高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第八节 直线与圆锥曲线课件 文.ppt

第八节直线与圆锥曲线 总纲目录 教材研读 1 直线与圆锥曲线位置关系的判断 考点突破 2 直线与圆锥曲线相交的弦长问题 3 弦ab的中点与直线ab斜率的关系 考点二弦长问题 考点一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用 考点三中点弦问题 1 直线与圆锥曲线位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时 通常将直线l的方程ax by c 0 a b不同时为0 与圆锥曲线r的方程f x y 0联立 消去y 也可以消去x 得到一个关于变量x 或变量y 的方程 即联立消去y 或x 后得ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 1 当a 0时 若 0 则直线l与曲线r相交 若 0 则直线l与曲线r相切 若 0 则直线l与曲线r相离 教材研读 2 当a 0时 得到一个一次方程 则直线l与曲线r相交 且只有一个交点 此时 若r为双曲线 则直线l与双曲线的 渐近线平行 若r为抛物线 则直线l与抛物线的 对称轴平行或重合 1 椭圆的切线 1 椭圆 1 a b 0 上一点p x0 y0 处的切线方程是 1 2 过椭圆 1 a b 0 外一点p x0 y0 所引两条切线的切点弦所在直线方程是 1 3 椭圆 1 a b 0 与直线ax by c 0相切的条件是a2a2 b2b2 c2 圆锥曲线的切线方程 2 双曲线的切线方程 1 双曲线 1 a 0 b 0 上一点p x0 y0 处的切线方程是 1 2 过双曲线 1 a 0 b 0 外一点p x0 y0 所引两条切线的切点弦所在直线方程是 1 3 双曲线 1 a 0 b 0 与直线ax by c 0相切的条件是a2a2 b2b2 c2 3 抛物线的切线方程 1 抛物线y2 2px p 0 上一点p x0 y0 处的切线方程是y0y p x x0 2 抛物线y2 2px p 0 外一点p x0 y0 所引两条切线的切点弦所在直线方程是y0y p x x0 3 抛物线y2 2px p 0 与直线ax by c 0相切的条件是pb2 2ac 直线l过抛物线的焦点 抛物线方程以y2 2px p 0 为例 那么 ab x1 x2 p 3 弦ab的中点与直线ab斜率的关系 1 已知ab是椭圆 1 a b 0 的一条弦 其中点m的坐标为 x0 y0 运用点差法求直线ab的斜率 设a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 a b都在椭圆上 两式相减得 0 0 故kab 2 已知ab是双曲线 1 a 0 b 0 的一条弦 且a x1 y1 b x2 y2 x1 x 2 弦中点m x0 y0 则与 1 同理可知kab 3 已知ab是抛物线y2 2px p 0 的一条弦 且a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 弦中点m x0 y0 则两式相减得 2p x1 x2 y1 y2 y1 y2 2p x1 x2 即kab 1 直线y kx k 1与椭圆 1的位置关系为 a 相交b 相切c 相离d 不确定 答案a由于直线y kx k 1 k x 1 1过定点 1 1 又 1 1 在椭圆内 故直线与椭圆必相交 a 2 直线y x 3与双曲线 1的交点个数是 a 1b 2c 1或2d 0 答案a因为直线y x 3与双曲线的渐近线y x平行 所以它与双曲线只有1个交点 a 3 双曲线c 1 a 0 b 0 的右焦点为f 直线l过焦点f 且斜率为k 则直线l与双曲线c的左 右两支都相交的充要条件是 a k b k或k d k 答案d由双曲线的渐近线的几何意义知 k d 4 2015北京怀柔一中3月模拟 已知直线l x y m 0经过抛物线c y2 2px p 0 的焦点 直线l与抛物线c交于a b两点 若 ab 6 则p的值为 a b c 1d 2 答案b由得x2 2m 2p x m2 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 2m 2p 又直线l x y m 0经过抛物线c y2 2px p 0 的焦点 0 m 0 解得m 又 ab x1 x2 x1 x2 p 2m 3p 4p 6 p 故选b b 5 过点 0 1 作直线 使它与抛物线y2 4x仅有一个公共点 这样的直线有条 答案3 3 典例1在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆c1 1 a b 0 的左焦点为f1 1 0 且点p 0 1 在c1上 1 求椭圆c1的方程 2 设直线l同时与椭圆c1和抛物线c2 y2 4x相切 求直线l的方程 考点一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用 考点突破 方法技巧 1 判断直线与圆锥曲线的交点个数时 可直接求解相应方程组得到交点坐标 也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定 需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0 2 依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时 联立方程并消元 得到一元方程 此时注意观察方程的二次项系数是否为0 若为0 则方程为一次方程 若不为0 则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解 1 1若直线y kx 2与双曲线x2 y2 6的右支交于不同的两点 那么k的取值范围是 a b c d d 答案d由消去y 得 1 k2 x2 4kx 10 0 直线与双曲线右支交于不同的两点 解得 k 1 1 2若直线l y a 1 x 1与曲线c y2 ax恰好有一个公共点 试求实数a的取值集合 解析因为直线l与曲线c恰好有一个公共点 所以方程组有唯一一组实数解 消去y 得 a 1 x 1 2 ax 整理得 a 1 2x2 3a 2 x 1 0 1 当a 1 0 即a 1时 方程 是关于x的一元一次方程 解得x 1 这时 原方程组有唯一解 2 当a 1 0 即a 1时 方程 是关于x的一元二次方程 判别式 3a 2 2 4 a 1 2 a 5a 4 令 0 解得a 0或a 当a 0时 原方程组有唯一解当a 时 原方程组有唯一解综上 实数a的取值集合是 令 2m2 4 m2 2 0 解得 2 m 2 设a x1 y1 b x2 y2 方法技巧弦长的求解 1 当弦的两端点坐标易求时 可直接利用两点间的距离公式求解 2 当直线的斜率存在时 斜率为k的直线l与圆锥曲线c相交于a x1 y1 b x2 y2 两个不同的点 则弦长 ab x1 x2 y1 y2 k 0 3 当弦过焦点时 可结合焦半径公式求解弦长 2 1如图 在平面直角坐标系xoy中 椭圆 1 a b 0 的离心率为 过椭圆右焦点f作两条互相垂直的弦ab与cd 当直线ab的斜率为0时 ab 4 1 求椭圆的方程 2 若 ab cd 求直线ab的方程 解析 1 由题意知e 2a 4 又a2 b2 c2 解得a 2 b c 1 所以椭圆方程为 1 2 当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时 另一条弦所在直线的斜率不存在 由题意知 ab cd 7 不满足条件 当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时 设直线ab的方程为y k x 1 a x1 y1 b x2 y2 则直线cd的方程为y x 1 将直线ab的方程代入椭圆方程中并整理得 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 则x1 x2 x1 x2 所以 ab x1 x2 同理 cd 所以 ab cd 解得k 1 所以直线ab的方程为x y 1 0或x y 1 0 典例3抛物线c的顶点为原点 焦点在x轴上 直线x y 0与抛物线c交于a b两点 若p 1 1 为线段ab的中点 则抛物线c的方程为 a y 2x2b y2 2xc x2 2yd y2 2x 考点三中点弦问题 b 方法技巧处理中点弦问题的常用方法 1 点差法 设出弦的两端点坐标后 代入圆锥曲线方程 并将两式相减 式中含有x1 x2 y1 y2 三个未知量 这样就直接联系了中点和直线的斜率 借用中点公式即可求得斜率 2 根与系数的关系 联立直线与圆锥