(数学分析教案)第七章实数的完备性.doc

第七章 实数的完备性(9学时)1 关于实数完备性的基本定理教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法.教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理. 难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明.学时安排: 4学时教学方法: 讲授法.教学过程如下:一、区间套定理与柯西收敛准则定义1 设闭区间列具有如下性质：（1）（2）则称为闭区间套，或简称区间套.定理7.1(区间套定理) 若是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点使得,即证: 先证存在性是一个区间套, 所以 可设 且由条件2有 由单调有界定理的证明过程有再证唯一性设也满足那么,由区间套的条件2得 故有 推论 若是区间套所确定的点,则对任给的,存在,使得当时有 柯西收敛准则 数列收敛的充要条件是: 对任给的,存在,使得对有. 证 必要性 略.充分性 已知条件可改为：对任给的,存在,使得对有.取，有对任给的,存在,使得对有，即在区间内含有中几乎所有的项（指的是中除有限项的所有项）令则存在，在区间内含有中几乎所有的项，记该区间为.再令则存在，在区间内含有中几乎所有的项，记该区间为也含有中几乎所有的项,且满足及依次继续令得一区间列,其中每个区间中都含有中几乎所有的项,且满足即时是区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数.再证.由定理7.1的推论对任给的,存在,使得当时有即在内含中除有限项的所有项,由定义.二、聚点定理与有限覆盖定理定义2 设为数轴上产的点集，为定点，若的任何邻域内都有含有中无穷多个点，则称为点集的一个聚点.例如:有两聚点. 有一个聚点. 内的点都是它的聚点,所以开区间集有无穷多个聚点.聚点的等价定义;定义对于点集,若点的任何邻域内都含有中异于的点,即,则称为的一个聚点.定义若存在各项互异的数列,则其极限称为的一个聚点.三个定义等价性的证明:证明思路为:.定义的证明:由定义设为的一个聚点,则对任给的,存在.令,则存在;令,则存在,且显然;令,则存在,且显然与互异;得中各项互异的数列,且由,知.由闭区间套定理可证聚点定理.定理7.2 (Weierstrass聚点定理) 实数轴上的任一有界无限点集致少有一个聚点.证 有界, 存在,使得,记,将等分为两个子区间.因为无限点集,故意两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点,记此子区间为,则且.再将等分为两个子区间,则其中至少有一个含有中无穷多个点,取出这样一个子区间记为,则,且依次继续得一区间列,它满足:即为闭区间套,且其中每一个闭区间都含有中无穷多个点.由区间套定理, 存在唯一的一点使得.由定理1的推论, 对任给的,存在,使得当时有.从而含有中无穷多个点按定义2为的一个聚点.推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列.证: 设为有界数列.若中有无限多个相等的项,显然成立.若数列中不含有无限多个相等的项,则在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,点集至少有一个聚点,记为.由定义,存在的一个收敛子列(以为极限).由致密性定理证柯西收敛准则的充分性.柯西收敛准则 数列收敛的充要条件是: 对任给的,存在,使得对有.证: 充分性 先证有界,由忆知条件取,则存在正整数N, 则及时有由此得.取则对一切的正整数均有.再证收敛,由致密性定理,数列有收敛子列,设由条件及数列极限的定义, 对任给的,存在,使得对有，取时得到 所以定义3 设为数思轴上的点集,为开区间集合(即的每一个元素都是形如的开区间).若中的任何一个点都有含在中至少一个开区间内,则称为的一个开覆盖,( 覆盖).若中开区间的个数是无限的(有限)的,则称为的一个无限开覆盖(人限开覆盖).如为的一个无限开覆盖.定理7.3(海涅-博雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理) 设为闭区间的一个(无限)开覆盖,则从中可选出有限个开区间来覆盖.证 用反证法 设定理的结论不成立,即不能用中有限个开区间来覆盖.将等分为两个子区间,其中至少有一个不区间不能用中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为,则,且.再将等分为两个子区间,同样,其中至少有一个不区间不能用中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为,则,且.依次继续得一区间列,它满足:即为闭区间套,且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖由闭区间套定理, 存在唯一的一点使得,由于为闭区间的一个(无限)开覆盖,故存在使得.于是,由定理7.1的推论,当充分大时有.即用中一个开区间就能覆盖矛盾.课后记:这一节理论性强,学生学习困难较大,我认为应从以下几个方面和学生共同学习这一节.1 如何理解记忆定理内容. 2 如何掌握定理的证明方法. 3 怎样应用定理及定理的证明方法去解决问题.在应用闭区间套定理时,应先构造一个闭区间套,构造的方法一般是二等分法,在应用有限覆盖定理时,应先构造一个开覆盖构造的方法一般与函数的连续性定义结合.应用聚点定理时,应先构造一数列等.教材中P163中包含的几乎所有项,是因为它中包含的第项以后的所有项,这里应强掉,容易被忽略.在下节的教学中就让学一注意到在什么时候用实数的完备性定理,这是一个难点,重点.三、 实数基本定理等价性的证明（未讲） 证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy收敛准则 确界原理 ;: 区间套定理 致密性定理 Cauchy收敛准则 ;: 区间套定理 HeineBorel 有限复盖定理 区间套定理 .一. “” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).1.用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理7.4 单调有界数列必收敛 .2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:定理 7.5 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.推论1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有.推论2 若是区间套确定的公共点, 则有, , .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:定理 7.6 数列收敛 是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列. ( 证 )定理 7.6 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217218上的证明留作阅读 . 现采用三等分的方法证明,该证法比较直观.4用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ：定理7.7 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间 , 取 , 使不是的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见. 设.有.下证 .用反证法验证的上界性和最小性.二. “” 的证明:1.用“区间套定理”证明“致密性定理”:定理7.8 (Weierstrass) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）定理7.9 每一个有界无穷点集必有聚点.2用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ：定理7.10 数列收敛 是Cauchy列.证（ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.三.“” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“HeineBorel 有限复盖定理”:2.用“HeineBorel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:2 闭区间上连续函数性质的证明 教学目的要求： 掌握定理的证明方法.教学重点、难点：重点是定理的证明方法,难点是什么情况下用哪一个定理.学时安排: 2学时教学方法: 讲授法.教学过程:一.有界性:命题1 , 在上.证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二.最值性:命题2 , 在上取得最大值和最小值.( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 参阅1P226 证法二 后半段.三.介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 ( 零点定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 .令, 则非空有界, 有上确界. 设有. 现证, ( 为此证明且). 取且. 由在点连续和, , . 于是. 由在点连续和, . 因此只能有.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).四. 一致连续性:命题4 ( Cantor定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用列紧性 ). 五.实数基本定理应用举例：例1设是闭区间上的递增函数, 但不必连续 . 如果, 则, 使. ( 山东大学研究生入学试题 )证法 一 ( 用确界技术 . 参阅3 P76例10 证法1 )设集合 . 则, 不空 ; ,有界 . 由确界原理 ,有上确界. 设 , 则 .下证 .） 若, 有; 又, 得. 由 递增和, 有, 可见. 由,. 于是 , 只能有.） 若, 则存在内的数列, 使, ; 也存在数列, ,. 由递增, 以及, 就有式 对任何成立 . 令, 得于是有.证法二 ( 用区间套技术, 参阅3 P77例10 证法2 ) 当或时,或就是方程在上的实根 . 以下总设. 对分区间, 设分点为 . 倘有, 就是方程在上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会出现这种情况 ) . 若, 取; 若, 取, 如此得一级区间. 依此构造区间套, 对,有 . 由区间套定理, , 使对任何,有. 现证. 事实上, 注意到时和以及递增,就有.令 , 得于是有.例2 设在闭区间上函数连续, 递增 , 且有,. 试证明: 方程 在区间 内有实根 . 证 构造区间套,使 .由区间套定理, 使对, 有. 现证 . 事实上, 由在上的递增性和的构造以及和, 有.注意到在点连续，由Heine归并原则, 有 , , . 为方程在区间 内的实根.例3 试证明: 区间 上的全体实数是不可列的 .证( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间 上的全体实数是可列的,即可排成一列:把区间 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为一级区间. 把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为二级区间. .依此得区间套, 其中区间不含. 由区间套定理, , 使对, 有. 当然有 . 但对有 而, . 矛盾.习 题 课 （ 3学 时 ）一实数基本定理互证举例：例4 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证 设数列递增有上界. 取闭区间 , 使不是的上界, 是的上界. 易见在闭区间 内含有数列的无穷多项, 而在外仅含有的有限项. 对分, 取使有的性质.于是得区间套,有公共点. 易见在点的任何邻域内有数列的无穷多项而在其外仅含有的有限项, .例5 用“确界原理”证明“区间套定理”. 证为区间套. 先证每个为数列的下界, 而每个为数列的上界. 由确界原理 , 数列有上确界, 数列有下确界 . 设 , .易见有 和. 由，.例6 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证 ( 用反证法 ) 设为有界