圆的性质复习课.docx

第24章 圆复习与小结（1）基础知识回顾：一：圆的基本性质1.圆的定义：（1）在一个平面内线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆，其中定点O叫作圆心，OA的长叫作半径；（2）所有点到定点的距离等于定长r的点的集合.说明根据定义得：在一个圆中，所有的半径相等,直径等于半径的2倍.2.与圆有关的概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段；（2）直径：经过圆心的弦.注意：直径是最长的弦，弦不一定是直径.（3）弧：圆上任意两点间的部分.（弧的度数是指这条弧所对圆心角的度数）；注意：一条弧所对的弦只有一条，而一条弦所对的弧有两条，一条是优弧，一条是劣弧.（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫作半圆.注意：半圆是弧，弧不一定是半圆. 弧又分为优弧与劣弧和半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示.（5）等圆：能够重合的两个圆叫作等圆.注意：半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等.（6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧.注意：等弧必须在同圆或等圆中的弧，等弧的弧长相等；弧长相等的弧不一定是等弧.练习：1.判断正误：(1)等弧就是拉直以后长度相等的弧（ ）（2）过圆心的线段是直径（ ）（3）半圆是最长的弧（ ）（4）过圆心的直线是直径（ ）（5）直径是最长的弦（ ）(6)两个半圆是等弧（ ）（7）面积相等的两个圆是等圆（ ）2.下列命题中：（1）两个端点能够重合的弧是等弧；（2）圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；（3）长度相等的弧是等弧；（4）半径相等的圆是等圆；（5）直径是最长的弦；（6）半圆所对的弦是直径，是真命题的是 （填序号）3.下列语句中：（1）直径是弦；（2）弧是半圆；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）经过圆内一定点可以做无数条直径；（5）劣弧比优弧短；菱形的四个顶点在同一个圆上；（6）矩形的四个顶点一定在同一个圆上；正确的是 （填序号）4.P是圆外一点，且P到圆上点最近距离是3，到圆上最远距离是15，则该圆的半径是 .（若栓除P是圆外一点，而改为点P到）5.如图，已知O的直径为10cm，OP=3cm，则过圆内一点P的最长的弦是 cm；最短的弦是 cm.6.下列说法中正确的是（ ）A.直径是弦，弦是直径 B. 半圆是弧 C.直径的长度是半径的2倍 D.无论过圆内哪一点，只能作一条直径 7.如图，AB是O的直径，CD是O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，E=18，求AOC得度数. 8.如图，BD、CE是ABC的高，求证：E、B、C、D四点在同一个圆上.挑战中考：1.（2014.长宁区一模）下列说法中，结论正确的是（ ）A.直径相等的两个圆是等圆 B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径 D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧.2.（2013武汉元月）车轮要做成圆形，实际就是根据圆的特征（ ）A.同弧所对的圆周角相等 B.直径是圆中最大的弦 C.圆上各点到圆心得距离相等 D.圆是中心对称图形3.（2014.长春二模）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC，若AOC=70，且ADOC，则AOD的度数为（ ）A. 70 B. 60 C. 50 D. 403.圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线；圆也是中心对称图形，对称中心是圆心.4.垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.注意：（1）会画出图形，写出几何语言：（2）应用范围：有下列条件中的两个就想到垂径定理：直线过圆心；直线垂直于弦；直线平分弦；直线平分弦所对的劣弧；直线平分弦所对的优弧；垂径定理得推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.注意：垂直于弦的直径一定平分弦，但平分弦的直径不一定垂直于这条弦.对应练习：1.如图，AB是O的直径，弦CDAB于点M，下列结论不成立的是（ ）A.CM=DM B.弧CB=弧BD C. ACD=ADC D.OM=MD2.如图，AB、AC都是O的弦，OMAB、ONAC，垂足分别是M、N，若MN=3，则BC= .挑战中考：1.（2014 舟山）如图，O的直径CD垂直于弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D.82.（2013株洲）如图，AB是O的直径，BAC=42，点D是弦AC的中点，则DOC= . 3.（2013来宾）如图，是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）cmA. 3 B.4 C. 5 D.64.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm.5. O的直径为20cm，弦AB=12，CD=16，ABCD，则AB与CD之间的距离为 cm6.如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C（1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心（保留作图的痕迹，不写作法）（2）若ABC是等腰三角形，底边BC=10cm，腰AB=6cm，求圆片的半径R.（保留根号）5.弧、弦、圆心角、圆周角（1）圆心角的定义：顶点在圆心的角叫作圆心角；（2）圆周角的定义：顶点在圆上，并且角两边和圆相交的角叫作圆周角.（3）有关定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角、弦、圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角、弧、圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的圆心角、弦、弧相等；即：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角四者中有一个相等，那么其余的三个也相等.同弧或等弧所对的圆心角相等，所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半.半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。（4）圆内接多边形的定义：顶点都在圆上的多边形叫作圆内接多边形，这个圆又叫作这个多边形的外接圆.圆内接多边形的对角互补；圆内接多边形的一个外角等于与它相邻内角的对角.注意：圆内接平行四边形是矩形.对应练习：1.如图，在O中，弧AB=AC，A=30，则B= 2.如图，A、B是O上两点，AOB=120，C是弧AB的中点，则四边形OACB的形状是 .3.如图，直线l交O于A、B两点，且将O分成3：1两段，若O的半径为2cm，则OAB的面积为 . 4.已知O的直径为4，O上两点B、C分O所得的劣弧与优弧的比为1：3，则弦BC的长为 .4.如图，AB是O的直径，四边形ABCD内接于O，若BC=CD=DA=4cm,则O的周长为 cm.5.如图，AD是O的直径，且AD=6，点B、C在O上，弧AmB=AnC，AOB=120，点E是线段CD的中点，则OE= . 6.如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别是60,30，已知直径AB=43，连接PB交OQ于M，则QM= . 7.如图，如图，AB是O的直径，若BAC=35，则ADC= . 8. ABC为O的内接三角形，若AOC=160，则ABC= .9.如图，若AB是O的直径，CD是O的弦，ABD=55， 则BCD= . 10.如图，O的半径OD弦AB于点C，连接AO并延长交O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC= . 挑战中考：1.（2014天津）已知O的直径为10，点A、点B、点在O上，CAB的平分弦交O于点D，（1）如图1，若BC为O的直径，AB=6，求AC、BD、CD的长；（2）如图2，若CAB=60，求BD的长.2.（2014无锡）如图AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上两点，且ODBC，OD与AC交于点E，（1）若B=70，求CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长二.与圆有关的位置关系：（一）点和圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外三种.1.若O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则（1）当0dr点P在圆内；（2）当d=r点P在圆上；（3）当dr点P在圆外；注意：判断点与圆的位置关系，关键求出点到圆心的距离和圆的半径比较，从而得出结论.2.不在同一直线上的三点确定一个圆，这个圆的圆心是以这三点为顶点的三角形的外接圆，它的圆心是三边垂直平分线的交点，这个圆心又叫作三角形的外心.注意：（1）一个三角形只有一个外接圆，一个圆可以有无数个内接三角形.（2）锐角三角形的外心在三角形的内部；钝角三角形的外心在三角形的外部；直角三角形的外心是斜边的中点，直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半；3.反证法的定义：假设命题的结论不成立，经过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾，则假设不成立，这种证明方法叫作反证法.（二）直线和圆的位置关系：直线和圆相交、相切、相离三种.1.判断直线与圆的位置关系方法一：从直线与圆的交点数：直线与圆有两个交点 直线与圆相交（割线）直线与圆只有一个交点 直线与圆相切（切线）直线与圆没有交点 直线与圆相离从圆心到直线的距离：若O的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：（1）当0dr直线与圆相交；（2）当d=r直线与圆相切；（3）当dr直线与圆相离；（三）切线的判定与性质：1.定义法：直线与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.或圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.2.判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：（1）是切线一定要满足两个条件：经过半径的外端（即点在圆上）及垂直于这条半径. （2）证明切线的方法思路：已知点在圆上，就连半径，证垂直；未知点在圆上，就作垂直，证垂线段等于半径.简单记为：有点连半径证垂直，无点做垂直证等于半径.3.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；所以有切点，连切点，就有垂直.4.三角形内切圆（1）定义：与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆，这个三角形又叫作这个圆的外切三角形，内切圆的圆心叫作三角形的内心.三角