江西省抚州市南城一中高二数学上学期期中试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年江西省抚州市南城一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知a=y|y=log2x，x1，b=y|y=（）x，x1，则ab=（）ab（0，1）cd2“1m3”是“方程+=1表示椭圆”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3从一批产品中取出三件产品，设a=三件产品全是正品，b=三件产品全是次品，c=三件产品不全是次品，则下列结论不正确的是（）aa与b互斥且为对立事件bb与c为对立事件ca与c存在着包含关系da与c不是互斥事件4执行如图所示的程序框图，输出那么判断框内应填（）ak2015bk2016ck2015dk20165方程x2+x+n=0（n（0，1）有实根的概率为（）abcd6已知x、y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（）a1.30b1.45c1.65d1.807在等差数列an中，a1+a5=8，a4=7，则a5等于（）a3b7c10d118已知点a（1，1），b（1，2），c（2，1），d（3，4），则向量在方向上的投影为（）abcd9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为（）abcd10已知o是坐标原点，点a（1，1），若点m（x，y）为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（）a1，0b0，1c0，2d1，211设f1，f2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点p满足f1pf2=120，则椭圆的离心率的取值范围是（）abcd12若直线y=x+b与曲线y=3有公共点，则b的取值范围是（）a，3b，3c1，d，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13设函数f（x）为偶函数，当x（0，+）时，f（x）=log2x，则f（）=14已知双曲线x2=1与抛物线y2=2px（p0）有一个公共的焦点f，且两曲线的一个交点为m，若|mf|=5，则点m的横坐标为15已知命题p：x1，2，x2a0；命题q：xr，x2+2ax+2a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为16下列命题正确的序号是命题“若ab，则2a2b”的否命题是真命题；若命题p：“0”，则；p：“0”；若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件；方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=三、解答题：本大题共70分，其中17题为10分，18-22题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和为sn=n2+n（）求数列an的通项公式；（）若，求bn的前n项和tn18某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组50，60）60，70）70，80）80，90）90，100（）求图中a的值；（）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？19已知椭圆与双曲线的焦点相同，且它们的离心率之和等于（）求椭圆方程；（）过椭圆内一点m（1，1）作一条弦ab，使该弦被点m平分，求弦ab所在直线方程20已知向量，函数，abc三个内角a、b、c的对边分别为a、b、c（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若，求abc的面积s21如图，已知三棱锥abpc中，appc，acbc，m为ab中点，d为pb中点，且pmb为正三角形（1）求证：dm平面apc；（2）求证：平面abc平面apc；（3）若bc=4，ab=20，求三棱锥dbcm的体积22已知椭圆c1和抛物线c2有公共焦点f（1，0），c1的中心和c2的顶点都在坐标原点，过点m（4，0）的直线l与抛物线c2分别相交于a，b两点（）写出抛物线c2的标准方程；（）若，求直线l的方程；（）若坐标原点o关于直线l的对称点p在抛物线c2上，直线l与椭圆c1有公共点，求椭圆c1的长轴长的最小值2015-2016学年江西省抚州市南城一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知a=y|y=log2x，x1，b=y|y=（）x，x1，则ab=（）ab（0，1）cd【考点】交集及其运算【分析】由题设条件知a=y|y0，b=y|0y，由此能够得到ab的值【解答】解：，=故选a【点评】本题考查集合的运算，解题时要注意公式的灵活运用2“1m3”是“方程+=1表示椭圆”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，即1m3且m2，此时1m3成立，即必要性成立，当m=2时，满足1m3，但此时方程+=1等价为为圆，不是椭圆，不满足条件即充分性不成立故“1m3”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，故选：b【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键3从一批产品中取出三件产品，设a=三件产品全是正品，b=三件产品全是次品，c=三件产品不全是次品，则下列结论不正确的是（）aa与b互斥且为对立事件bb与c为对立事件ca与c存在着包含关系da与c不是互斥事件【考点】互斥事件与对立事件【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计【分析】本题中给了三个事件，四个选项都是研究互斥关系的，可先对每个事件进行分析，再考查四个选项得出正确答案【解答】解：a为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，b为三件产品全是次品，c为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：a与b是互斥事件，但不对立；a与c是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；b与c是互斥事件，也是对立事件故选：a【点评】本题考查互斥事件与对立事件，解题的关系是正确理解互斥事件与对立事件，事件的包含等关系且能对所研究的事件所包含的基本事件理解清楚，明白所研究的事件本题是概念型题4执行如图所示的程序框图，输出那么判断框内应填（）ak2015bk2016ck2015dk2016【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；运动思想；分析法；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，根据程序的功能进行求解即可【解答】解：本程序的功能是计算s=+=1+=1，由1=，得=，即k+1=2016，即k=2015，即k=2016不成立，k=2015成立，故断框内可填入的条件k2015，故选：a【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，属于基础题5方程x2+x+n=0（n（0，1）有实根的概率为（）abcd【考点】几何概型【专题】常规题型；计算题【分析】欲求图象恒在x轴上方的概率，则可建立关于a，b的直角坐标系，画出关于a和b的平面区域，再根据几何概型概率公式结合定积分求面积的方法易求解【解答】解：由于方程x2+x+n=0（n（0，1）有实根，0，即14n0，n，又n（0，1），有实根的概率为：p=，故选c【点评】本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、二次方程等基础知识，考查计算能力属于基础题6已知x、y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（）a1.30b1.45c1.65d1.80【考点】线性回归方程【专题】计算题；概率与统计【分析】计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，即可求得a的值【解答】解：由题意， =4， =5.25y与x线性相关，且=0.95x+a，5.25=0.954+a，a=1.45故选b【点评】本题考查线性回归方程，利用线性回归方程恒过样本中心点是关键7在等差数列an中，a1+a5=8，a4=7，则a5等于（）a3b7c10d11【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】设出等差数列的公差，由已知条件列式求出公差，则a5可求【解答】解：设公差为d，则，解得，a1=2，d=3，a5=a1+4d=2+34=10故选c【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础的运算题8已知点a（1，1），b（1，2），c（2，1），d（3，4），则向量在方向上的投影为（）abcd【考点】平面向量数量积的含义与物理意义【专题】平面向量及应用【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案【解答】解：，则向量方向上的投影为： cos=，故选a【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为（）abcd【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】将几何体还原成直观图，可得它是一个上、下底面是直角梯形，且高等于1的直四棱柱根据题中的数据利用柱体的体积、表面积公式加以计算，可得答案【解答】解：将该几何体还原成直观图，可得它是一个四棱柱，四棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长等于1；上、下底面是直角梯形，该梯形的上底等于1、下底等于2、高等于1，斜腰等于由此可得它的侧面积s侧=（1+1+2+）1=4+，底面积s底=（1+2）1=，四棱柱的表面积s=s侧+2s底=7+，体积为v=s底h=故选：c【点评】本题给出直四棱柱的三视图的形状，求它的表面积与体积着重考查了三视图的认识、直棱柱的性质和柱体的表面积、体积公式等知识，属于中档题10已知o是坐标原点，点a（1，1），若点m（x，y）为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（）a1，0b0，1c0，2d1，2【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算【专题】数形结合【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时， =11+11=0当x=1，y=2时， =11+12=1当x=0，y=2时， =10+12=2故和取值范围为0，2解法二：z=x+y，即y=x+z当经过p点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2当经过s点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0故和取值范围为0，2故选：c【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键11设f1，f2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点p满足f1pf2=120，则椭圆的离心率的取值范围是（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】先根据椭圆定义可知|pf1|+|pf2|=2a，再利用余弦定理化简整理得cospf1f2=1，进而根据均值不等式确定|pf1|pf2|的范围，进而确定cospf1f2的最小值，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，确定椭圆离心率的取值范围【解答】解：f1（c，0），f2（c，0），c0，设p（x1，y1），则|pf1|=a+ex1，|pf2|=aex1在pf1f2中，由余弦定理得cos120=，解得x12=x12（0，a2，0a2，即4c23a20且e21e=故椭圆离心率的取范围是 e故选a【点评】本题主要考查了椭圆的应用当p点在短轴的端点时f1pf2值最大，这个结论可以记住它在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题12若直线y=x+b与曲线y=3有公共点，则b的取值范围是（）a，3b，3c1，d，【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】曲线即 （x2）2+（y3）2=4（1y3），表示以a（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b结合图象可得b的范围【解答】解：如图所示：曲线y=3，即 （x2）2+（y3）2=4（ 1y3，0x4），表示以a（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，b=1+2，或b=12结合图象可得12b3，故选：a【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13设函数f（x）为偶函数，当x（0，+）时，f（x）=log2x，则f（）=【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可【解答】解：函数f（x）为偶函数，当x（0，+）时，f（x）=log2x，则f（）=f（）=log2=故答案为：【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的解析式的应用，考查计算能力14已知双曲线x2=1与抛物线y2=2px（p0）有一个公共的焦点f，且两曲线的一个交点为m，若|mf|=5，则点m的横坐标为3【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线和考查抛物线的性质，求出p，再根据抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，得到x0+=5，解得即可【解答】解：抛物线y2=2px（p0）的焦点为f（，0）双曲线x2=1的焦点为（2，0）或（2，0），=2，两曲线的一个交点为m，设点m的横坐标x0，|mf|=5，x0+=5，x0=5=3，故答案为：3【点评】本题考查双曲线和考查抛物线的焦点，以及抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，考查学生的计算能力，比较基础15已知命题p：x1，2，x2a0；命题q：xr，x2+2ax+2a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为a2或a=1【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题【分析】根据命题“p且q”是真命题，得到两个命题都是真命题，当两个命题都是真命题时，第一个命题是一个恒成立问题，分离参数，根据x的范围，做出a的范围，第二个命题是一元二次方程有解问题，利用判别式得到结果【解答】解：“p且q”是真命题，命题p、q均为真命题，由于x1，2，x2a0，a1；又因为xr，x2+2ax+2a=0，=4a2+4a80，即（a1）（a+2）0，a2或a1，综上可知，a2或a=1故答案为：a2或a=1【点评】本题考查命题真假的判断与应用，是一个综合题，这种题目一般是以解答题目出现，是一个不错的题目，但解起来容易出错16下列命题正确的序号是命题“若ab，则2a2b”的否命题是真命题；若命题p：“0”，则；p：“0”；若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件；方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数的性质及应用【分析】根据指数函数的性质判断即可；写出p的否命题即可；根据充分必要条件的定义判断即可；通过讨论a=0，a0判断即可【解答】解：命题“若ab，则2a2b”的否命题是：“若ab，则2a2b”是真命题，故正确；若命题p：“0”，则；p：“0”，故错误；若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件，故正确；方程ax2+x+a=0，当a=0时，方程也有唯一解，故错误；故答案为：【点评】本题考查了充分必要条件，考查命题之间的关系，考查方程思想，本题综合性强，属于中档题三、解答题：本大题共70分，其中17题为10分，18-22题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an的前n项和为sn=n2+n（）求数列an的通项公式；（）若，求bn的前n项和tn【考点】等差数列的前n项和【专题】计算题【分析】（i）当n大于等于2时，利用前n项的和减去前n1项的和得到数列的通项公式，然后把n=1代入验证；（ii）把数列an的通项公式代入到中化简，然后列举出数列bn的各项，得到数列bn的前n项和为一个等比数列和一个等差数列的和，分别利用求和公式求出即可【解答】解：（i）当n2时，an=snsn1=n2+n（n1）2（n1）=2n，当n=1时，a1=2也适合上式，an=2n（ii）由（i）知，=【点评】考查学生会利用做差求数列的通项公式，灵活运用等比、等差数列的前n项和的公式化简求值18某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组50，60）60，70）70，80）80，90）90，100（）求图中a的值；（）根据频率分布直方图，估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分；（）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？【考点】分层抽样方法；频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；（3）先分别求出3，4，5组的人数，再利用古典概型知识求解【解答】解：（）由题意得10a+0.0110+0.0210+0.0310+0.03510=1，所以a=0.005（）由直方图分数在50，60的频率为0.05，60，70的频率为0.35，70，80的频率为0.30，80，90的频率为0.20，90，100的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：550.05+650.35+750.30+850.20+950.10=74.5（）由直方图，得：第3组人数为0.3100=30，第4组人数为0.2100=20人，第5组人数为0.1100=10人所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组： =1人所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人设第3组的3位同学为a1，a2，a3，第4组的2位同学为b1，b2，第5组的1位同学为c1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：（a1，a2），（a1，a3），（b1，b2），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（a1，c1），（a2，c1），（a3，c1），（b1，c1），（b2，c1），其中恰有1人的分数不低于90（分）的情形有：（a1，c1），（a2，c1），（a3，c1），（b1，c1），（b2，c1），共5种所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为【点评】本题主要考查频率分布直方图，平均数的求法和古典概率19已知椭圆与双曲线的焦点相同，且它们的离心率之和等于（）求椭圆方程；（）过椭圆内一点m（1，1）作一条弦ab，使该弦被点m平分，求弦ab所在直线方程【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）求出椭圆的焦点和离心率，进而得到双曲线的离心率和焦点，再由椭圆的a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（）设出弦ab的端点的坐标，代入椭圆方程和中点坐标公式，运用作差，结合平方差公式和斜率公式，由点斜式方程即可得到直线ab的方程【解答】解：（）双曲线的焦点为（0，4），（0，4），离心率为=2，则椭圆的方程为+=1（ab0），且离心率e=2=，由于c=4，则a=5，b=3，则椭圆方程为+=1；（）设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，+=1， +=1，两式相减可得， +=0，即有kab=，则直线ab所在方程为y1=（x1），由于m在椭圆内，则弦ab存在则所求直线ab的方程为25x+9y34=0【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查中点坐标公式和点差法的运用，考查运算能力，属于中档题20已知向量，函数，abc三个内角a、b、c的对边分别为a、b、c（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若，求abc的面积s【考点】正弦定理的应用；数量积的坐标表达式【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）利用数量积公式，结合辅助角公式，即可求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）先求出b，可得c，再利用三角形的面积公式，可得结论【解答】解：（1）由题意得=+=sin（x+），令2kx+2k+，解得2kx2k+所以函数f（x）的单调增区间为2k，2k+（kz）（2）因为f（b+c）=1，所以sin（b+c+）=1，又b+c（0，），b+c+（，），所以b+c+=，b+c=，所以a=，由正弦定理代入，得到sinb=得b=或者b=，因为a=为钝角，所以b=舍去所以b=，得c=所以，abc的面积s=【点评】本题考查正弦函数的单调性，考查两角和与差的三角函数间的关系，考查正弦定理，属于中档题21如图，已知三棱锥abpc中，appc，acbc，m为ab中点，d为pb中点，且pmb为正三角形（1）求证：dm平面apc；（2）求证：平面abc平面apc；（3）若bc=4，ab=20，求三棱锥dbcm的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）要证dm平面apc，只需证明mdap（因为ap面apc）即可（2）在平面abc内直线apbc，bcac，即可证明bc面apc，从而证得平面abc平面apc；（3）因为bc=4，ab=20，求出三棱锥的高，即可求三棱锥dbcm的体积【解答】证明：（i）由已知得，md是abp的中位线mdapmd面apc，ap面apcmd面apc；（ii）pmb为正三角形，d为pb的中点mdpb，appb又appc，pbpc=pap面pbcbc面pbcapbc又bcac，acap=abc面apc，bc面abc平面abc平面apc；（iii）由题意可知，三棱锥abpc中，appc，acbc，m为ab中点，d为pb中点，且pmb为正三角形md面pbc，bc=