离散傅里叶变换ppt课件.ppt

3 1离散傅里叶变换的定义3 2离散傅里叶变换的基本性质3 3频率域采样3 4DFT的应用举例 第3章离散傅里叶变换 DFT 1 一 引言 3 1离散傅里叶变换的定义 我们已经学习了连续时间傅里叶变换 连续周期信号的傅里叶级数 离散时间傅里叶变换 他们都是信号处理领域中重要的数学变换 本章讨论离散傅里叶变换 DFT 其开辟了频域离散化的道路 使数字信号处理可以在频域进行 DFT存在快速算法 使信号的实时处理得以实现 DFT不仅在理论上有重要意义 在各种信号处理中也起着核心作用 2 二 四种信号傅里叶表示 1 周期为T的连续时间周期信号 时域周期频域离散 频谱特点 离散非周期谱 2 连续时间非周期信号 时域非周期频域连续 频谱特点 连续非周期谱 3 3 离散非周期信号 时域离散频域周期 频谱特点 周期为2 的连续谱 4 周期为N的离散周期信号 时域离散周期频域周期离散 频谱特点 周期为N的离散谱 4 四种傅立叶变换 时域 频域 1 连续非周期连续非周期 FT2 连续周期离散非周期 FS3 离散非周期连续周期 DTFT4 离散周期离散周期DFS 切实理解四种FT之间的对应关系 5 三 离散付里叶级数 DFS 为了便于更好地理解DFT的概念 先讨论周期序列及其离散傅里叶级数 DFS 表示 然后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换 DFT 周期序列 因为周期序列不满足条件 因此它的DTFT不存在 但是 正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达 周期序列也可用离散的傅氏级数来表示 1 DFS定义 正变换 反变换 一般记 6 2 周期序列的离散傅里叶级数推导 由 可以展成傅里叶级数 将上式两边乘以 并对n在一个周期N上求和得 令k m 7 令 依同样方法可推出 所以 时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列 8 3 周期序列的傅里叶变换表示 因为周期序列不满足条件 因此它的DTFT不存在 但是 通过引入奇异函数 其DTFT可以用公式表示 9 四 离散付里叶变换 周期序列实际上只有有限个序列值才有意义 因而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列 这就得到有限长序列的傅里叶变换 DFT 1 时域周期序列看作是有限长序列x n 的周期延拓 2 频域周期序列看作是有限长序列X k 的周期延拓 3 把周期序列DFS的定义式 时域 频域 各取主值区间 就得到关于有限长序列时频域的对应变换对 前面已证 时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同周期序列 具体而言 即 10 1 周期序列的主值区间与主值序列 对于周期序列 定义其第一个周期n 0 N 1 为的 主值区间 主值区间上的序列为主值序列x n x n 与的关系可描述为 数学表示 表示先对n进行模N运算 然后对所得结果进行函数运算 7 11 n 0 N 1 定义从n 0到 N 1 的第一个周期为主值序列或区间 12 2 从DFS到离散傅里叶变换 如果x n 的长度为N 且 则可写出的离散傅里叶级数表示为 从上式可知 DFS IDFS的求和只限定在n 0到n N 1 及k 0到N 1的主值区间进行 因此可得到新的定义 即有限序列的离散傅氏变换 DFT 的定义 有限长序列隐含着周期性 13 3 离散傅里叶变换的矩阵方程 14 例3 1 1x n R4 n 求x n 的8点和16点DFT 设变换区间N 8 则 解 DFT定义式为 设变换区间N 16 则 15 比较上面二式可得关系式 4 DFT和Z变换的关系 序列x n 的N点DFT是x n 的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样 序列x n 的N点DFT是x n 的DTFT在 0 2 上的N点等间隔采样 16 图3 1 1X k 与X z X ej 的关系 17 3 2离散傅里叶变换的基本性质 一 基本概念 1 序列的圆周移位 序列x n 长度为N 则x n 的圆周移位定义为 圆周移位的实质是将序列x n 移位 移出主值区间的序列值又依次由另一侧进入主值区 循环移位过程 circshift a 0 1 18 图3 2 1循环移位过程示意图 19 2 序列的圆周卷积 设和是两个具有相同长度N的有限长序列 若不等 对序列补零使其为N点 定义圆周卷积 圆周卷积过程 20 圆周卷积的矩阵表示 循环右移 21 圆周卷积与线性卷积比较 有限长序列x1 n 0 n N1 1 x2 n 0 n N2 1则线性卷积为 N N max N1 N2 点圆周卷积为 22 序列的N点圆周卷积是序列线性卷积 以N为周期 周期延拓序列的主值序列 故 当N N1 N2 1 时 线性卷积与圆周卷积相同 23 图3 4 2线性卷积与圆周卷积 24 25 3 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列分别定义为 当N为偶数时 将上式中的n换成N 2 n可得到 图3 2 3共轭对称与共轭反对称序列示意图 26 任何有限长序列x n 都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和 即 将上式中的n换成N n 并取复共轭得 1 式减 2 式 1 式加 2 式 并整理得 27 二 线性性质 设x1 n x2 n 是长度为N的有限长序列 它们的N点DFT分别为 三 时域圆周移位定理 证明 28 四 频域圆周移位定理 29 设和是两个具有相同长度N的有限长序列 五 时域圆周卷积定理 证明 30 六 频域循环卷积定理 31 七 复共轭序列的DFT 32 八 DFT的共轭对称性 如果x n 的DFT为X k 则x n 的实部和虚部 包括j 的DFT分别为X k 的共轭对称分量和共轭反对称分量 而x n 的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X k 的实部和虚部乘以j 33 设x n 为实序列 X k DFT x n 则有 2 若x n x N n 则X k X N k 3 若x n x N n 则X k X N k 对实序列进行DFT时 利用以上性质可减少运算量 提高运算效率 九 Parseval定理 证明 1 X k X N k 34 则 表明 一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的 35 3 1离散傅里叶变换的定义3 2离散傅里叶变换的基本性质3 3频率域采样3 4DFT的应用举例 第3章离散傅里叶变换 DFT 36 3 3频率域采样 一 引言 1 能否由频域离散采样X k 恢复序列x n 2 能否由频域抽样X k 恢复原频率函数或X z 3 若能恢复其条件是什么 与时域采样相类比 我们提出以下几个问题 4 如何推导内插恢复公式 若要回答这些问题 首先让我们回想下时域样定理确定采样频率的方法 37 1 计算时域采样信号的频谱 2 分析时域采样信号频谱与原信号频谱关系 以采样频率周期延拓 3 从而确定采样频率与被采样信号频谱这间关系 得到时域采样定理 二 频域采样后能不失真恢复原序列的条件 设的长度为 没有限制 欲恢复原信号 即 频域采样序列的离散付立叶逆变换 38 由该式可知 是原序列的周期延拓 然后取主值 结论 若序列长度为M 频域采样点数 或DFT的长度 为N 且MN 会产生时域混叠频域采样后不能不失真地恢复原序列 39 利用频域采样X k 表示X z 三 内插公式 称为内插函数 40 3 1离散傅里叶变换的定义3 2离散傅里叶变换的基本性质3 3频率域采样3 4DFT的应用举例 第3章离散傅里叶变换 DFT 41 3 4DFT的应用举例 一 引言 DFT的应用使数字信号处理可以在频域进行 由于DFT的快速算法FFT的出现 使DFT在数字通信 语言信号处理 图像处理 功率谱估计 仿真 系统分析 雷达理论 光学 医学 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用 然而 各种应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据 或者以DFT作为连续FT的近似为基础 42 二 用DFT计算线性卷积 1 DFT计算循环卷积 可用上式计算循环卷积 从另一方面看 所以 可按下面的计算框图从频域计算循环卷积 图3 4 1用DFT计算循环卷积 43 很多情况下需要计算两个序列的线性卷积 为了提高运算速度 希望用DFT FFT 计算 而DFT只能直接用来计算循环卷积 什么时候循环卷积与线性卷积相等呢 循环卷积与线性卷积相等条件 L M N 1 所以 如果取L M N 1 则可用DFT FFT 计算线性卷积 计算框图如下 图3 4 3用DFT计算线性卷积框图 2 DFT计算线性卷积 44 2 长序列的分段卷积 没有全部进入 如何实现卷积 全部进入再卷积 又如何保证实时实现 数字信号处理的优势是 实时实现 即信号进来后 经处理后马上输出出去 然而 较短 FIR 长度在20 50之间 可能很长 也不适宜直接卷积 另外 解决方法 分段卷积 45 设序列h n 长度为N x n 为无限长 将x n 均匀分段 每段长度取M 则 重叠相加法 分段卷积重叠 分段卷积相加 46 图3 4 4重叠相加法卷积示意图 47 三 用DFT对信号进行谱分析 1 用DFT对连续信号进行谱分析 若信号持续时间有限长 则其频谱无限宽 若信号的频谱有限宽 则其持续时间无限长 按采样定理采样时 以上两种情况的采样序列均应无限长 不满足DFT条件 所以 对频谱很宽的信号一般用预滤波法滤除幅度较小的高频成分 对持续时间很长的信号只好截取有限点进行DFT 所以 用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似的 近似程序与信号带宽 采样频率和截取长度有关 实际上从工程角度 滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的 48 假设xa t 是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号 以下分析连续信号频谱特性的DFT近似 设xa t 持续时间为Tp 最高频率为fc 其傅立叶变换为 共采样N点 则Tp NT 并对表示Xa jf 的积分作零阶近似 t nT dt T 得 对X jf 在区间 0 fs 上等间隔采样N点 采样间隔为F 49 同理 由 可推出 连续信号的频谱特性可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T来近似 栅栏效应 DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换 其频谱将不再是连续函数 只能看到N个离散采样点的谱特性 50 51 由以上分析可以看出利用DFT对连续信号进行谱分析 最主要的两个问题就是 1 谱分析范围 2 频率分辨率 1 谱分析范围 指信号的最高频率fc 受采样定理限制 fc fs 2 2 频率分辨率 物理分辨率 计算分辨率 指将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力 用频率采样间隔F描述 F fs N 矩形窗情况 3 谱分析参数确定 N不变 要提高频率分辨率 必须降低fs 会导致谱分析范围减小 同时T增大 因NT Tp 故Tp增大 fs不变 要提高频率分辨率 必须增加N 因NT Tp T 1 fs 故Tp必须增加 因此 若要增加频率分辨率必须增加信号记录时间Tp 52 频率分辨率 通过频域窗观察到的频率宽度 也可定义为将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力 时间分辨率 通过时域窗观察到的时间宽度 希望 窗函数的 宽度 越小越好 窗口在时域无穷大 在频域无穷小 时域加窗后 窗口由时域窗长决定 在频域 窗口由主瓣宽度决定 主瓣宽度决定频率分辨率 物理分辨率 距离小于主瓣宽度的两个频率无法区分开 53 例 试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度 在本例中 最小的 即要想分辨出这三个谱峰 数据的长度至少要大于500 从DFT的角度看 若令N 512 则 54 下图 N分别等于256和512 可见 N 256时无法分辨三个谱峰 55 例3 4 1对实信号进行谱分析 要求谱分辨率F 10Hz 信号最高频率fc 2 5kHz 试确定最小记录时间TPmin 最大的采样间隔Tmax 最少的采样点数Nmin 如果fc不变 要求谱分辨率增加一倍 最少的采样点N和最小的记录时间是多少 解 谱分辨率增加一倍 F 5Hz 56 2 用DFT对序列进行谱分析 序列x n 的N点DFT是x n 的DTFT在 0 2 上的N点等间隔采样 因此序列的傅立叶变换可利用DFT来计算 DFT是由周期序列DFS取主值区间得到的一种变换 因此 DFT可用于周期序列的谱结构分析 DFT进行谱分析的步骤 DFT和线性卷积是信号处理中两个最重要的基本运算 有快速算法 且二者是 相通 的 57 DFT实现连续信号谱分析的过程 3 用DFT进行谱分析的误差问题 1 混叠现象 2 栅栏效应 3 截断效应 周期延拓 58 1 混叠现象 实际应用中 通常取fs 3 5 fh种 对fs确定情况 一般在采样前进行预滤波 滤除高于折叠频率fs 2的频率成分 以免发生频谱混叠现象 如果采样频率fs小于连续信号最高频率fh 会在 处发生频谱混叠现象 对于模拟频率 即在fs 2附近发生频谱混叠现象 用DFT对连续信号进行谱分析 首先要按采样定理对其采样 59 2 栅栏效应 N点DFT是在频率区间 0 2 上对信号的频谱进行N点等间隔采样 而采样点之间频谱函数值是不知道的 用DFT计算频谱 就如通过一个栅栏观看信号的频谱情况 仅得到栅栏缝隙中看到的频谱函数值 由于栅栏效应 有可能漏掉 挡住 大的频谱分量 可以采用在原序列尾部补零的方法改变DFT变换区间长度 使原来漏掉的频谱分量被检测出来 补零的方法能使栅栏效应得到改善 计算分辨率提高 但不能改变频率分辨率 物理分辨率 即原来无法分开的两个频率 并不能通过补零而分开 60 3 截断效应 序列可能是无限长的 用DFT对其进行谱分析时必须截短成有限长序列 截断后序列的频谱与原序列频谱必然有差别 这种差别对谱分析的影响主要有 泄漏 原来谱分量为零的地方出现了谱分量 谱间干扰 由于窗旁瓣的存在 引起不同频率分量间的干扰 增加矩形窗的窗长N 可使其主瓣变窄 提高频率分