【步步高 学案导学设计】高中数学 第一章 推理与证明章末检测（A） 北师大版选修22.doc

第一章推理与证明(a)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1下列说法中正确的是()a合情推理就是正确的推理b合情推理就是归纳推理c归纳推理是从一般到特殊的推理过程d类比推理是从特殊到特殊的推理过程2下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180归纳出所有三角形的内角和都是180；某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.abcd3观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在r上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)等于()af(x)bf(x)cg(x) dg(x)4用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容应是()a.b.c.，且d.或180，这与三角形内角和为180相矛盾，ab90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设a、b、c中有两个角是直角，不妨设ab90.正确顺序的序号排列为()abcd8类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等abcd9用数学归纳法证明等式123(n3) (nn)，验证n1时，左边应取的项是()a1b12c123d123410若函数f(x)x22xm (xr)有两个零点，并且不等式f(1x)1恒成立，则实数m的取值范围为()a(0,1) b0,1)c(0,1 d0,111求证：2.证明：因为和2都是正数，所以为了证明2，只需证明()2(2)2，展开得6212，即3，只需证明59.因为59成立所以不等式0，由不等式x2，x3，启发我们可以得到推广结论：xn1 (nn)，则m_.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)设f(x)x2axb，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.18(12分)用反证法证明：已知a与b均为有理数，且与都是无理数，证明：是无理数19.(12分)已知正数数列an的前n项和sn(an)，(1)求a1，a2，a3；(2)归纳猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论20(12分)已知a0，求证：a2.21.(12分)在rtabc中，abac，adbc于d，求证：，那么在四面体abcd中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由22(12分)已知点pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1 (nn)且点p1的坐标为(1，1)(1)求过点p1，p2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nn，点pn都在(1)中的直线l上答案1d2c是类比，是归纳推理3d由观察知，若f(x)为偶函数，则g(x)为奇函数4d5.c6ba1，an，a22，a31，a4.an3an，即周期为3.a2 011a67031a1.7c8c因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的二面所成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以都恰当9dn1时，n34，左边1234.10bf(x)x22xm有两个零点，44m0，m1，又f(1x)(1x)22(1x)mx2m1m1.而f(1x)1恒成立，m11，m0，0m1.11b本题中的证明执果索因，是分析法12b正确，其余错误13.，1418解析两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，它们的体积比为18.15132333435363212.解析由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，因此，第五个等式为132333435363212.16nn17证明假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|，于是有1ab，42ab，93ab.，得1104a2b1，所以384a2b1，所以42ab.由知42ab0，b0，得0.a、b为有理数且为有理数，即为有理数()()，即2为有理数从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，一定为无理数19解(1)a11，a21，a3.(2)猜想an.证明：当n1时，由a11得结论成立；假设nk(kn)时结论成立，即ak.当nk1时，ak1sk1sk(ak1)(ak)(ak1)()，从而有a2ak110，又由ak10，解得ak1，这说明当nk1时结论成立由可知，an对任意正整数n都成立20证明要证a2，只需证2a.a0，故只要证(2)22.即a244a2222.从而只要证2.只要证42即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立21.解如图所示，由射影定理知ad2bddc，ab2bdbc，ac2bcdc，. 又bc2ab2ac2，.所以.类比abac，adbc猜想：四面体abcd中，ab、ac、ad两两垂直，ae平面bcd，则.如图，连接be交cd于f，连接af.abac，abad，ab平面acd.而af平面acd，abaf.在rtabf中，aebf，. 在rtacd中，afcd，.，故猜想正确22(1)解由p1的坐标为(1，1)知a11，b11.b2，a2a1b2.点p2的坐