高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系课件 文.ppt

第八节直线与圆锥曲线的位置关系 总纲目录 教材研读 1 直线与圆锥曲线位置关系的判断 考点突破 2 直线与圆锥曲线相交的弦长问题 3 弦ab的中点与直线ab斜率的关系 考点二弦长问题 考点一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用 考点三中点弦问题 1 直线与圆锥曲线位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时 通常将直线l的方程ax by c 0 a b不同时为0 与圆锥曲线r的方程f x y 0联立 消去y 也可以消去x 得到一个关于变量x 或变量y 的方程 即联立消去y 或x 后得ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 1 当a 0时 若 0 则直线l与曲线r相交 若 0 则直线l与曲线r相切 若 0 则直线l与曲线r相离 教材研读 2 当a 0时 得到一个一次方程 则直线l与曲线r相交 且只有一个交点 此时 若r为双曲线 则直线l与双曲线的 渐近线平行 若r为抛物线 则直线l与抛物线的 对称轴平行或重合 1 椭圆的切线方程 1 椭圆 1 a b 0 上一点p x0 y0 处的切线方程是 1 2 过椭圆 1 a b 0 外一点p x0 y0 所引两条切线的切点弦所在直线方程是 1 3 椭圆 1 a b 0 与直线ax by c 0相切的条件是a2a2 b2b2 c2 圆锥曲线的切线方程 2 双曲线的切线方程 1 双曲线 1 a 0 b 0 上一点p x0 y0 处的切线方程是 1 2 过双曲线 1 a 0 b 0 外一点p x0 y0 所引两条切线的切点弦所在直线方程是 1 3 双曲线 1 a 0 b 0 与直线ax by c 0相切的条件是a2a2 b2b2 c2 3 抛物线的切线方程 1 抛物线y2 2px p 0 上一点p x0 y0 处的切线方程是y0y p x x0 2 抛物线y2 2px p 0 外一点p x0 y0 所引两条切线的切点弦所在直线方程是y0y p x x0 3 抛物线y2 2px p 0 与直线ax by c 0相切的条件是pb2 2ac 3 弦ab的中点与直线ab斜率的关系 1 已知ab是椭圆 1 a b 0 的一条弦 其中点m的坐标为 x0 y0 运用点差法求直线ab的斜率 设a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 a b都在椭圆上 两式相减得 0 0 故kab 2 已知ab是双曲线 1 a 0 b 0 的一条弦 且a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 弦中点m x0 y0 则与 1 同理可知kab 3 已知ab是抛物线y2 2px p 0 的一条弦 且a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 弦中点m x0 y0 则两式相减得 2p x1 x2 y1 y2 y1 y2 2p x1 x2 即kab 1 直线y kx k 1与椭圆 1的位置关系为 a 相交b 相切c 相离d 不确定 a 答案a由于直线y kx k 1 k x 1 1过定点 1 1 1 1 在椭圆内 故直线与椭圆必相交 2 直线y x 3与双曲线 1的交点个数是 a 1b 2c 1或2d 0 a 答案a因为直线y x 3与双曲线的渐近线y x平行 所以它与双曲线只有1个交点 3 过点 0 1 作直线 使它与抛物线y2 4x仅有一个公共点 这样的直线有 a 1条b 2条c 3条d 4条 c 4 过点的直线l与抛物线y x2交于a b两点 o为坐标原点 则 的值为 a b c 4d 无法确定 b 答案b由题意知直线l的斜率存在 设a x1 y1 b x2 y2 直线l的方程为y kx 代入抛物线方程得2x2 2kx 1 0 由此得 x1x2 y1y2 x1x2 k2 1 x1x2 k x1 x2 k2 1 k k 故选b 5 若直线y kx与双曲线 1相交 则k的取值范围是 答案 解析双曲线 1的渐近线方程为y x 若直线与双曲线相交 数形结合 得k 6 过点a 1 0 作倾斜角为的直线 与抛物线y2 2x交于m n两点 则 mn 答案2 解析过a 1 0 且倾斜角为的直线方程为y x 1 代入y2 2x得x2 4x 1 0 设m x1 y1 n x2 y2 有x1 x2 4 x1x2 1 所以 mn x1 x2 2 典例1 2018河南洛阳质检 在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆c1 1 a b 0 的左焦点为f1 1 0 且点p 0 1 在c1上 1 求椭圆c1的方程 2 设直线l同时与椭圆c1和抛物线c2 y2 4x相切 求直线l的方程 考点一直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用 考点突破 规律总结 1 判断直线与圆锥曲线的交点个数时 可直接求解相应方程组得到交点坐标 也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定 需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0 2 依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时 联立方程并消元 得到一元方程 此时注意观察方程的二次项系数是否为0 若为0 则方程为一次方程 若不为0 则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解 1 1 2016课标全国 20 12分 在直角坐标系xoy中 直线l y t t 0 交y轴于点m 交抛物线c y2 2px p 0 于点p m关于点p的对称点为n 连接on并延长交c于点h 1 求 2 除h以外 直线mh与c是否有其他公共点 说明理由 典例2如图 在平面直角坐标系xoy中 椭圆 1 a b 0 的离心率为 过椭圆右焦点f作两条互相垂直的弦ab与cd 当直线ab的斜率为0时 ab 4 1 求椭圆的方程 2 若 ab cd 求直线ab的方程 考点二弦长问题 解析 1 由题意知e 2a 4 又a2 b2 c2 解得a 2 b c 1 所以椭圆方程为 1 2 当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时 另一条弦所在直线的斜率不存在 由题意知 ab cd 7 不满足条件 当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时 设直线ab的方程为y k x 1 a x1 y1 b x2 y2 则直线cd的方程为y x 1 将直线ab的方程代入椭圆方程中并整理得 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 则x1 x2 x1 x2 所以 ab x1 x2 同理 cd 所以 ab cd 解得k 1 所以直线ab的方程为x y 1 0或x y 1 0 方法技巧弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式 根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程 利用根与系数的关系得到两根之和 两根之积的代数式 然后整体代入弦长公式求解 注意 两种特殊情况 1 直线与圆锥曲线的对称轴平行 重合 或垂直 2 直线过圆锥曲线的焦点 2 1 2017贵州贵阳模拟 设椭圆c1的中心和抛物线c2的顶点均为原点o c1 c2的焦点均在x轴上 在c1 c2上各取两个点 将其坐标记录在表格中 1 求c1 c2的标准方程 2 过c2的焦点f作斜率为k的直线l 与c2交于a b两点 若l与c1交于c d两点 求直线l的方程 解析 1 由题意知点 2 0 在椭圆上 点 3 2 4 4 在抛物线上 设c1的方程为 1 a b 0 则 1 1 解得a 2 b c1的标准方程为 1 设抛物线c2的方程为y2 2px p 0 则 4 2 2p 4 解得p 2 c2的标准方程为y2 4x 考点三中点弦问题 典例3已知双曲线x2 1上存在两点m n关于直线y x m对称 且mn的中点在抛物线y2 18x上 则实数m的值为 0或 8 答案0或 8 解析设m x1 y1 n x2 y2 mn的中点p x0 y0 则 规律总结处理中点弦问题的常用方法 1 点差法 设出弦的两端点坐标后 代入圆锥曲线方程 并将两式相减 式中含有x1 x2 y1 y2 三个未知量 这样就直接将中点和直线的斜率联系起来了 借用中点公式即可求得斜率 2 根与系数的关系 联立直线与圆锥曲线的方程 将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解 同类练 1 抛物线c的顶点为原点 焦点在x轴上 直线x y 0与抛物线c交于a b两点 若p 1 1 为线段ab的中点 则抛物线c的方程为 a y 2x2b y2 2xc x2 2yd y2 2x 2 已知 4 2 是直线l被椭圆 1所截得的线段的中点 则l的方程是 答案 1 b 2 x 2y 8 0 解析 1 设a x1 y1 b x2 y2 抛物线方程为y2 2px p 0 则两式相减可得2p y1 y2 kab 2 2 可得p 1 抛物线c的方程为y2 2x 变式练已知抛物线y x2上存在两个不同的点m n关于直线l y kx 对称 求k的取值范围 解析由题意知k 0 设m x1 y1 n x2 y2 直线mn的方程为y x b b 0 代入y x2 得x2 x b