江苏省南通市高三数学全真模拟试题6.doc

2016年数学全真模拟试卷六试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合，则 【答案】52. 已知复数满足(为虚数单位)，则复数的模是 【答案】3. 已知函数在处的导数为，则实数的值是 【答案】2开始i1ii2i22i63 ）输出i结束（第4题）yn4. 右图是某算法的流程图，则输出的的值为 【答案】75. 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张， 则抽到的牌为红心的概率是 【答案】6. 某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样的方法抽取10 % 的工人进行调查首先在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为000，001，002，619），若样本中的最小编号是007，则样本中的最大编号是 【答案】6177. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，则的值为 【答案】8. 已知，且，则的最大值为 【答案】19. 已知等比数列的前项和为，则的值为 【答案】610. 已知是上的奇函数，且时，则不等式的解集为 【答案】（0，1）【解析】易得，即，解得（0，1）11. 设向量ab若是实数，且，则的最小值为 【答案】【解析】因为，所以的最小值为12某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：题目：“在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，过点作两条斜率 之积为2的射线与椭圆交于，”解：设的斜率为，点，”据此，请你写出直线的斜率为 （用表示） 【答案】 【解析】将点用代替得点的坐标，从而直线的斜率 为13使“”成立的必要不充分条件是“ ”（填上所有满足题意的序号），；，；，；，【答案】【解析】，从而，即； ，从而，即； ，从而，即； ，从而，即14. 在abc中，已知sina13sinbsinc，cosa13cosbcosc，则tanatanbtanc的值为 【答案】196【解析】依题意cosasina13cosbcosc13sinbsinc，即cosasina13cos， 即cosasina13cosa，所以tana，又易得tanatanbtanc， 而tanatanbtanctanatanbtanc，所以tanatanbtanctana二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤15（本题满分14分）如图，在四棱锥pabcd中，ad/ bc，且ad=2bc，adcd，pa=pd，m为棱ad的中点apbpcpmpdpp（第16题）（1）求证：cd/平面pbm； （2）求证：平面pad平面pbm 证明：（1）因为ad/ bc，且ad=2bc， 所以四边形bcdm为平行四边形， 故cd/ bm， 又cd平面pbm，bm平面pbm， 所以cd/平面pbm；（6分） （2）因为pa=pd，点m为棱ad的中点， 所以pmad， 又adcd，cd/ bm， 故adbm， 而pm bm，pm、bm平面pbm， 所以ad平面pbm， 又ad平面pad， 所以平面pad平面pbm（14分）16（本题满分14分） 在abc中，（1）求证：abc三边的平方和为定值；（2）当abc的面积最大时，求cosb的值证明：（1）因为，所以(3分) 在abc中，由余弦定理得， 即，于是， 故为定值(6分)解：（2）由（1）知，所以，当且仅当时取“=”号(8分) 因为，所以， 从而(10分) abc的面积 ，(12分) 当且仅当时取“=”号 因为，所以当时， 故(14分)17（本题满分14分）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为，其中为行进时相对于水的速度，为行进时的时间（单位：小时），为常数，为能量次级数如果水的速度为4 km/h，该生物探测器在水中逆流行进200 km（1）求关于的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定的大小，使该探测器消耗的能量最少 解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为， 又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h，即， 所以，即，；（4分） （2）() 当能量次级数为2时，由（1）知， （当且仅当即km/h时，取等号）（9分） () 当能量次级数为3时，由（1）知， 所以得， 当时，；当时， 所以当时， 答：() 该探测器消耗的最少能量为； () km/h时，该探测器消耗的能量最少（14分） 18（本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆c：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点o且不平行于坐标轴，且与椭圆c有两个交点a，b，记线段ab的中点为m（1）求证：直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若直线l过点，延长om与椭圆c交于点p 问：四边形oapb能否为平行四边形？若能，求直线l的斜率；若不能，说明理由 （1）证明：设直线l的斜率为k，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym) 则，两式相减得， 整理得， 即komk9，得证(6分) （2）四边形oapb能为平行四边形(8分) 因为直线l过点，且l不过原点且与椭圆c有两个交点，则k0，k3， 由(1)得直线om的方程为， 设点p的横坐标为xp，由得，；(10分) 将点的坐标代入l的方程ykxb得， 因此， (12分) 四边形oapb为平行四边形当且仅当线段ab与线段op互相平分， 即xp2xm，于是， 解得， 所以当l的斜率为或时，四边形oapb为平行四边形(16分)19（本题满分16分） 设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数， 其中为自然对数的底数. （1）求，的表达式； （2）设，证明：. 解：（1）由得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 从而，(4分) （2）当时， 所以，.(6分) 由（1）得，(8分) 当时， ， 设函数，(10分) 则，(12分) 若，则，故为上增函数， 所以， 若，则，故为上减函数， 所以， 综上知，.（16分） 20（本题满分16分） 设为关于n的k次多项式数列an的首项，前n项和为对于任意的正 整数n，都成立（1）若，求证：数列an是等比数列；（2）试确定所有的自然数k，使得数列an能成等差数列解：（1）若，则即为常数，不妨设（c为常数） 因为恒成立，所以，即 而且当时， ， 得 若an=0，则，a1=0，与已知矛盾，所以 故数列an是首项为1，公比为的等比数列（4分） （2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去（6分） (ii) 若k=1，设（b，c为常数）， 当时， ， 得 要使数列an是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数）， 而a1=1，故an只能是常数数列，通项公式为an =1， 故当k=1时，数列an能成等差数列，其通项公式为an =1，此时 （9分） (iii) 若k=2，设（，a，b，c是常数）， 当时， ， 得 ， 要使数列an是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有，且 d=2a， 考虑到a1=1，所以 故当k=2时，数列an能成等差数列，其通项公式为， 此时（a为非零常数）（12分） (iv) 当时，若数列an能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2， 故数列an不能成等差数列（14分） 综上得，当且仅当k=1或2时，数列an能成等差数列（16分）试题（附加题） 21【选做题】本题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a选修41：几何证明选讲 （本小题满分10分）cdab（第21题a）eff如图，c，d是直径为ab的半圆上的两个不同的点，与交于点，点在弦bd上，且acdbcf，证明：abcdfc 证明：因为acdbcf， 所以acdbcf， 故acdbcf， 即dcfbce， 又bdcbac， 所以abcdfc（10分）b选修42：矩阵与变换 （本小题满分10分） 设x为实数若矩阵为不可逆矩阵，求 解：依题意，（4分） 所以（10分）c选修44：极坐标与参数方程 （本小题满分10分） 已知极坐标系中的曲线与曲线交于a，b两点，求线段ab的长解：曲线化为；（4分） 同样可化为，（8分） 联立方程组，解得a (1，1)， b (2，4)， 所以ab（10分）d选修45：不等式选讲 （本小题满分10分） 设均为正数，且，求证：证明：因为均为正数，且， 所以，（当且仅当时等号成立）（8分） 所以.（10分）（第22题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，在正方体中，（1）若，求直线与所成角的正弦值；（2）若直线平面，求实数的值 解：如图，以d为坐标原点，分别以da，dc，d d1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则a(1，0，0)，b(1，1，0)，c(0，1，0)，d(0，0，0)，a1(1，0，1)，b1(1，1，1)， c1(0，1，1)，d1(0，0，1)， （1）由得， 所以，