高考数学《空间向量》专题 空间向量的坐标运算学案.doc

第2课时 空间向量的坐标运算基础过关设a，b(1) ab (2) a (3) ab (4) ab ；ab (5) 设则 ， ab的中点m的坐标为 典型例题例1. 若(1,5,1)，(2,3,5)（1）若(k+)(3)，求实数k的值；（2）若(k+)(3)，求实数k的值；（3）若取得最小值，求实数k的值解：(1)；(2)； (3)变式训练1. 已知为原点，向量，求解：设，即解此方程组，得。，。xyzb1c1a1cbamn例2. 如图，直三棱柱，底面中，cacb1，棱，m、n分别a1b1、a1a是的中点(1) 求bm的长； (2) 求的值； (3) 求证：解：以c为原点建立空间直角坐标系.(1) 依题意得b（0，1，0），m（1，0，1）.(2) 依题意得a1（1，0，2），b（0，1，0），c（0，0，0），b1（0，1，2）.(3) 证明：依题意得c1（0，0，2），n. 变式训练2. 在四棱锥pabcd中， 底面abcd为矩形，侧棱pa底面abcd，ab，bc1，pa2，e为pd的中点(1) 在侧面pab内找一点n，使ne面pac，并求出n点到ab和ap的距离； (2) 求(1) 中的点n到平面pac的距离abcped解：(1) 建立空间直角坐标系abdp，则a、b、c、d、p、e的坐标分别是a(0, 0, 0)、b(, 0, 0)、c(, 1, 0)、d(0, 1, 0)、p(0, 0, 2)、e(0, , 1)，依题设n(x, 0, z)，则(x, , 1z)，由于ne平面pac， 即，即点n的坐标为(, 0, 1)，从而n到ab、ap的距离分别为1，.(2) 设n到平面pac的距离为d，则d.cdbape例3. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，点e在上，且:2:1(1) 证明 平面；(2) 求以ac为棱， 与为面的二面角的大小；(3) 在棱pc上是否存在一点f，使平面？证明你的结论解：（1）证明略；（2）易解得；（3）解 以a为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过a点垂直于平面pad的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）由题设条件，相关各点的坐标为所以，设点f是棱上的点，其中，则令得解得，即时，亦即，f是pc的中点时，共面，又平面，所以当f是pc的中点时，平面例4. 如图，多面体是由底面为abcd的长方体被截面aefg所截而得，其中ab4，bc1，be3，cf4.(1) 求和点g的坐标；(2) 求ge与平面abcd所成的角；zadgefcbxy(3) 求点c到截面aefg的距离解：(1) 由图可知：a(1，0，0)，b(1，4，0)，e(1，4，3)，f(0，4，4) 又，设g(0，0，z)，则(1，0，z)(1，0，1) z1 g(0，0，1)(2)平面abcd的法向量，设ge与平面abcd成角为，则(3)设面aefg，(x0，y0，z0)，而(1，0，1)，(0，4，3)取z04，则(4，3，4)即点c到截面aefg的距离为变式训练4. 如图四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，pg平面abcd，垂足为g，g在ad上，且pg4，bggc，gbgc2，e是bc的中点(1)求异面直线ge与pc所成的角的余弦值；pagbcdfe(2)求点d到平面pbg的距离；(3)若f点是棱pc上一点，且dfgc，求的值解：(1)以g点为原点，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则b(2，0，0)，c(0，2，0)，p(0，0，4)，故e(1，1，0)，(1，1，0)， (0，2，4)。，ge与pc所成的余弦值为 (2)平面pbg的单位法向量n(0，1，0) .，点d到平面pbg的距离为n |. (3)设f(0，y，z)，则。，即， , 又，即(0， ，z4)(0，2，4)， z=1，小结归纳故f(0，1) ，。对于以下几类立体几何问题：(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；(5) 探索性问题运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向