2019版高考数学第3章导数及其应用4第4讲利用导数证明不等式教案.docx

第4讲利用导数证明不等式直接将不等式转化为函数的最值典例引领 (2017高考全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上单调递增当a0；当x(，)时，f(x)0.故f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减(2)证明：由(1)知，当a0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当a0)上的最小值；(2)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立【解】(1)由f(x)xln x，x0，得f(x)ln x1，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0，f(x)单调递增当0tt2，即0t时，f(x)minf；当t(x(0，)由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到设m(x)(x(0，)，则m(x)，由m(x)1时，m(x)为减函数，由m(x)0得0x成立在证明的不等式中，若对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可以借助两个函数的最值进行证明 构造函数证明不等式 典例引领 (2016高考全国卷)设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x(1，)时，1x；(3)设c1，证明当x(0，1)时，1(c1)xcx.【解】(1)由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0解得x1.当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln 1，即1x.(3)证明：由题设c1，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxln c，令g(x)0，解得x0.当xx0时，g(x)0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故当0x1时，g(x)0.所以当x(0，1)时，1(c1)xcx.若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数h(x)f(x)g(x)，如果能证明h(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)0)在x0处取极值(1)求a的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值；(2)证明1ln(n1)(nN*)【解】(1)因为x0是函数极值点，所以f(0)0，所以a1.f(x)exx1，易知f(x)ex1.当x(0，)时，f(x)0，当x(，0)时，f(x)ln，即ln，所以ln(1k)ln k(k1，2，n)，累加得1ln(n1)(nN*)(1)函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量通过多次求和达到证明的目的此类问题一般至少2个问号，已知的不等式常由第一个问号根据待证式的待征而得到(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如exx1可化为ln(x1)x等 利用导数证明不等式成立问题的常用方法(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题：若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)f(e)f(3)Bf(3)f(e)f(2)Cf(3)f(2)f(e)Df(e)f(3)f(2)解析：选D.f(x)的定义域是(0，)，f(x)，令f(x)0，得xe.所以当x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(e，)时，f(x)f(3)f(2)故选D.2若0x1x2ln x2ln x1 Bex2ex1x1ex2Dx2ex1x1ex2解析：选C.令f(x)，则f(x).当0x1时，f(x)0，即f(x)在(0，1)上单调递减，因为0x1x21，所以f(x2)f(x1)，即x1ex2，故选C.3设函数f(x)e2xaln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)2aaln.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x(x0)当a0时，f(x)0，f(x)没有零点；当a0时，设u(x)e2x，v(x)，因为u(x)e2x在(0，)上单调递增，v(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(a)0，当b满足0b且b时，f(b)0，故当a0时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于2e2x00，所以f(x0)2ax0aln 2aaln .故当a0时，f(x)2aaln .4(2018贵州适应性考试)已知函数f(x)xln xax，aR，函数f(x)的图象在x1处的切线与直线x2y10垂直(1)求a的值和函数f(x)的单调区间；(2)求证：exf(x)解：(1)由题易知，f(x)ln x1a，x0，且f(x)的图象在x1处的切线的斜率k2，所以f(1)ln 11a2，所以a1.所以f(x)ln x2，当xe2时，f(x)0，当0xe2时，f(x)0，因为g(x)ex在(0，)上单调递增，且g(1)e10，g()e20，所以g(x)在(，1)上存在唯一的零点t，使得g(t)et0，即et(t1)当0xt时，g(x)t时，g(x)g(t)0，所以g(x)在(0，t)上单调递减，在(t，)上单调递增，所以x0时，g(x)g(t)etln t2ln 2t2220，又t0，即exf(x)1已知函数f(x)aln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y2.(1)求a，b的值；(2)当x0且x1时，求证：f(x).解：(1)函数f(x)aln x的导数为f(x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y2，可得f(1)2b2，f(1)ab0，解得ab1.(2)证明：当x1时，f(x)，即为ln x1ln x，即x2ln x0，当0x，即为x2ln x1时，g(x)g(1)0，即有f(x)，当0x1时，g(x).综上可得，当x0且x1时，f(x)都成立2已知函数f(x)ln(xa)x2x在x0处取得极值(1)求实数a的值；(2)证明：对于任意的正整数n，不等式2ln(n1)都成立解：(1)因为f(x)2x1，又因为x0为f(x)的极值点所以f(0)10，所以a1.(2)