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加试模拟训练题（68）1a、b、c三点共线，o点在直线外，o1，o2，o3分别为oab，obc，oca的外心.求证：o，o1，o2，o3四点共圆.2.一个数列的前五项是1，2，3，4，5，从第六项开始，每项比前面所有项的乘积少1证明：此数列的前70项的乘积恰是它们的平方和3. 按某种顺序把从1到1993的自然数排成一行，对这一行数实行下述变换：如果数k占有第一个位置，则把这行中的前k个数按相反的顺序重新进行排列，证明：经过有限次这种变换以后，一定可以使数l占有第一个位置 4.设是区间2，100中的整数，证明存在正整数n使得是合数.加试模拟训练题（68）1a、b、c三点共线，o点在直线外，o1，o2，o3分别为oab，obc，oca的外心.求证：o，o1，o2，o3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)分析：作出图中各辅助线.易证o1o2垂直平分ob，o1o3垂直平分oa.观察obc及其外接圆，立得oo2o1=oo2b=ocb.观察oca及其外接圆，立得oo3o1=oo3a=oca.由oo2o1=oo3o1o，o1，o2，o3共圆.利用对角互补，也可证明o，o1，o2，o3四点共圆，请同学自证.2.一个数列的前五项是1，2，3，4，5，从第六项开始，每项比前面所有项的乘积少1证明：此数列的前70项的乘积恰是它们的平方和【题说】1995年城市数学联赛低年级高水平题2【证】设第n项为an，a6=119n6时，an+1=a1a2an-1=a1a2an-1an-1=an（an+1）-1=a71-119+65+55=a1a2a70别证记第n项为an，则a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=119，n6时，an+1=a1a2an-1=（an+1）an-1=55+（a71-a6+65）=a71+1=a1a2a703. 按某种顺序把从1到1993的自然数排成一行，对这一行数实行下述变换：如果数k占有第一个位置，则把这行中的前k个数按相反的顺序重新进行排列，证明：经过有限次这种变换以后，一定可以使数l占有第一个位置【题说】第十九届(1993年)全俄数学奥林匹克十一年级二试题6【解】将1993改为n并用归纳法来证明n1显然设对n1，结论成立，考虑n个数的情形，如果经过有限次变换，数n排在最后则对前n1个数应用归纳假设便得到所需的结论(因为n已不会再移动)如果数n不可能移到最后，这时它也不可能占有第一个位置所以，位于最后的数在任何一次变换中不会移动从而参与变动的仅有前面的n1个数，应用归纳假设就可以达到我们的目的 4.设是区间2，100中的整数，证明存在正整数n使得是合数.证 如果x=y，令n=1，则是一个大于2的偶数，故为合数。假设，下面证明存在正整数n，使得是257的倍数，且不等于257。设=257，令。如果，这与条件x,y都大于1矛盾。下面只需要证明存在正整数n，使得是257的倍数。事实上，由于与257互素，故存在正整数q,使得，.因为，。又25
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