导数在高中数学中的应用.doc

导数在高中数学课程中的应用新乡市一中数学组 李凤德摘 要导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题关键词导数 新课程 应用一、 知识地位分析导数是高中数学新教材中新增的知识之一,体现了现代数学思想，在研究函数性质时，有独到之处。纵观2010年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。今年是我省新教材实施的第一届高考，虽然去年已然考察这方面的内容，但作为新教材的新增内容，仍应引起我们足够的重视。复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。二、 导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义下面举例探讨导数的应用（一）利用导数解决函数问题利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了例1 设函数的图像与轴交点为点，且曲线在点处的切线方程为，若函数在处取得极值，试确定函数的解析式解 因为函数的图像与轴交点为点，所以点的坐标为，又曲线在点处的切线方程为，点坐标适合方程，从而，又切线斜率，故在处的导数，而，从而，又函数在处取得极值，所以解得，所以所求函数解析式为利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行例2 求函数的值域分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断的正负，进而求出函数的值域解 显然，定义域为，由于，又，可见当时，所以在上是增函数而，所以函数的值域是利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态一般地，函数在闭区间上可导，则在上的最值求法：(1) 求函数在上的极值点；(2) 计算在极值点和端点的函数值；(3) 比较在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值例3 求函数在上的最大值和最小值分析 先求出的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间上的最大值和最小值解 由于，则当或时，所以，为函数的单调增区间；当时，所以为函数的单调减区间又因为，所以，当时，取得最小值；当时，取得最大值利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑的正负即可，当时，单调递增；当时，单调递减此方法简单快捷而且适用面广例4 求的单调区间分析 应先确定函数的定义域，再利用导数讨论其单调区间解 显然，定义域为，又，由，得或；又由，得或，所以的增区间为和，减区间为和（二）利用导数解决切线问题求过某一点的切线方程此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，的几何意义就是曲线在点处切线的斜率，过点的切线方程为，但应注意点在曲线上，否则易错例5(2009衡阳模拟)求曲线f(x)x33x22x过原点的切线方程解f(x)3x26x2.设切线的斜率为k.分析 此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程(2009衡阳模拟)求曲线f(x)x33x22x过原点的切线方程解f(x)3x26x2.设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时kf(0)2，所以所求曲线的切线方程为y2x.(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0x3x2x0，kf(x0)3x6x02，又kx3x02，由得x0，k.所求曲线的切线方程为yx.求两曲线切线方程例6 已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，求公切线的方程分析 本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解解 由，得，所以曲线在点的切线方程是，即 (1)由，得，所以曲线在点的切线方程是，即 (2)若是过与的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以消去，得，由题意知，所以，则，即点与重合，此时曲线和有且仅有一条公切线，且公切线方程为（三）利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题例7 求证：不等式在上成立分析 通过作差，构造函数，和，再通过对和求导来判断证明 构造函数，则得知在上单调递增，又因为，所以，即成立又构造函数，则得知在上单调递增，又因为，所以，即成立综上所述，原命题成立（四）利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题例8 求和：(其中，)解 注意到是的导数，即，可先求数列的前和，然后等式两边同时对求导，有例9 求和：解 因为上式两边对求导，有，再令，可以得到（五）利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便例10 甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边处，乙村位于离河岸的处，乙村到河岸的垂足与相距两村要在岸边合建一个供水站，从供水站到甲村、乙村的水管费用分别为、，问供水站建在何处才能使水管费用最省？(图1)图1分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系，随后用导数的知识来解决问题解 如图1，设点距点，则，总的水管费用为()又，令，则在上，只有一个极值点，根据实际问题的意义，知处取得最小值，此时所以供水站建在距甲村处才能使水管费用最省三、