3.5 数列的综合应用

3.5 数列的综合应用 1. (1)审题 仔细阅读材料，认真理解题意 . (2)建模 将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征 . (3)求解 求出该问题的数学解 . (4)还原 将所求结果还原到原实际问题中 . 2. (1)等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差 . (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比 . （ 3）分期付款模型：设贷款总额为 a，年利率为 r,等额还款数为 b,分 n期还完，则 (1 ).(1 ) 1nnrrbar基础自测 1.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成 .2003年该 地区农民人均收入为 3 150元（其中工资性收入为 1 800元，其他收入为 1 350元），预计该地区自 2004年起的 5年内（包括 2004年），农民的工资性收入将以每年 6 % 的年增长率增长，其他收入每年增加 160元 .根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于 （ ）A.4 200元 4 400元 B.4 400元 4 600 C.4 600元 4 800元 D.4 800元 5 000 解析 到 2008年农民的工资性收入变为 1 800（ 1+6%） 5 2 409 其他收入变为 1 350+5 160=2 150 故 2008年收入为 4 559元 . B 2. （ 2009 广西河池模拟）设 f(n)=2+24+27+2 3n+1 (n N*)，则 f(n)等于 （ A. B. C. D. 解析 本题考查等比数列的前 n项和公式等知识 .由题意发 现， f(n)是一个以 2为首项，公比 q=23=8,项数为 n+1的等比 数列的和 .由公式可得 B 2 (8 1)7n 12 (8 1 )7n 22 (8 1)7n 32(8 1 )7 n 11111 2 (1 8 ) 2( ) ( 8 1 ) .1 1 8 7nnnnqf n Sq 3. 若互不相等的实数 a,b,c成等差数列， c,a,b成等比数列， 且 a+3b+c=10，则 a的值为 （ A.4 B.2 C.-2 D.-4 解析 由互不相等的实数 a,b,c成等差数列，可设 a=b- d,c=b+d,由 a+3b+c=10,可得 b=2,所以 a=2-d,c=2+d,又 c,a,b 成等比数列可得 (2-d)2=2(2+d),解得 d=6或 d=0（舍去）， 所以 a=-4. D 4. 设等比数列 an的公比为 q,前 n项和为 Sn，若 Sn+1,Sn,Sn+2成 等差数列，则公比 （ A.q=-2 B.q=1 C.q=-2或 q=1 D.q=2或 q=-1 解析 由题意可得 2Sn=Sn+1+Sn+2，当 q1 解之得 q=-2或 q=1,当 q=1时不成立 . A 121 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2,1 1 1n n na q a q a qq q q 即 2=q+q2 5. (2009 新郑模拟 ）某种细胞开始有 2个， 1小时后分裂成 4 个并死去 1个， 2小时后分裂成 6个并死去 1个， 3小时后分裂 成 10个并死去 1个， ，按此规律， 6小时后细胞存活的个 数是 （ A.63 B.65 C.67 D.71 解析 方法一 设 n小时后细胞个数为 an, 则 a1=2 2-1=3,a2=2 3-1=5, a3=2 5-1=9,a4=2 9-1=17, a5=2 17-1=33,a6=2 33-1=65. 方法二 设 n小时后细胞个数为 an 则 a1=3,an=2an-1-1 (n2), an-1=2(an-1-1). an-1是公比为 2的等比数列， a1-1=2. an-1=2 2n-1=2n， an=2n+1 a6=26+1=65. B 数列 an的前 n项和记为 Sn， a1=1,an+1=2Sn+1 (n1).(1) 求 an （ 2）等差数列 bn的各项为正，其前 n项和为 Tn，且 T3=15，又 a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求 Tn. 【 思维启迪 】 （ 1）运用公式 （ 2）注意等差数列与等比数列之间的相互关系 . 解 （ 1）由 an+1=2Sn+1,可得 an=2Sn-1+1 (n2), 题型一 等差数列与等比数列的综合应用 ,11nnn SSSan=1, n2. 求 an. 两式相减得 an+1-an=2an,an+1=3an (n2). 又 a2=2S1+1=3, a2=3a1. 故 an是首项为 1，公比为 3的等比数列， an=3n-1. （ 2）设 bn的公差为 d, 由 T3=15,b1+b2+b3=15,可得 b2=5, 故可设 b1=5-d,b3=5+d, 又 a1=1,a2=3,a3=9, 由题意可得 (5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2 解得 d1=2,d2=-10. 等差数列 bn的各项为正， d0, d=2,b1=3, 探究拓展 本题重在考查等差数列、等比数列的通项公式与求前 n项和的基础知识和基本运算技能 . .222 )1(3 2 nnnnnT n （ 12分）已知 f(x)=logax(a0且 a1) ，设 f(a1),f(a2), f(an) (n N*)是首项为 4，公差为 2的等差数列 . (1)设 a为常数，求证： an （ 2）若 bn=anf(an),bn的前 n项和是 Sn,当 时 ,求 Sn.思维启迪 】 利用函数的有关知识得出 an的表达式，再 利用表达式解决其他问题 . （ 1） 证明 f(an)=4+(n-1) 2=2n+2, 即 logaan=2n+2, 2 可得 an=a2n+2. 为定值 . 所以 an 为等比数列 . 题型二 数列与函数的综合 2a2 2 2 222 ( 1 ) 2 21( 2 )nnnna aa ana a a (2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2. 当 时， bn=(2n+2) =(n+1)2n+2. 7 Sn=223+324+425+ +(n+1)2n+2 2Sn=224+325+426+ +n2n+2+(n+1)2n+3 - -Sn=223+24+25+ +2n+2-(n+1)2n+3 =16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3. Sn=n2n+3. 12 2a 22)2( n3142)1(21 )21(216 nnn探究拓展 数列与函数和综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形 . 假设某市 2008年新建住房 400万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房 ,预计在今后的若干年内 ,该市每年新 建住房面积平均比上一年增长 8%.另外每年新建住房中 ,中 低价房的面积均比上一年增加 50万平方米 .那么 ,到哪一年 （ 1）该市历年所建中低价房的累计面积（以 2008年为累计的第一年）将首次不少于 4 750 （ 2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比 例首次大于 85%？ (参考数据： 1.0841.36,1.08 51.47, 1.0861.59) 题型三 数列的实际应用 【 思维启迪 】 （ 1）要求学生会把实际问题转化为数学问题： (2)an0.85bn,bn=400 1.08n-1. 解 （ 1）设中低价房的面积形成的数列为 an 由题意可知 an 其中 a1=250,d=50, 则 an=250+(n-1) 50=50n+200 令 25n2+225n4 750, 即 n2+9n-1900, 而 n是正整数， n10. 到 2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750万平方米 . .750422525502 )1(250 2 nnnnnS n2( 1 )2 5 0 5 0 2 5 0 2 2 5 ,2nnnS n n n （ 2）设新建住房面积形成数列 bn，由题意可知 bn是等比数列，其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400(1.08)n-1. 由题意可知 an0.85bn, 即 50n+200400(1.08)n-10.85. 当 n=5时， a50.85b6, 满足上述不等式的最小正整数 n为 6. 到 2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85% . 探究拓展 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现 . 方法与技巧 1.深刻理解等差（比）数列的性质，熟悉它们的推导过程是 解题的关键 .两类数列性质既有类似的部分，又有区别，要 在应用中加强记忆 .同时，用好性质也会降底解题的运算 量，从而减小差错 . 2.等比数列的前 n项和公式要分两种情况 :公比等于 1和公比不 等于 1.最容易忽视公比等于 1的情况，要注意这方面的练习 . 3.在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程（组） 求解，在解方程组时，仔细体会两种情形中解方程组的方 法的不同之处 . 4.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等 知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度 .解决 此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有 所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思 想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨 论”、“等价转换”等 . 5.在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、 存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来 解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解 决实际问题 . 失误与防范 1.数列的应用还包括实际问题 ,要学会建模 ,对应哪一类数列 , 进而求解 . 2.在有些情况下，证明数列的不等式要用到放缩法 . 1.已知数列 an、 bn满足： a1=2,b1=1,且 (1)令 cn=an+bn，求数列 cn （ 2）求数列 an的通项公式及前 n项和公式 Sn. 解 （ 1）当 n2 时， cn=cn-1+2，即 cn-cn-1=2 (n2) 数列 cn为等差数列，首项 c1=a1+b1=3,公差 d=2. cn=3+（ n-1） 2=2n+1 1111311,44131.44n n nn n na a bb a b )141()14143( 1111 nnnnnnn bababac,211 nn ba 1111311,44 ( 2 ) .13144n n nn n na a bnb a b （ 2）当 n 时， - 数列 an-bn为等比数列，首项为 a1-b1=1 由（ 1）知： an+bn=2n+1, + 得 ),2)(21 11 nbaba nnnn,21q.)21( 1 nnn ba1)21()12(2 nn nann na 21)21( )212121()21()212()211( 2 nn nS 211)211(2122)1(nnnn.21122nnn - 数列 an-bn为等比数列，首项为 a1-b1=1 由（ 1）知： an+bn=2n+1, + 得 ),2)(21 11 nbaba nnnn,21q.)21( 1 nnn ba1)21()12(2 nn nann na 21)21( )212121()21()212()211( 2 nn nS 211)211(2122)1(nnnn.21122nnn 2.已知数列 an满足 a1=2,且点 (an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中 n=1,2,3,. （ 1）证明：数列 lg(1+an) （ 2）设 Tn=（ 1+a1）（ 1+a2） （ 1+an），求 Tn及数列 an 的通项 . （ 1） 证明 由于 (an,an+1)在函数 f(x) an+1+1=（ an+1） 2. a1=2， an+11, lg （ an+1+1） =2lg（ an+1） . 数列 lg(an+1)是公比为 2的等比数列 . ,221 nnn aaa （ 2） 解 由（ 1）知 lg(an+1)=2n-1lg(1+a1) Tn=(1+a1)(1+a2) (1+an) .3lg3lg2 121 nn.31 12 nna0 1 2 13 2 2 23 3 3 3 n 211 2 2 2 2 13 3 .nn .13,3 1212 nn aT n3.某国采用养老储备金制度 .公民在就业的第一年就交纳养老 储备金，数目为 a1，以后每年交纳的数目均比上一年增 加 d(d0),因此，历年所交纳的储备金数目 a1,a2, 是 一个公差为 d的等差数列 .与此同时，国家给予优惠的计息 政策，不仅采用固定利率，而且计算复利 .这就是说，如果 固定年利率为 r(r0)，那么，在第 n年末，第一年所交纳的 储备金就变为 a1(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为 a2(1+r)n-2,. 以 Tn表示到第 n年末所累计的储备金总额 . (1)写出 Tn与 Tn-1 (n2) （ 2）求证： Tn=An+Bn,其中 An是一个等比数列， Bn是一个等差数列 . (1)解 我们有 Tn=Tn-1(1+r)+an(n2). （ 2） 证明 T1=a1,对 n2 Tn=Tn-1(1+r)+an =Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an = =a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+ +an-1(1+r)+an. 在式两端同乘 1+r (1+r)Tn=a1(1+r)n+a2（ 1+r） n-1+ +an-1(1+r)2+ an(1+r). - ,得 rTn=a1(1+r)n+d (1+r)n-1+(1+r)n-2+ +(1+r) -an 即 如果记 则 Tn=An+Bn, 其中 An是以 为首项，以 1+r（ r0）为公比的等比数列； Bn是以 为首项， 为公差的等差数列 . 1( 1 ) 1 ( 1 ) ,nnnd r r a r ar .)1( 2121rdranrdrrdraT nn,)1( 2121 nrdr draBrr draA nnn )1(21 rrdra 12a r d drrrd 1.B 2.B 3.C 4.D 5.已知等比数列 an的各项均为正数 ,数列 bn满足 bn=lnan，b3=18,b6=12,则数列 bn前 n项和的最大值等于 （ ） A.126 B.130 C.132 D.134 解析 an是各项不为 0的正项等比数列 , bn=lnan是等差数列 . 又 b3=18,b6=12, b1=22,d=-2, ( Sn)max=-112+23 11=132. ,23)2(2 )1(22 2 nnnnnS n C 6.(2008 衡水调研 ）设 y=f(x）是一次函数 ,f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13)成等比数列 ,则 f(2)+f(4)+ f(2n)等于（ ）A.n(n+4) B.n(2n+3) C.2n(2n+3) D.2n(n+4) 解析 f(x)是一次函数，且 f(0)=1, 设 f(x)=kx+1, f(1)=k+1,f(4)=4k+1,f(13)=13k+1. f(1),f(4),f(13) （ 4k+1） 2=(k+1)(13k+1),3k2=6k. k0, k=2,即 f(x)=2x+1. f（ 2）， f（ 4）， f（ 6）， ， f（ 2n）构成以 5为首 项， 4为公差的等差数列 . ).32(2 )145()2()4()2( nnnnnfffB 7.11 985 8.4 901 9.设等差数列 an的首项 a1及公差 d都为整数 ,前 n项和为 Sn. （ 1）若 a11=0,S14=98,求数列 an （ 2）若 a16, a110,S1477, 求所有可能的数列 an的通 项公式 . 解 （ 1）由 S14=98，得 2a1+13d=14,又 a11=a1+10d=0. 解得 a1=20,d=-2,因此 an an=22-2n,（ n=1,2,3, ） （ 2） 由 得 即 解得 又 d Z,故 d=-1. 10 a112, a1 Z，故 a1=11或 a1=12. 所以，所有可能的数列 an an=12-n和 an=13-n,（ n=1,2,3 ） . 14111770,6Saa 601011132111adada122020211132111adada,131711 d10.（ 1） （ 2） 证明 由 知对任意正整数 n,an都不是 的整数倍 . 所以 sinan0, 从而 bn=sinansinan+1sinan+20. 于是 6 12