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文档简介

第4讲 基本不等式a级基础演练(时间:30分钟满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1(2013宁波模拟)若a0,b0,且a2b20,则ab的最大值为 ()a. b1 c2 d4解析a0,b0,a2b2,a2b22,即ab.当且仅当a1,b时等号成立答案a2函数y(x1)的最小值是 ()a22 b22c2 d2解析x1,x10,y(x1)222.当且仅当x1,即x1时取等号答案a3(2012陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则 ()aav bvc.v dv解析设甲、乙两地之间的距离为s.ab,v0,va.答案a4(2013杭州模拟)设abc0,则2a210ac25c2的最小值是()a2 b4 c2 d5解析2a210ac25c22a210ac25c22a210ac25c22a210ac25c2(bab时取“”)2a210ac25c2(a5c)24,故选b.答案b二、填空题(每小题5分,共10分)5(2011浙江)设x,y为实数若4x2y2xy1,则2xy的最大值是_解析依题意有(2xy)213xy12xy12,得(2xy)21,即|2xy|.当且仅当2xy时,2xy取最大值.答案6(2013北京朝阳期末)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为yx218x25(xn*),则当每台机器运转_年时,年平均利润最大,最大值是_万元解析每台机器运转x年的年平均利润为18,而x0,故1828,当且仅当x5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元答案58三、解答题(共25分)7(12分)已知x0,y0,且2x8yxy0,求:(1)xy的最小值;(2)xy的最小值解x0,y0,2x8yxy0,(1)xy2x8y2,8,xy64.故xy的最小值为64.(2)由2x8yxy,得:1,xy(xy)1(xy)1010818.故xy的最小值为18.8(13分)已知x0,y0,且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值;(2)求的最小值解(1)x0,y0,由基本不等式,得2x5y2.2x5y20,220,xy10,当且仅当2x5y时,等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5,y2时,ulg xlg y有最大值1.(2)x0,y0,当且仅当时,等号成立由解得的最小值为.b级能力突破(时间:30分钟满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1已知x0,y0,且1,若x2ym22m恒成立,则实数m的取值范围是 ()a(,24,) b(,42,)c(2,4) d(4,2)解析x0,y0且1,x2y(x2y)442 8,当且仅当,即x4,y2时取等号,(x2y)min8,要使x2ym22m恒成立,只需(x2y)minm22m恒成立,即8m22m,解得4m0),l1与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点a,b,l2与函数y|log2x|的图象从左至右相交于点c,d.记线段ac和bd在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时,的最小值为 ()a16 b8 c8 d4解析如图,作出y|log2x|的图象,由图可知a,c点的横坐标在区间(0,1)内,b,d点的横坐标在区间(1,)内,而且xcxa与xbxd同号,所以,根据已知|log2xa|m,即log2xam,所以xa2m.同理可得xc2,xb2m,xd2,所以2m,由于m4,当且仅当,即2m14,即m时等号成立,故的最小值为28.答案b二、填空题(每小题5分,共10分)3若正数a,b满足abab3,则ab的取值范围是_解析由a,br,由基本不等式得ab2,则abab323,即ab230(3)(1)0 3,ab9.答案9,)4已知两正数x,y满足xy1,则z的最小值为_。解析zxyxyxy2,令txy,则00)(1)求f(x)的最大值;(2)证明:对任意实数a,b,恒有f(a)b23b.(1)解f(x)2,当且仅当x时,即x2时,等号成立所以f(x)的最大值为2.(2)证明b23b23,当b时,b23b有最小值3,由(1)知,f(a)有最大值2,对任意实数a,b,恒有f(a)b23b.6(13分)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块,中间挖出三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,池塘周围的基围宽均为2米,如图,设池塘所占的总面积为s平方米(1)试用x表示s;(2)当x取何值时,才能使得s最大?并求出s的最大值解(1)由图形知,3a6x,a.则总面积sa2aa1 832,即s1 832(x0)(2)由s1 832,得s1 8

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