【步步高】（江苏专用）高考数学二轮专题突破 专题一 第4讲 不等式及线性规划 文(1).doc

第4讲不等式及线性规划【高考考情解读】1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题1 四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)简单分式不等式的解法变形0(0(1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)；当0aag(x)f(x)1时，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0；当0alogag(x)f(x)0，g(x)0.2 五个重要不等式(1)|a|0，a20(ar)(2)a2b22ab(a、br)(3)(a0，b0)(4)ab()2(a，br)(5) (a0，b0)3 二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；求出目标函数的最大值或者最小值4 两个常用结论(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是考点一一元二次不等式的解法例1(2012江苏)已知函数f(x)x2axb(a，br)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_答案9解析由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)c.2c，即x0的解集为，则(其中ab)的最小值为_(2)设命题p：x|02x11，命题q：x|x2(2k1)xk(k1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是_答案(1)6(2)解析(1)由题意知a0且44ab0，即ab1，则由ab得ab0.故ab26，当且仅当ab3时取“”(2)p：x|x1，q：x|kxk1，由pq且qd/p，则或，0k，即k的取值范围是.考点二利用基本不等式求最值问题例2(1)(2012浙江)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_(2)设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_答案(1)5(2)解析(1)x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(当且仅当x2y时取等号)，3x4y的最小值为5.(2)方法一4x2y2xy1，(2xy)23xy1，即(2xy)22xy1，(2xy)221，解之得(2xy)2，即2xy.等号当且仅当2xy0，即x，y时成立方法二令t2xy，则yt2x，代入4x2y2xy1，得6x23txt210，由于x是实数，故9t224(t21)0，解得t2，即t，即t的最大值也就是2xy的最大值，为.方法三化已知4x2y2xy1为221，令2xycos ，ysin ，则ysin ，则2xy2xyycos sin sin(). 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件 (1)已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为_答案解析2x2(xa)2a22a42a，由题意可知42a7，得a，即实数a的最小值为.(2)(2013山东)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最小值时，x2yz的最大值为_答案2解析由题意知：zx23xy4y2，则31，当且仅当x2y时取等号，此时zxy2y2.所以x2yz2y2y2y22y24y2(y1)222.所以当y1时，x2yz取最大值2.考点三简单的线性规划问题例3(2013湖北改编)某旅行社租用a、b两种型号的客车安排900名客人旅行，a、b两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且b型车不多于a型车7辆则租金最少为_元答案36 800解析设租a型车x辆，b型车y辆时租金为z元则z1 600x2 400yx、y满足画出可行域如图直线yx过点a(5,12)时纵截距最小，zmin51 6002 4001236 800，故租金最少为36 800元 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数 (1)(2013山东改编)在平面直角坐标系xoy中，m为不等式组所表示的区域上一动点，则直线om斜率的最小值为_(2)(2013北京改编)设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点p(x0，y0)，满足x02y02，求得m的取值范围是_答案(1)(2)解析(1)由得a(3，1)此时线om的斜率最小，且为.(2)当m0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点p(x0，y0)满足x02y02，因此m0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域要使可行域内包含yx1上的点，只需可行域边界点(m，m)在直线yx1的下方即可，即mm1，解得m0b0直线axbyc0上方直线axbyc0下方axbyc0，且t0，因此有t2，故20)；sin x2(xk，kz)；x212|x|(xr)；1(xr)答案解析应用基本不等式：x，yr，(当且仅当xy时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，故正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当xk，kz时，sin x的正负不定，故不正确；由基本不等式可知，正确；当x0时，有1，故不正确2 设ab1，c；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是_答案解析由不等式的基本性质可知对；幂函数yxc(cb1，所以对；由对数函数的单调性可得logb(ac)logb(bc)，又由对数的换底公式可知logb(bc)loga(bc)，所以logb(ac)loga(bc)，故选项正确3 设ax|x22x30，bx|x2axb0，若abr，ab(3,4，则ab_.答案7解析依题意，a(，1)(3，)，又因为abr，ab(3,4，则b1,4所以a(14)3，b144，于是ab7.4 已知p：0，q：4x2xm0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是_答案6，)解析由p得：00，a1)的图象恒过定点a，若点a在直线mxny10 (mn0)上，则的最小值为_答案4解析定点a(1,1)，又a在mxny10上，mn1.(mn)24.当且仅当mn时取等号6 在平面直角坐标系xoy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于p，q两点，则线段pq长的最小值是_答案4解析过原点的直线与f(x)交于p、q两点，则直线的斜率k0，设直线方程为ykx，由得或p(，)，q(，)或p(，)，q( ，)pq2 4.7 (2013课标全国改编)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a_.答案解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点a时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.8 已知变量x，y满足约束条件若目标函数zyax仅在点(3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围为_答案解析如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线yax0，要使目标函数zyax仅在点(3,0)处取到最大值(即直线zyax仅当经过该平面区域内的点(3,0)时，在y轴上的截距达到最大)，结合图形可知a.9 已知实数x，y满足若zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为_答案1解析依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示要使zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线zyax必平行于直线yx10，于是有a1.10(2013浙江)设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.答案2解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0k时，直线ykxz经过点m(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；当k时，直线ykxz经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当k0时，直线ykxz经过点m(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2，符合题意综上可知，k2.二、解答题11求解关于x的不等式ax2(a1)x10.解(1)当a0时，原不等式变为x11(2)当a0时，原不等式可化为a(x1)0.若a0，又因为1或x0，则上式即为(x1)0.当1时，原不等式的解集为；当1，即a1时，原不等式的解集为；当1，即0a1时，原不等式的解集为.综上所述，当a1；当0a1时，原不等式的解集为.12某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p(0x8)，若距离为1 km时，测算宿舍建造费用为100万元为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元设f(x)为建造宿舍与修路费用之和(1)求f(x)的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值解(1)根据题意得100，所以k800，故f(x)56x,0x8.(2)因为f(x)2(3x5)5805，当且仅当2(3x5)即x5时f(x)min75.所以宿舍应建在离厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小为75万元13已知函数f(x)ax3bx2(2b)x1在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，且0x11x20；(2)若za2b，求z的取值范围(1)证明求函数f(x