 7月29日)。 英文译文在： B. L. van der Waerden，编辑， 量子力学的来源 (多弗Publications 1968) 国际标准书号0-486-61881-1 (英国标题： 运动学和机械联系的量子理论重新解释). M. 出生和P。 乔丹， Zur Quantenmechanik, Zeitschrift fr Physik, 34 858-888， 1925年(被接受1925 9月27日)。 英文译文在： B. L. van der Waerden，编辑， 量子力学的来源 (多弗Publications 1968) 国际标准书号0-486-61881-1 (英国标题： 在量子力学). M. 出生， W。 Heisenberg和P。 乔丹， Zur Quantenmechanik II, Zeitschrift fr Physik, 35 557-615， 1925年(被接受1925 11月16日)。 英文译文在： B. L. van der Waerden，编辑， 量子力学的来源 (多弗Publications 1968) 国际标准书号0-486-61881-1 (英国标题： 在量子力学II). 参考书目 杰里米Bernstein 最大负担和量子论, Am. J. 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