【志鸿优化设计】（湖北专用）高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复数12．4直接证明与间接证明教学案 理 新人教A版 .doc

12.4直接证明与间接证明考纲要求1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点2了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点1直接证明中最基本的两种证明方法是_和_2综合法是利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立综合法又叫_3分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)分析法又叫_4反证法：假设原命题_(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明_，从而证明了_，这样的证明方法叫反证法应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：第一步，分清命题“pq”的_；第二步，作出与命题结论q相矛盾的假设_；第三步，由p与q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真1分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的()a充分条件 b必要条件c充要条件 d等价条件2用反证法证明命题“三角形的三个内角至少有一个不大于60”时，应假设()a三个内角都不大于60b三个内角都大于60c三个内角至多有一个大于60d三个内角至多有两个大于603设ta2b，sab21，则下列关于t和s的大小关系中正确的是()ats btscts dts4命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明：cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2过程应用了()a分析法b综合法c综合法、分析法综合应用d间接证明法5因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价%，第二次提价%，其中pq0.比较上述三种方案，提价最多的是()a甲 b乙c丙 d一样多一、综合法【例1】 如图，四边形abcd是正方形，pb平面abcd，ma平面abcd，pbab2ma.求证：(1)平面amd平面bpc；(2)平面pmd平面pbd.方法提炼1综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性用综合法证明题的逻辑关系是：ab1b2bnb(a为已知条件或数学定义、定理、公理，b为要证结论)，它的常见书面表达是“，”或“”2利用综合法证不等式时，是以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证的因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质3综合法是一种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就是保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性请做演练巩固提升1二、分析法【例2】已知abc三边a，b，c的倒数成等差数列，证明：b为锐角方法提炼1分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知2用分析法证“若p，则q”这个命题的模式是：为了证明命题q为真，这只需证明命题p1为真，从而有这只需证明命题p2为真，从而有这只需证明命题p为真而已知p为真，故q必为真特别警示：用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则极易出错3在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论p，若由p可以推出q成立，就可以证明结论成立一般情况下，用分析法寻找思路，用综合法完成证明请做演练巩固提升4三、反证法【例3】设an是公比为q的等比数列，sn是它的前n项和(1)求证：数列sn不是等比数列；(2)数列sn是等差数列吗？为什么？方法提炼反证法是间接证明问题的一种常用方法，它不是从已知条件去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性用反证法证明要把握三点：(1)反设：必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)归谬：必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的；(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立请做演练巩固提升2证明类问题中的新情景问题【典例】 设f(x)，g(x)，h(x)是r上的任意实数函数，如下定义两个函数(fg)(x)和(fg)(x)：对任意xr，(fg)(x)f(g(x)，(fg)(x)f(x)g(x)则下列等式恒成立的是()a(fg)h)(x)(fh)(gh)(x)b(fg)h)(x)(fh)(gh)(x)c(fg)h)(x)(fh)(gh)(x)d(fg)h)(x)(fh)(gh)(x)解析：(fg)h)(x)(fg)(h(x)f(h(x)g(h(x)(fh)(x)(gh)(x)(fh)(gh)(x)答案：b答题指导：对于此类新情景下的新定义问题需要做好以下几点：1充分理解题意，理解定义是解题的关键2若是选择、填空题建议以特例理解新定义，可以化难为易、化繁为简3“按规则要求办事”，即新定义如何要求就如何去做，此法虽然可能会繁琐，但只要理解透彻，运算得当也能解决问题1(2012浙江绍兴模拟)设alg 2lg 5，bex(x0)，则a与b的大小关系为()aab babcab dab2(2012山师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()aa，b，c中至少有两个偶数ba，b，c中至少有两个偶数或都是奇数ca，b，c都是奇数da，b，c都是偶数3若函数f(x)f(x)f(x)与g(x)f(x)f(x)，其中f(x)的定义域为r，且f(x)不恒为零，则()af(x)、g(x)均为偶函数bf(x)为奇函数，g(x)为偶函数cf(x)与g(x)均为奇函数df(x)为偶函数，g(x)为奇函数4已知a，b(0，)，求证：.参考答案基础梳理自测知识梳理1综合法分析法2顺推证法或由因导果法3递推证法或执果索因法4不成立假设错误原命题成立条件和结论q基础自测1a2.b3d解析：stab21a2b(b1)20，st.4b解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件结论5c解析：设产品的原价为a，则按方案甲可得提价后的价格为aa(1p%)(1q%)；按方案乙可得提价后的价格为ba(1q%)(1p%)a；按方案丙可得提价后的价格为caa2，则cba2a(1p%)(1q%)(p%q%)20，故应选c.考点探究突破【例1】 证明：(1)因为pb平面abcd，ma平面abcd，所以pbma.因为pb平面bpc，ma平面bpc，所以ma平面bpc.同理，da平面bpc.又ma平面amd，ad平面amd，maada，所以平面amd平面bpc.(2)连接ac，设acbde，取pd的中点f，连接ef，mf.因为四边形abcd为正方形，所以e为bd的中点因为f为pd的中点，所以efpb.又ampb，所以四边形aefm为平行四边形所以mfae.因为pb平面abcd，ae平面abcd，所以pbae.所以mfpb.因为四边形abcd为正方形，所以acbd.所以mfbd.所以mf平面pbd.又mf平面pmd，所以平面pmd平面pbd.【例2】 证明：要证明b为锐角，根据余弦定理，也就是证明cos b0，即需证a2c2b20.由于a2c2b22acb2，要证a2c2b20.只需证2acb20.a，b，c的倒数成等差数列，即2acb(ac)要证2acb20，只需证b(ac)b20，即证b(acb)0.上述不等式显然成立b必为锐角【例3】 (1)证明：若sn是等比数列，则s2s1s3，即a1(1q)2a1a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，这与q0相矛盾，故数列sn不是等比数列(2)解：当q1时，sn是等差数列当q1时，sn不是等差数列假设q1时，s1，s2，s3成等差数列，即2s2s1s3，2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，这与q0相矛盾综上可知，当q1时，sn是等差数列；当q1时，sn不是等差数列演练巩固提升1a解析：alg 2lg 5lg 101，而bexe01，故ab.2b解析：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”3d解析：由f(x)f(x)f(x)，g(x)f(x)f(x)