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兰州工业学院 地板砖铺设问题 摘要 在工程实际中经常会遇到将一种固定形状的材料铺设到某种物体表面的问题。房屋地板砖的铺设就是其中的一种典型实例。在地板砖的铺设问题中，需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面，目标是为了使成本最小化，同时需要考虑整块地板砖的使用比例，即切割地板砖数尽量少，达到美观效果。为了方便人们对铺设地板砖的尺寸、数量和铺设成本做出合适的选择，我们提出了一个合理的优化模型。即把房屋假设为由一个个矩形房间组成的，在单独考虑一个房间里的铺设问题。最后，我们计算得出不同方案的地板砖铺设费与利用率，通过比较得到最合适的方案。 1、地板砖铺设总成本的模型： （一）所用地板砖总数： 所用的块数为: =A1+A2+A3+. 所用的块数为: =B1+B2+B3+. 所用的块数为: =C1+C2+C3+. 所用的块数为: =D1+D2+D3+. 所用的块数为: =E+E2+E3+. （二）切割总长度为：L=L1+L2+L3+.； (三) 铺设人工费用为： W人=XiYiT ； （四）地板砖切割总费用为：； （五) 总费用为: W=180+130+80+72+45+L0.005+W人； （六）地板砖总利用率为 : S=S总 /（640000+360000+160000+120000 +90000)100%； 2、使用一种尺寸的地板砖进行铺设方案：（一）切割地板砖总数为：=73+167=240；（二）切割总长度为：L=L1+L2+L3+L4+L5+L6+L7+L8+L9+L10=58400； (三) 铺设人工费用为： W人=XiYiT =151070000T；（四）总地板砖切割总费用为：=292；（5) 破损总费用为: =8%+7%+6%+5%+3%=19.2； (六) 则总费用为: W=180+130+80+72+45+L0.005+W人+ =43511.2+151070000T； (七）地板砖总利用率为 : S=151070000/（640000)100% =98.35%； 3.若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设方案： （一）所用地板砖总数 所用的块数为: =A1+A2+A3+A4+A5+A1+A7+A8+A9+A10=177 所用的块数为: =B1+B2+B3+B4+B5+B6+B7+B8+B9+B10=13 所用的块数为: =C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8+C9+C10=0 所用的块数为: =D1+D2+D3+D4+D5+D6+D7+D8+D9+D10=21 所用的块数为: =E+E2+E3+E4+E5+E6+E7+E8+E9+E10=51 （二）切割总长度为：L=L1+L2+L3+L4+L5+L6+L7+L8+L9+L10=61900； (三) 铺设人工费用为：W人=XiYiT =151070000T； （四）地板砖切割总费用为：=309.5； （五）破损总费用为: =8%+7%+6%+5%+3%=16.1551； (六) 总费用为: W=180+130+80+72+45+L0.005+W人+ =376862.1511+151070000T； （七）地板砖总利用率为 : S=151070000/（640000+360000+160000+120000 +90000)100% =99.3%； 4、地板砖铺设我提出以下几点： （一）地板砖铺设应该选择大规格的地板砖为主，多种规格混合使用；减少成本费用和切割费用； （二）地板砖铺设应该使用多种规格的地板砖进行铺设，以减少切割费用； （三）地板砖铺设切割地板砖砖时候应该采用每块地板砖沿着平行于边的方向切割多次，以示地板砖能够充分使用，减少铺设材料费。关键词：矩形房间 地板在铺设 大规格 切割 费用 利用率 一、 问题重述 设工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如表1所示。需要铺设的房屋地面结构如图0所示。假设每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费跟切割长度成正比。 1.请综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。 2.若仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设，请设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。 3.若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，又如何实现地板砖的自动铺设，并计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。 4.根据你的模型、算法和计算结果，为地板砖铺设提出一些意见和建议。 图0户型结构图（单位mm）表1 各种地板砖相关参数尺寸单价（元）破损概率（%）切割成本（元/块）800mm*800mm18084600mm*600mm13073600mm*300mm8063或1.5400mm*400mm7252300mm*300mm4531.5(注：铺设地板砖时不需考虑家具等限制，只需考虑墙面限制，进行地面全铺设。) 二、模型假设 在本道题中各种地板砖都是矩形形状的，而户型结构图形状是一个多边形，是可以有多个矩形组合而成，所以我们可以将户型结构划分为大小不等的十二个矩形，然后在每个大小不等的矩形形状的房屋里铺设瓷砖。如图1，可以在其每一个矩形房间进行地板砖的铺设。 假设一：每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费跟切割长度成正比; 假设二：我们假设每个房间用同一规格的地板砖来铺设，我们首先忽略墙宽度的限制； 假设三：我们在允许使用不同规格的地板砖铺设时，我们优先考虑尽可能多的铺设完整的相同规格的地板砖。然后，在剩余不能铺设完整相同规格地板砖的区域外，我们使用较小规格的地板砖，若有与空隙规格合适的地板砖，则直接铺上，如空隙规格与所有地板砖规格不合适，则采用切割填补。 图13、 符号说明房屋总面积：S总 ；第i个房间面积（分割的矩形面积）：Si （i=1、2、3）；第i个房间的横向边长：Xi （i=1、2、3）；第i个房间的纵向边长：Yi （i=1、2、3）；第i个房间所用地板砖的总块数：Ni （i=1、2、3）；第i个房间所用地板砖未切割的块数：ni （i=1、2、3）；第i个房间所用地板砖被切割的块数：mi （i=1、2、3）；第i个房间切割地板砖的总长度：Li （i=1、2、3）；第i个房间横向铺设未切割的地板砖数：ai （i=1、2、3）；第i个房间纵想铺设未切割的地板砖数：bi （i=1、2、3）； 第i个房间切割地板砖的破损数：pi（i=1、2、3）；第i个房间所用地板砖的总费用：Z瓷i （i=1、2、3）；第i个房间人工铺设总费用：Z人i （i=1、2、3）；第i个房间单位面积人工铺设费：T ；第i个房间切割地板砖总费用：Z切i（i=1、2、3）；第i种地板砖的单价：hi （i=1、2、3）；第i种地板砖的横向边长 Lx （i=1、2、3）；第i种地板砖的纵向边长 Ly （i=1、2、3）；单位长度切割所需费用 q；第i个房间铺设总费用 Z总 ；用以下方式表示各种规格的地板砖；尺寸单价（元）破损概率（%）切割成本（元/块）表述方式800mm*800mm18084600mm*600mm13073600mm*300mm8063或1.5400mm*400mm7252300mm*300mm4531.5说明：本设计所用CAD图比例都为10:1：4、 模型建立在铺设地板的时间，我们考虑每个矩形内的铺设总费用最少。而总费用来源有三方面：所用瓷砖的材料费用、铺设的人工费、切割瓷砖的切割费。于是我们把房屋分解为多个不同形状的矩形，然后分个去设计铺设，以使求取最优化模型。有：W总i=W瓷砖i +W切割i+W人i 。尺寸单价（元）破损概率（%）切割成本（元/块）800mm*800mm18084600mm*600mm13073600mm*300mm8063或1.5400mm*400mm7252300mm*300mm4531.5一 利用假设求在优化方案我们利用假设，选择在优化铺设方式；若相同大小的地面，选用同一种类地板砖铺设，由上可知，若选用“”规格与“”规格的铺设相比较，用“”规格的铺设总价格优于“”规格。若选用“”规格与“”规格的铺设相比较，用“”规格的铺设总价格优于“”规格。同理：若选用“”规格与“”规格的铺设相比较，“”规格的铺设总价格优于“”规格。所以可以得出，我们采用的瓷砖规格越大，越省钱。所以，在允许使用不同规格的瓷砖铺设时，我们优先考虑尽可能多的铺设完整的大规格的地板砖。二 利用已知条件求取铺设模型 1、计算得第i个房间我们所用地板砖数为Ni则： Ni=ni + mi+pi；又可得出第i个房间所用地板砖未切割的块数为ni 则： ni =aibi； 若第i个房间所用地板砖被切割的块数为mi .由于房间纵向与横向边长不一定是大规格的整数倍，则： mi=ai+bi或mi=ai或mi =bi或mi =0； 又有第i个房间横向铺设未切割的地板砖数为ai则； ai =Xi/Lix； 得第i个房间总想铺设未切割的地板砖数为bi则；bi =Yi/Liy； 2、计算得第i个房间所用地板砖的总块数Ni； 但是由于地板砖的边长都是有一定的规格，矩形房间边长不一定就是最大规格地板砖变长的整数倍，所以需要讨论。 若纵向与横向边长都不是最大规格地板砖整数倍aiLixXi ,biLiyYi则： Ni = aibi +（ai + bi）+pi； = （Xi/Lix）（Yi/Liy）+（Xi/Lix）+（Yi/Liy）+pi； 若横向边长是最大规格地板砖整数倍，纵向边长不是最大规格地板砖整数倍aiLix=Xi ,biLiyYi则： Ni = aibi + ai +p； = （Xi/Lix）（Yi/Liy）+（Xi/Lix）+pi； 若横向边长不是最大规格地板砖整数倍，纵向边长是最大规格地板砖整数倍aiLix600时；选用“”规格的，数量为A2=（Yi/800）；切割总长度Li 为 L1=Yi； 2、如果Xi/800的余数=600；选用“”规格的，数量为B1= （Yi/600）；切割总长度Li 为 L2=0； 3、如果Xi/800的余数400且300且400；选用“”规格的，数量为D1 =（Yi/400）；切割总长度Li 为L5=Yi； 6、如果Xi/800的余数=300；选用“”规格的，数量为C1=（Yi/600）/2；切割总长度Li 为L6=0； 7、如果Xi/800的余数600；选用“”规格的，数量为A4=（Xi/800）；切割总长度Li 为L8=Xi； 9、如果Yi/800的余数=600；选用“”规格的，数量为B3=（Xi/600）；切割总长度Li 为L9=0； 10、如果Yi/800的余数400且300且400；选用“”规格的，数量为 D2 =（Xi/400）；切割总长度Li 为 L12=Xi； 13、如果Yi/800的余数=300；选用“”规格的，数量为=（Yi/600）/2；切割总长度Li 为L13=0； 14、如果Yi/800的余数300；选用“”规格的，数量为E2=（Xi/300）；切割总长度Li 为=Xi；则据上可得出有： 所用的块数为: =A1+A2+A3+.；所用的块数为: =B1+B2+B3+.；所用的块数为: =C1+C2+C3+.；所用的块数为: =D1+D2+D3+.；所用的块数为: =E+E2+E3+.；（二）切割总长度L=L1+L2+L3+.； (三) 铺设人工费用 W人=XiYiT；（四）有总瓷砖切割总费用； （五)则总费用为: W=180+130+80+72+45+L0.005+W人； 5、 模型求解 首先，我们把该房间分解为一个个矩形（如图4）。若仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设，我们设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，求出地板砖铺设最低成本。 图3（单位mm）把上图分解为以下十部分 图4（单位cm） 一、我们先进行计算第一个房间铺设我们从左上角开始先用“”规格的地板砖铺设可以得出下图的铺设方式（如图5）。所用的“”规格的整数块为： =（Xi/800）（Yi/800） =22 1、因横向左边余量为500，Xi/800的余数600；选用“”规格的，数量为A1= （Yi/600）=2;切割总长度Li 为 L1=Yi=1200； 2、因横向左边余量为200，Xi/800的余数300；选用“”规格的，数量为E1= （Yi/300）=8；切割长度Li 为 L2=Yi=2400； 3、因纵向下边余量为250，Yi/800的余数600；选用“”规格的，数量为A1=（Xi/800）=2;切割长度Li 为 L1=Xi=1600； 2、因横向右边余量为一个500，Xi/800的余数600；选用“”规格的，数量为A1=（Yi/600）=1;切割长度Li 为 L2=Yi=800； 3、因横向右边余量为400，Yi/800的余数=400;选用“”规格的，数量为D2=（Xi/400）=1;切割长度Li 为 L3=Xi=400； 4、因横向右边余量为100，Xi/800的余数300;选用“”规格的，数量为E2=（Yi/300）=8;切割长度Li 为 L4=Yi=2400；所用的块数为: =15；所用的块数为: =0；所用的块数为: =0；所用的块数为: =1；所用的块数为: =8；切割总长度为：L=L1+L2+L3+L4=5200； 铺设人工费用为：W人=XiYiT=9670000T； 切割总费用为：=L0.005=26； 则总费用为: W=180A+130B+80C+72D+45E+L0.005+W人 =3158+9670000T； 图6（单位cm） 三、同上，有如图7所示铺设方式，所用的“”规格的整数块为： =（Xi/800）（Yi/800） =23； 1、因横向上边余量为两个250，Yi/800的余数400；选用“”规格的，数量为D1=（Yi/400）=4;切割长度Li 为 L1=Yi=1600； 2、因横向右边余量为一个550，Yi/800的余数600选用“”规格的，数量为B1=（Xi/600）=1;切割长度Li 为 L2=Xi=600； 3、因横向右边余量为350，Yi/800的余数=400;选用“”规格的，数量为B2=（Xi/400）=7;切割长度Li 为 L3=Xi=2800； 4、因横向右边余量为500，Xi/800的余数600;选用“”规格的，数量为B2=（Yi/600）=5;切割长度Li 为 L4=Yi=3000； 所用的块数为: =23； 所用的块数为: =13； 所用的块数为: =0； 所用的块数为: =4； 所用的块数为: =0； 切割总长度为：L=L1+L2+L3+L4=8000； 铺设人工费用为： W人=XiYiT=18225000T； 切割总费用为：=L0.005=40； 则总费用为: W=180A+130B+80C+72D+45E+L0.005+W人 =6190+18225000T； 图7（单位cm） 四、同上，可得如图8所示铺设方式，所用的“”规格的整数块为： =（Xi/800）（Yi/800） =12； 1、因横向右边余量为700，Xi/800的余数800;选用“”规格的，数量为A1=（Yi/800）=3;切割长度Li 为 L1=Yi=2400； 所用的块数为: =15； 所用的块数为: =0； 所用的块数为: =0； 所用的块数为: =0； 所用的块数为: =0；切割总长度为：L=L1=2400；铺设人工费用为： W人=XiYiT=9360000T；切割总费用为：=L0.005=12；则总费用为: W=180A+130B+80C+72D+45E+L0.005+W人 =2712+9360000T； 图8（单位cm） 五、同上，有如图8所示铺设方式，所用的“”规格的整数块为： =（Xi/800)(Yi/800) =6； 1、因纵向右边余量为500，Xi/800的余数600;选用“”规格的，数量为A1=(Yi/600)=5;切割长度Li 为 L1=Yi=3000; 所用的块数为: =6；所用的块数为: =5；所用的块数为: =0；所用的块数为: =0；所用的块数为: =0； 切割总长度为：L=L1=3000； 铺设人工费用为：W人=XiYiT=5040000T； 切割总费用为：=L0.005=15； 则总费用为: W=180A+130B+80C+72D+45E+L0.005+W人 =1735+5040000T； 图9（单位cm）六、同上，有如图8所示铺设方式，所用的“”规格的整数块为: =(Xi/800)(Yi/800) =18； 1、因纵向右边余量为600，Yi/800的余数=600;选用“”规格的，数量为A1=(Xi/600)=9；切割长度Li 为 L1=Xi=5400; 2、因横向上边余量为600，Xi/800的余数=600;选用“”规格的，数量为A1=(Yi/600)=5；切割长度Li 为 L1=Yi=3000; 所用的块数为: =18；所用的块数为: =14；所用的块数为: =0；所用的块数为: =0；所用的块数为: =0； 切割总长度为：L=L1+L2=8400； 铺设人工费用为： W人=XiYiT=15600000T； 切割总费用为：=L0.005=42； 则总费用为： W=180A+130B+80C+72D+45E+L0.005+W人 =5102+15600000T； 图10（单位cm） 七、同上，有如图11所示铺设方式,所用的“”规格的整数块为： =(Xi/800)(Yi/800) =9；所用的块数为: =9；所用的块数为: =0；所用的块数为: =0；所用的块数为: =0；所用的块数为: =0； 切割总长度为：L=0； 铺设人工费用为： W人=XiYiT=5760000T； 切割总费用为：=L0.005=0； 则总费用为： W=180A+130B+80C+72D+45E+L0.005+W人 =1620+5760000T； 图11（单位cm） 八、同上，有如图8所示铺设方式，所用的“”规格的整数块为： =(Xi/800)(Yi/800) =10； 1、因纵向右边余量为200，Xi/800的余数300;选用“”规格的，数量为E1=(Yi/300)=15;切割长度Li 为 L1=Yi=4500； 2、因横向上边余量为500，Yi/800的余数600; 选用“”规格的，数量为A1=(Xi/600)=3;切割长度Li 为 L1=Xi=1800； 所用的块数为: =10；所用的块数为: =3；所用的块数为: =0；所用的块数为: =0； 所用的块数为: =15； 切割总长度为：L=L1+L2=6300； 铺设人工费用为：W人=XiYiT=8100000T； 切割总费用为：=L0.005=31.5； 则总费用为： W=180A+130B+80C+72D+45E+L0.005+W人 =2896.5+8100000T； 图12（单位cm） 九、同上，可得如图7所示铺设方式，所用的“”规格的整数块为： =(Xi/800)(Yi/800) =48； 1、因横向上边余量为两个500，Yi/800的余数600；选用“”规格的，数量为B1=(Xi/400)=13;切割长度Li 为 L1=Yi=7800； 2、因横向右边余量为一个600，Xi/800的余数=600；选用“”规格的，数量为B1=(Yi/600)=5;切割长度Li 为 L2=Yi=3000； 3、因横向下边余量为700，Yi/800的余数800;选用“”规格的，数量为A2=(Xi/800)=2;切割长度Li 为 L3=Xi=1600； 4、因纵向右下边余量为300，Xi/800的余数=300;选用“”规格的，数量为E2=(Yi/300)=2;切割长度Li 为 L4=Yi=800； 所用的块数为: =50；所用的块数为: =18；所用的块数为: =0；所用的块数为: =0； 所用的块数为: =2； 切割总长度为：L=L1+L2+L3+L4=13200； 铺设人工费用为：W人=XiYiT=38250000T； 切割总费用为：=L0.005=66； 则总费用为： W=180A+130B+80C+72D+45E+L0.005+W人 =11496+38250000T； 图13（单位cm）十、同上，可得如图7所示铺设方式，所用的“”规格的整数块为： =(Xi/800)(Yi/800) =7； 1、因横向上边余量为两个350，Yi/800的余数400；选用“”规格的，数量为D1= (Xi/400)=6；切割长度Li 为 L1=Xi=2400； 2、因纵向左边余量为一个100，Xi/800的余数300； 选用“”规格的，数量为E1=(Yi/300)=3；切割长度Li 为 L2=Yi=900； 3、因横向下边余量为400，Yi/800的余数=400；选用“”规格的，数量为D2=(Xi/400)=8；切割长度Li 为 L3=Xi=3200； 4、因纵向右下边余量为350，Xi/800的余数400;选用“”规格的，数量为D2=(Yi/600)=2;切割长度Li 为 L4=Yi=800； 所用的块数为: =7；所用的块数为: =0；所用的块数为: =0；所用的块数为: =16； 所用的块数为: =3； 切割总长度为：L=L1+L2+L3+L4=7300； 铺设人工费用为： W人=XiYiT=6435000T； 切割总费用为：=L0.005=36.5； 图14（单位cm） 则总费用为： W=180A+130B+80C+72D+45E+L0.005+W人 =2583.5+6435000T； 十一、则据上可得出有：所用的块数为: =A1+A2+A3+A4+A5+A1+A7+A8+A9+A10=177所用的块数为: =B1+B2+B3+B4+B5+B6+B7+B8+B9+B10=13所用的块数为: =C1+C2+C3+C4+C5+C6+C7+C8+C9+C10=0所用的块数为: =D1+D2+D3+D4+D5+D6+D7+D8+D9+D10=21所用的块数为: =E+E2+E3+E4+E5+E6+E7+E8+E9+E10=51 （二）切割总长度为：L=L1+L2+L3+L4+L5+L6+L7+L8+L9+L10=61900(三) 铺设人工费用为： W人=XiYiT =151070000T； （四）有总地板砖切割总费用为：=309.5（6) 所有的破损总费用为: =8%+7%+6%+5%+3%=16.1551 (六)则总费用为: W=180+130+80+72+45+L0.005+W人+ =376862.1511+151070000T； （七）由此可知地板砖总利用率为 : S=151070000/（640000+360000+160000+120000 +90000)100% =99.3%； 十二、若仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设，我们设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。 据此可知我们先进行计算房间铺设，据上可知，先用“”规格的地板砖铺设带出是最优方案。所用的“”规格的整数块为： =167，所铺总面积为=106880000；剩余部分总面积为=151070000-106880000 =44190000；据此则有用“”规格的地板砖进行切割铺设，同上可以计算出切割总数和切割总长度。算法同上有： 图1所示的房间铺设剩余空缺地方可以用去=9块，切割长度L=7200；图2所示的房间铺设剩余空缺地方可以用去=6块，切割长度L=4800；图3所示的房间铺设剩余空缺地方可以用去=9块，切割长度L=7200；图4所示的房间铺设剩余空缺地方可以用去=3块，切割长度L=2400；图5所示的房间铺设剩余空缺地方可以用去=3块，切割长度L=2400；图6所示的房间铺设剩余空缺地方可以用去=10块，切割长度L=8000；图7所示的房间铺设剩余空缺地方可以用去=0块，切割长度L=0；图8所示的房间铺设剩余空缺地方可以用去=7块，切