一、挖掘等量关系的法宝——方程思想.doc

初中数学思想方法的学习与应用摘要:数学思想方法是数学的精髓，在教学与分析数学问题过程中渗透归纳数学思想方法，能培养学生解决数学问题的能力。关键词：数学思想方法 方程思想 函数思想 数形结合思想 分类讨论思想 化归思想数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略，是学习数学的指导思想学生能运用各种数学思想去分析问题，解决问题，往往会达到事半功倍的效果本文结合自己的教学实践，谈谈在平时教学中常见的初中数学思想方法在解决数学问题中的应用一、连接数量关系的方程思想方程思想是从问题的数量关系分析入手，将问题中的条件转化为方程模型（方程或方程组），然后通过解方程（组），使问题获得解决的一种方法. 运用方程思想解决问题的基本思路是：对问题涉及的各种因素进行分析研究，发现或构造因素之间的一些等量关系选择一个或几个待定未知数，用字母表示用数学式子将等量关系表示出来，列出关于未知数的方程（组）解方程（组），得出未知数的值或对方程（组）的性质进行讨论，给出待解决问题的答案. 例1 某商场家用电器专柜的某种电冰箱，每台买进价为2500元，当销售价定为3500元时，平均每天能售出8台；且冰箱的销售单价每降低100元，平均每天就能多售出2台，那么为了销售电冰箱，使利润增加12.5%. 如果从经营者的角度考虑，则每台优惠价应定为多少元较为合适？分析 本题的关键通过进价、销售价、销售量、利润四者的关系：（销售价-进价）销售量=利润，构建一个方程. 解 设每台电冰箱的销售单价降元，根据题意得：每天销售的电冰箱数：台销售这些电冰箱每天获利：. （元）另一方面，要使利润增加12.5%，必须每天获利：（3500-2500）8（1+12.5%）=9000（元）. 于是，可列出方程：即解得 =5，=1.由此可见，优惠价有两个方案：每台3000元或每台3400元. 方案一 如果每台3000元，则平均每天可售出（台）方案二 如果每台3400元，则平均每天可售出（台）两个方案一比较，站在经营者的角度考虑会选择第二种方案，因为降低幅度小，而且销售10台比销售18台更容易些，相应地承担的风险要小些. 点评 运用方程思想解题的核心是提示题目中隐含的等量关系，通过设未知数的方式沟通已知量与未知量的联系. 二、连接变量关系的函数思想函数是对某一变化过程中相互关联的量之间的制约关系. 函数思想方法贯穿于中学数学的各个领域. 运用函数思想解题，就是从研究变量的变化趋势的角度入手打开思路，这一思想方法的应用主要体现在函数与方程、不等式、几何及具体的现实问题等知识的有机结合上. 它主要借助于函数思想沟通知识间的联系；构造（或建立）函数解决问题；利用函数的概念、性质、图象，把方程、不等式等问题转化成函数问题加以解决. 例2 供销公司销售某种新产品，该产品上市60天内全部售完. 公司对产品的市场销售情况进行跟踪调查，调查结果如图1和图2所示，其中图1表示日销售量m（件）与上市时间t（天）的关系，图2表示每件产品的销售利润W（元）与上市时间t（天）的关系（t为正整数）. （1）根据图2直接写出上市第20天每件产品的利润是 元；（2）根据图1直接写出OA、OB所在直线的函数关系式，并指出t的取值范围；（3）请仔细观察图1和图2，求出供销公司一天内销售该产品总利润y（元）与上市时间t（天）的函数关系式，并求日利润的最大值？分析 由于题目的文字量较大，相关条件在图象上给出，因此必须认真读题，弄清图象上各变量所代表的意义以及两个图象之间的联系. 解 （1）50；（2）OA所在直线的函数关系式m=2t（0t30）；AB所在直线的函数关系式m=-2t+130（30t60）. （3）当0t20时，每件产品的利润W=2.5t，总利润y=2.5t2t=5t2，此时函数的最大值是2000元；当20t30时，每件产品的利润W=50，总利润y=502t=100t，此时函数的最大值是3000元. y=5t2（0t20）100t（20t30）-100t+6000（30t60）当30t60时，每件产品的利润W=50，总利润y=50（-2t+120）=-100t+6000，此时函数无最大值. 最大值为3000元. 点评 应用函数思想解题时，不仅要熟悉各类函数（一次函数、二次函数、反比例函数）的解析式、图象特征、性质，还需要有较为扎实的数学基本功和较强的数学思维能力. 三、数量与图形结合的数形结合思想数形结合，一是对含有数和式的问题，借“形”去观察、探索；二是将“形”的问题转化为数量关系来分析，它是将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的一种重要的数学思想方法. 例3 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示，则化简| a+c | + | b-c |的结果是 . 分析 利用二次函数的图象，将二次函数的关系a, b, c的数量关系赋以“形”，快捷求解. 图3解 从开口方向可知a0；从特殊点的坐标（图象与x轴、y轴的交点）可知c0，a-b+c=0；从对称轴位于y轴右侧可知0； a0，b0，c0又 a-b+c=0， a+c=b，b-c=a | a+c | + | b-c | = | b | + | a | =-b+a=-c点评 利用函数图象、数轴解题是数形结合中一种最基本方式. 一般来说，“形”的特点为：形象、直观，易于从整体上定性地分析问题，“以形助数”便于寻求思路，化难为易；“数”的特点则为严谨、准确，能够严格论证和定量求解，“以数铺形”可以弥补“形”难以精确的弊端. 恰当地应用数形结合无疑可化繁为简，从而提高解题速度及其准确性. 四、提高思维缜密性的分类讨论思想分类讨论是当问题所给对象包含多种可能情况，但又不能一概而论时，则要根据对象的性质差异（数量差异、位置差异等）进行分类，然后分别对各种情况加以讨论，并逐类求解，然后综合得出结论的一种方法. 分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想. 有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在中考试题中占有重要的位置. 分类原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论. 分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体确定分类标准，正确进行分类逐步进行讨论，获取阶段性结果归纳小结，综合得出结论. 例4 函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值. 分析 这里应以函数类型（一次函数、二次函数）为分类标准，可分a=0和a0两种情况来加以研究. 解 （1）当a=0时，函数是一个一次函数y=3x+1，显然它的图象与x轴只有一个交点. （2）当a0时，函数就是一个二次函数y=ax2-ax+3x+1，它的图象与x轴只有一个交点，必须满足（3-a）2-4a=0，解得a=1或a=9. 综上所述，函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，则a=0或a=1或a=9. 点评 通常来说，若在所给函数解析式中出现字母系数量，一定要根据函数的类型加以讨论，否则很容易出现漏解情况. 在此例中多数学生是会被函数解析式y=ax2-ax+3x+1中的“ax2”所迷惑，认定它是“二次项”，因而认为该函数一定是二次函数，从而导致遗漏一个解. 图4例5 在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图4），现拿出其中一种，测得C=90，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好在ABC的边上，且扇形的弧与ABC的其他边相切. 请设计出所有可能符合题意的设计方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形的半径）. 分析 此题的关键是确定扇形的圆心位置，必须利用分类讨论的数学思想分圆心在ABC的三个顶点上和圆心在ABC的三边上两种情况加以考虑. 解 （1）当圆心在ABC的顶点上时，圆心在直角顶点C时，半径r=2. 圆心在直角顶点A或B时，半径r=4. （2）当圆心在ABC的边上时，圆心在斜边AB上时，半径r=2. 圆心在直角边AC或BC上时，半径r=4（-1）. 综上所述，可以设计四种方案. 点评 在分类讨论时，应注意不遗漏地将问题所涉及的各种情况作出讨论，最后应总结各种讨论的结果，才能将题目回答完整. 五、培养创造性思维的化归思想化归思想是通过数学内部的联系和运转变化，采取变换、代换等手段将待解决问题转化为规范问题，进而达到解决问题的一种方法. “化归”就是将未知问题已知化，复杂问题简单化，抽象问题具体化. 化归思想是创造性思维的一个重要组成部分，是解决问题的常见思想方法. 图5例5 如图5，三个圆心扇形的圆心角AOB为120，半径OA为6，C、D是弧AB的三等分点，则阴影部分的面积等于 2. 分析 从图上看，阴影部分的面积是复杂的、分散的，无法直接求解，但通过适当的变换旋转，可使阴影部分归结为一个简单的、集中的、规则的几何图形，实现了“复杂向简单转化”、“难求向易转化”. 解 将扇形COD、扇形DOB分别逆时针旋转40、80后、三个阴影部分恰好构成了一个扇形AOC，从而可求S扇形AOC=. 点评 化归思想是一种具有普遍适用性的数学思想，常见的解题策略有：有关代数问题，一般采取“高次向低次转化”、“多元向一元转化”、“分式向整式化”、“无理式向有理式转化”；一般图形常利用变换（平移、旋转、对称、折叠、割补等）手段转化为特殊图形或通过添加辅助线将一般三角形转化为直角三角形、多边形转化为三角形来求解. 除了以上谈及的五种思想方法，数学思想方法还有统计思想、整体思想、分解与组合思想